1、2014届上海市虹口区高三上学期期末考试（一模）数学试卷与答案（带解析） 选择题 如图 1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有 升水平放在地面 ,则水面正好过圆锥的顶点 ，若将容器倒置如图 2，水面也恰过点 以下命题正确的是 ( ) A圆锥的高等于圆柱高的 ； B圆锥的高等于圆柱高的 ； C将容器一条母线贴地，水面也恰过点 ； D将容器任意摆放，当水面静止时都过点 答案： C 试题分析：本题考查体积公式与空间想象能力，设圆锥的高为 ，圆柱的高为，则利用倒置前后水的体积不变这个性质知 ，化简得 ， 均错，现在水的容积正好是圆柱内部空间的一半，因此把圆柱的母线贴地，则水
2、面过点 ，但过点 的平面不可能总是平分圆柱内部除去圆锥的那部分，故 错误 考点：体积公式 在 中，记角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且这三角形的三边长是公差为 1的等差数列，若最小边 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：三角形的三边长是公差为 1的等差数列， ，则， ， ，即 ，因此 考点：余弦定理，数列的极限 函数 ，下列结论不正确的（ ） A此函数为偶函数 B此函数是周期函数 C此函数既有最大值也有最小值 D方程 的解为 答案： D 试题分析：由于有理数集和无理数集都是关于原点对称的，因此本题定义的函数 是偶函数，根据函数的定义，任何非零都是函数的周期，故它是周期函数
3、，其最大值为 ，最小值为 1，而方程 的解为 为有理数，即为有理数，所有有理数都是方程的解， D错误 考点：偶函数，周期函数，函数的最值，函数方程的解 已知 ， ，则下列结论中正确的是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：已知两向量的坐标，直接计算，验证各选择支结论是否正确，两向量 垂直等价于 ，计算知 正确 考点：向量垂直的条件，向量数量积的坐标运算 填空题 已知全集 ， ，如果 ，则 答案： 试题分析：首先把集合 化简为 ，其次理解补集的概念，因此 考点：补集的概念 函数 与函数 的图像所有交点的 M 坐标之和为 答案： 试题分析：分析函数的图象可知，函数 的图像与 轴交于点 ，且
4、它的图象关于点 成中心对称，函数 是周期为 2的函数，最大值为 2，且也关于点 对称 (点 是它们的唯一 一个在 轴上的交点 )，下面我们分析在 时，它们有几个交点，由于 ， ，故两个函数图象在区间 内有两个交点，当然在区间， ， 上也分别有两个交点，即在 时，两函数图象有 8个交点，根据对称性，在 时，也有 8个交点，而且关于点 对称的两个交点横坐标之和为 2， 16个交点横坐标之和就是 16，所有交点横坐标之和为 17 考点：函数的周期性，最值，函数图象的对称性 已知函数 ，且 ，则 答案： 试题分析：考虑到 是呈周期性的数列，依次取值 ，故在时要分组求和，又由 的定义，知 ， ，从而 考
5、点：周期数列，分组求和 已知函数 ，对于实数 、 、 有 ，则 的最大值等于 答案： 试题分析：首先把已知条件简化，以寻找解题思路，由得 ，记 ，即，同理由 ，得(其中 )，于是 ，即 ，又 ，所以 ，因此 ， ( 时等号成立 )，故 最大值为 ， 最大值为 考点：基本不等式 已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则此函数的值域为 答案： 试题分析：由于 是奇函数，我们只要求出当 时的函数值的范围即可，而当 时，通过换元法 (设 )函数变为二次函数 ，其函数值取值范围是 ，因此所求值域为 考点：奇函数的性质，函数的值域 给出以下四个命题： （ 1）对于任意的 ， ，则有 成立； （ 2）直
6、线 的倾斜角等于 ； （ 3）在空间如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线平行； （ 4）在平面将单位向量的起点移到同一个点，终点的轨迹是一个半径为 1的圆 其中真命题的序号是 答案：（ 1），（ 4） 试题分析：这是一类较难的问题，四个命题要逐一验证其正确与否，对命题（ 1）由对数恒等式有 ，（ 1）正确；对命题（ 2）上，若直线的倾斜角为 ，若 ，则直线斜率为 ，反过来直线斜率为 时，倾斜角不一定为 ，只有当 时才有这个结论，而题中没有范围限制，故 (2)错误 (也可取一反例说明即可，如直线 的倾斜角不是 )； (3)在平面上这个结论是正确的，但在空间上结论不正确，如正方体同一顶点处
