1、2014届上海市徐汇区高三上学期期末考试（一模）文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，若对于任意 ，存在 ，使得 成立，则称集合 M是 “垂直对点集 ”.给出下列四个集合： ； ； 则以下选项正确的是（） A 是 “垂直对点集 ” ， 不是 “垂直对点集 ” B 不是 “垂直对点集 ”， 是 “垂直对点集 ” C 都是 “垂直对点集 ” D 都不是 “垂直对点集 ” 答案： B 试题分析：仔细分析题设条件，设 ， ，条件 就是 ，如此可发现对 中的函数，其图象上任一点 ，在其图象一定存在点 使 ， 对应的函数不符合题意，其实它上面的任一点 ，则其图象上没有点 ，使得 ，选 B 考点
2、：平面上两条直线垂直的充要条件（两个向量垂直的充要条件） 为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点（ ） A向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3倍（纵坐标不变） B向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3倍（纵坐标不变） C向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） D向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） 答案： B 试题分析：这题考查函数图象的两个变换，平移变换，周期变换，当把函数图象上各点横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，则得函数的图象，故本题选 B. 考点：三角函数的图象变换
3、 . 直线 的倾斜角是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：直线倾斜角的范围是 ，而反正切函数 的取值范围是，而本题中直线的斜率为 ，故倾斜角为，选 B. 考点：直线的倾斜角与反正切函数 . 对于集合 和 ， “ ”是 “ ”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：这题主要要理解集合的交集与并集的含义，交集是两个集合的公共元素组成的，而并集是把两个集合的元素都放在一起，因此交集中的元素一定属于并集，而并集中的元素不一定属于交集，故应该选 B 考点：集合的交集与并集，充要条件 填空题 计算： = . 答案： 试题分析：这属
4、于 “ ”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以 （的最高次幂），化为一般可求极限型，即 考点： “ ”型极限 一个五位数 满足 且 (如 37201,45412)，则称这个五位数符合 “正弦规律 ”.那么，共有 个五位数符合 “正弦规律 ”. 答案： 试题分析：首先对五位数 进行分析，可知它的特征是 是五个数字中最大的一个， 是一个数字中最小的一个， 三个有大小不定但都与 不相等，因此这个五位数中至少会出现 3个不同数字，当做也可能有 4个不同数字或者5个不同数字下面我们就可以根据这三种情形分类讨论，五位数中只有 3个不同数字： ，五位数中只有 4个不同数字： ，五位数中只有 5个不同数
5、字： ，共有 个数 考点：排列与组合 某人 5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10，方差为 2，则 的值为 . 答案： 试题分析：一列数 的 平均数 ，方差为 ，把已知的数代入平均数公式可得 ， ，代入方差公式得，由此有 ，从而 考点：平均数，方差 在平面直角坐标系中，动点 P和点 M(-2,0)、 N(2,0)满足，则动点 P(x,y)的轨迹方程为 . 答案： 试题分析：本题可用求轨迹方程的基本方法 直接法来求，把已知条件等式用坐标表示出来， ，化简变形即得 考点：用基本法求轨迹方程 函数 图像的对称轴方程 _ 答案： 试题分析：函数