7、的三条棱， (3)错误；命题 (4)单位向量的长度都是 1，故终点到起点的距离都是 1，如把单位向量的起点都移到同一点，则终点到这点的距离都是 1，轨迹是圆， (4)正确 (1)(4) 考点：对数恒等式，直线的倾斜角，空间直线的位置关系，单位向量 已知椭圆的中心在原点，一个焦点与抛物线 的焦点重合 ，一个顶点的坐标为 ，则此椭圆方程为 答案： 试题分析：此椭圆的方程是标准方程，抛物线的焦点为 ，说明椭圆的焦点在 轴上，且 ，又顶点的坐标为 说明 ，从而 ，故椭圆方程为 考点：椭圆的标准方程 不等式 的解集是 答案： 试题分析：含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝
8、对值符号，然后解决问题，本题也可不分类讨论，首先不等式变形为 ，它等价于 ，这是二次不等式，解得，还要注意题目要求写成集合形式 考点：解不等式 如果 对一切 都成立，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：本题就是要求 的最大值， ，因此最大值为 ，故 考点：三角函数的最值 从长度分别为 1、 2、 3、 4的四条线段中任意取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 答案： 试题分析：从长度分别为 1、 2、 3、 4的四条线段中任意取三条的不同取法有 4种，但要能构成三角形，必须满足较小的两条线段长度和大于最长的线段的长度，这里只有取 2、 3、 4这一种方法满足题意，故概率为 考点：
9、古典概型 双曲线 的焦点到渐近线的距离等于 答案： 试题分析：本题直接求，一个焦点为 ，渐近线为 ，焦点到渐近线的距离为 考点：双曲线的性质，点到直线的距离公式 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则满足的实数 的范围是 答案： 试题分析：偶函数 在 上单调递增，则在 上单调递减，因此满足 的实数 满足 考点：偶函数的性质，与函数单调性的定义 已知 的展开式中，含 项的系数等于 160，则实数 答案： 试题分析： 展开式的通项为 ，含 项的系数等于160，即 ， ，解得 考点：二项展开式的通项公式 已知 是各项均为正数的等比数列，且 与 的等比中项为 2，则的最小值等于 答案： 试题
10、分析：由等比数列的性质知 ，因此 （当且仅当 时等号成立） 考点：等比数列的性质与基本不等式 解答题 如图在长方体 中， ， ， ，点 为的中点，点 为 的中点 （ 1）求长方体 的体积； （ 2）若 ， ， ，求异面直线 与 所成的角 答案： (1) ；（ 2） 试题分析：（ 1）长方体的体积等于从同一顶点出发的三条棱长的乘积，这里只有两条棱长，另外一条线段是对角线，可根据对角线的计算公式（ 是三条棱长， 是对角线长）求得第三条棱长；（ 2）求异面直线所成的角，必须通过作平行线作出它们所成的角，而一般情况下，都是过其中一条直线上的一点作另一条的平行线，本题中只要取 中点 ，联接 ，可证 ，从
11、而 （或其补角）就是所示异面直线所成的角，在 可解得 试题：（ 1） 连 、 是直角三角形， 1分 是长方体， ， ，又 ， 平面 ， 又在 中， ， ， ， 4分 6分 （ 2）取 的中点 ，连 、 ， 四边形 为平行四边形， ， 等于异面直线 与 所成的角或其补角 8分 ， ， ，得 ， ， ， 10分 ， 异面直线 与 所成的角等于 12分 考点： (1)长方体的体积；（ 2）异面直线所成的角 已知 ，其中 、 为锐角，且 （ 1）求 的值； （ 2）若 ，求 及 的值 答案：（ 1） ；（ 2） ， 试题分析：（ 1）要求 的值，由于 ，因此我们寻找这两个积（或积的和），这只能应用唯一
12、的已知条件 ，由两点间距离公式可得；（ 2）已知 ，要求 ，可直接利用公式，而要求 ，要注意灵活应用两角和与差的正弦与余弦公式，我们要把 看作为 ，因此有，从而只要求出 和 ，在求解过程中， 的值是确定的，但 的值是一确定的（有两解，至少在开始求解时是这样的），只是在求 时，要舍去不符合题意的结论 试题：（ 1）由 ，得 ， 得 ，得 4分 （ 2） ， 6分 ， 10分 当 时， 当 时， 为锐角， 14分 考点：（ 1）两点间的距离公式与两角差的余弦公式；（ 2）平方关系与两角差的余弦公式 数列 是递增的等差数列，且 ， （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）求数列 的前 项和 的最小值；
13、 （ 3）求数列 的前 项和 答案： (1) ；（ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）这是等差数列的基础题型，可直接利用基本量（列出关于的方程组）求解，也可利用等差数列的性质 ，这样可先求出 ，然后再求出 ，得通项公式；（ 2）等差数列的前 和 是关于的二次函数的形式，故可直接求出 ，然后利用二次函数的知识得到最小值，当然也可根据数列的特征，本题等差数列是首项为负且递增的数列，故可求出符合 的 的最大值，这个最大值 就使得 最小（如果 ，则 和都使 最小）；（ 3）由于 前几项为负，后面全为正，故分类求解（目的是根据绝对值定义去掉绝对值符号），特别是 时，这样可利用第（ 2）题的结论快速得出
14、结论 试题：（ 1） 由 ，得 、 是方程的二个根， ， ，此等差数列为递增数列， ， ，公差 ， 4分 （ 2） ， ， 8分 （ 3）由 得 ，解得 ，此数列前四项为负的，第五项为 0，从第六项开始为正的 10分 当 且 时， 12分 当 且 时， 14分 考点：（ 1）等差数列的通项公式；（ 2）等差数列的前 项和公式；（ 3）绝对值与分类讨论 已知圆 过定点 ，圆心 在抛物线 上， 、 为圆 与轴的交点 （ 1）当圆心 是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长 （ 2）当圆心 在抛物线上运动时， 是否为一定值？请证明你的结论 （ 3）当圆心 在抛物线上运动时，记 ， ，求 的最大
15、值，并求出此时圆 的方程 答案：（ 1） ；（ 2）是定值，为 2；（ 3） 取得最大值 ，此时圆 的方程为 试题分析：（ 1）这是关于圆的基本计算问题，圆心是抛物线的顶点 ，又圆过点 ，可得圆半径为 ，就得出了圆的方程，抛物线的准线为，与圆相交弦长可用直角三角形法求解，弦心距，弦的一半，相应半径可构成一个直角三角形，应用勾股定理易得；（ 2）圆 心在抛物线上运动，可设圆心坐标为 ，与（ 1）同法可得弦长 ，当然本题中弦在 轴上，故可在圆方程中令 ，求出 ，也即求出 为定值；（ 3）根据圆的性质，由（ 2）可得 两点的坐标为 ，这样 就可用 来表示，可求得 ， 时，有 ， 时，利用基本不等式有
16、 ，从而（当且仅当 ，即 时等号成立），故所求最大值为 试题：（ 1）抛物线 的顶点为 ，准线方程为 ，圆的半径等于 1，圆 的方程为 弦长 4分 （ 2）设圆心 ，则圆 的半径 ， 圆 的方程是为： 6分 令 ，得 ，得 ， ， 是定值 8分 （ 3）由（ 2）知，不妨设 ， ， 11分 当 时， 12分 当 时， 当且仅当 时，等号成立 14分 所以当 时， 取得最大值 ，此时圆 的方程为 16分 考点：（ 1）抛物线的几何性质，圆的弦长公式；（ 2）圆的弦长；（ 3）基本不等式与最大值问题 设函数 （ 1）求函数 在 上的值域； （ 2）证明对于每一个 ，在 上存在唯一的 ，使得 ； （
17、 3）求 的值 答案： (1) ；（ 2）证明见；（ 3）当 时，为 ，当 且 时，为 试题分析： (1)由于 可以看作为 的二次函数，故可利用换元法借助二次函数知识求出值域；（ 2）这类问题的常用方法是证明 在区间是单调的，且 或者 或 ，即可得证；本题中证时也可数学归纳法证明；（ 3）要求的值，注意分类讨论， 时直接得结论 ，那么求时，只要用分组求和即可，在 时，中除第一项外是一个公比不为 1 的等比数列的和，因此先求出 ，同样在求 时用分组求和的方法可求得结论 试题：（ 1） ，由 令 ， ， 在 上单调递增， 在 上的值域为 4分 （ 2） 对于 ， 有 ， ，从而 ，, ,在 上单调递减 , ,在 上单调递减 又 . . 7分 当 时， （注用数学归纳法证明 相应给分） 又 ，即对于任意自然数 有 对于每一个 ，存在唯一的 ，使得 11分 （ 3） 当 时， . 14分 当 且 时， 18分 考点： (1)换元法与二次函数的值域；（ 2）函数的零点；（ 3）分类讨论与分组求和