6、式首先要化简，根据二项式定理知 ，可知其图象对称轴是 考点：二项式定理，函数图象的对称性 双曲线 的虚轴长是实轴长的 2倍，则 m= . 答案： 试题分析：首先我们应该知道方程 表示双曲线的条件是 ，因此本题中有 ，从而双曲线 中 ， ，条件虚轴长是实轴长的 2倍即为 ，因此可得 考点：双曲线的标准方程及双曲线的性质 某小组有 10人，其中血型为 A型有 3人， B型 4人， AB型 3人，现任选 2人，则此 2人是同一血型的概率为 .（结论用数值表示） 答案： 试题分析：这属于古典概型，从 10人中任选 2人共有 种选法，而 2人为同一血型的选法数为 ，因此所求概率为 考点：古典概型 函数
7、的最小正周期是 . 答案： 试题分析：三角函数的问题一般要把函数转化为一个三角函数形式形式，其周期为 ，本题中函数可化为 ，周期为 考点：三角函数的周期 计算： = . 答案： 试题分析：本题是矩阵的运算，涉及到矩阵的数乘与矩阵的加法，因此的数乘与 考点：矩阵的运算 已知集合 则集合 _ 答案： 试题分析：本题两个集合都是不等式的解 集，集合 是一元二次不等式的解集，集合 是绝对值不等式的解集，不等式 ，解为，不等式 或 ，即 或 ，故 考点：解一元二次不等式和绝对值不等式 已知 ， ，则 x= .（结果用反三角函数表示） 答案： 试题分析：本题关键是注意反三角函数值的取值范围，适当利用诱导公
8、式， ，而 ，故，即 考点：反正弦函数 直线 与直线 ，若 的方向向量是的法向量，则实数 a= . 答案： 试题分析：直线 的方向向量是 ，直线 的法向量是 ，题意告诉我们这两个向量是平行向量，故 ，即 考点：直线的方向向量与法向量 如果 ( )那么 共有 项 . 答案： 试题分析： 是一个数列的和，我们要弄清它到底是多少项的和，观察每项的特征，每项都是一个分数，分子都是 1，分母依次为 ，因此有共项，从而 中共有项数为 考点：数列的项数 若函数 的图像经过 (0,1)点，则函数 的反函数的图像必经过点 . 答案： 试题分析：根据反函数的性质知当函数 的图象过点 时，则反函数的图象过点 ，本题
9、中函数 的图象过点 ，则其反函数图象过点 考点：反函数与原函数的图象的关系 解答题 在 ABC中， BC=a， AC=b， a、 b是方程 的两个根，且，求 ABC的面积及 AB的长 . 答案： ， 试题分析：这题属于解三角形的问题， 试题： ， 2分 5分 由 ， 11分 12分 考点：韦达定理与余弦定理 某种海洋生物身体的长度 （单位：米）与生长年限 t（单位：年） 满足如下的函数关系： .（设该生物出生时 t=0） （ 1）需经过多少时间，该生物的身长超过 8米； （ 2）该生物出生后第 3年和第 4年各长了多少米？并据此判断，这 2年中哪一年长得更快 答案：（ 1） 6年；（ 2）第
10、3年长了 米，第 4年长了 米，所以第 4年长得快 试题分析：（ 1）求需经过多少时间，该生物的身长超过 8米，实质就是解不等式 ，不等式解集中的最小值就是本题结论；（ 2）哪年长得最快，就看哪一年身长生长的长度大，第 3年，生长的长度为 ，第 4年生长的长度为 ，计算比较它们的大小即得 试题：（ 1）设 ，即 ，解得 ， 即该生物 6年后身长可超过 8米； 5分 （ 2）由于 ， 12分 所以，第 3年长了 米，第 4年长了 米，因为 ， 所以第 4年长得快。 14分 考点：（ 1）解不等式；（ 2）函数值计算 已知函数 . （ 1）若 ，求实数 x的取值范围； （ 2）求 的最大值 . 答
11、案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）本题实质就是解不等式， ，当然这是含绝对值的不等式，因此我们应该根据绝对值的定义，按照绝对值符号里面的式子的正负性分类讨论，变为解两个二次不等式，最后还要把两个不等式的解集合并（即求并集），才能得到我们所要的结果；（ 2）本题实质就是求新函数的最大值，同样由于式子中含有绝对值符号，因此我们按照绝对值符号里面的式子 的正负性分类讨论去掉绝对值符号，变成求两个二次函数在相应区间上的最大值，最后在两个最大值中取最大的一个就是我们所要求的最大值；当然这题我们可以借助于（ 1）的结论，最大值一定在（ 1）中解集区间里取得，从而可以避免再去分类讨论，从而简化它的
12、过程 试题：（ 1）当 时， 1分 由 ，得 ， 整理得 ，所以 ； 3分 当 时， ， 4分 由 ，得 ， 整理得 ，由 得 6分 综上 的取值范围是 ； 7分 （ 2）由（ 1）知， 的最大值必在 上取到， 9分 所以 所以当 时， 取到最大值为 14分 考点：（ 1）解不等式；（ 2）函数的最大值 给定椭圆 ，称圆心在坐标原点 O，半径为的圆是椭圆 C的 “伴随圆 ”，已知椭圆 C的两个焦点分别是 . （ 1）若椭圆 C上一动点 满足 ，求椭圆 C及其 “伴随圆 ”的方程； （ 2）在（ 1）的条件下，过点 作直线 l与椭圆 C只有一个交点，且截椭圆 C的 “伴随圆 ”所得弦长为 ，求
13、P点的坐标； （ 3）已知 ，是否存在 a， b，使椭圆 C的 “伴随圆 ”上的点到过两点 的直线的最短距离.若存在，求出 a， b的值；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1）椭圆方程 ，伴随圆方程 ；（ 2） ；（ 3）存在， 试题分析：（ 1）这是基本题，题设实质已知 ，要求椭圆标准方程，已知圆心及半径求圆的方程；（ 2）为了求 点坐标，我们可设直线 方程为，直线 与椭圆只有一个公共点，即直线 的方程与椭圆的方程联立方程组，这个方程组只有一个解，消元后利用 可得 的一个方程，又直线截圆所得弦长为 ，又得一个关于 的方程，联立可解得 ；（ 3）这是几何中的存在性问题，解决方法都是假设存在，
14、然后去求出这个 ，能求出就说明存在，不能求出就说明不存在解法如下，写出过点 的直线方程，求出圆心到这条直线的距离为 ，可见当圆半径不小于 3时， 圆上的点到这条直线的最短距离为 0，即当 时， ，但由于 ，无解，当圆半径小于 3时，圆上的点到这条直线的最短距离为 ，由此得 ，又有 ，可解得 ，故存在 试题：（ 1）由题意： ，则 ，所以椭圆 的方程为， 2分 其 “伴随圆 ”的方程为 4分 （ 2）设直线 的方程为 由 得 6分 则有 得 ， 7分 由直线 截椭圆 的 “伴随圆 ”所得弦长为 ，可得 ，得 8分 由 得 ，又 ，故 ，所以 点坐标为 10分 （ 3）过 的直线的方程为： ， 即
15、 ，得 12分 由于圆心 到直线 的距离为 ， 14分 当 时， ，但 ，所以，等式不能成立； 当 时， ， 由 得 所以 因为 ，所以 ， 得 所以 18分 称满足以下两个条件的有穷数列 为 阶 “期待数列 ”： ； . （ 1）若数列 的通项公式是 ， 试判断数列 是否为 2014阶 “期待数列 ”，并说明理由； （ 2）若等比数列 为 阶 “期待数列 ”，求公比 q及 的通项公式； （ 3）若一个等差数列 既是 阶 “期待数列 ”又是递增数列，求该数列的通项公式； 答案：（ 1）是； （ 2） 或 ； （ 3） ； 试题分析：（ 1）判断数列 是不是为 2014阶 “期待数列 ”，就是根
16、据定义计算 ， ，是不是一个为 0，一个为 1，如是则是 “期待数列 ”，否则就不是；（ 2）数列 中等比数列，因此是其前 和，故利用前前 项和公式，分 和 进行讨论，可很快求出， 或 ；（ 3） 阶等差数列是递增数列，即公差 ，其和为 0，故易知数列前面的项为负，后面的项为正，即前 项为正，后 项为正，因此有 ， ，这两式用基本量或直接相减可求得 ， ，因此通项公式可得 试题：（ 1）因为 ， 2分 所以 ， 所以数列 为 2014阶 “期待数列 ” 4分 （ 2） 若 ，由 得， ，得 ，矛盾 5分 若 ，则由 =0，得 ， 7分 由 得 或 所以， 数列 的通项公式是 或 9分 （ 3）设等差数列 的公差为 ， 0 ， ， ， 0，由 得 ， ， 11分 由 、 得 ， ， 13分 两式相减得， ， ， 又 ，得 ， 数列 的通项公式是 16分 考点：（ 1）三角函数的诱导公式与新定义的理解；（ 2）等比数列的前 和公式与通项公式；（ 3）等差数列的前 和公式与通项公式
