1、2014届上海市黄浦区高考模拟（二模）理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 给出下列命题： (1)已知事件 是互斥事件，若 ，则 ； (2)已知事件 是互相独立事件，若 ，则( 表示事件 的对立事件 )； (3) 的二项展开式中，共有 4个有理项 则其中真命题的序号是 ( ) A (1)、 (2) B (1)、 (3) C (2)、 (3) D (1)、 (2)、 (3) 答案： D 试题分析：对于（ 1），因为 ， 互斥，所以，正确，对于（ 2）由于 互相独立，所以 ，正确，对于（ 3）其展开式的通项公式为 ， 要为有理项，则 必须为整数，则 是 6的整数倍，由此 共 4个数，即展开式中只有
2、 4个有理项，正确 .选 D. 考点：互斥事件的概率，互相独立事件的概率，二项展开式的通项公式 . 已知 ，则直线 与圆：的位置关系是 ( ) A相交 B相切 C相离 D不能确定 答案： B 试题分析：方程组 只有一解 ，即题设中直线与圆只有一个公共点 ，因此它们相切，选 B. 考点：直线和圆的位置关系 . 已知空间直线 不在平面 内，则 “直线 上有两个点到平面 的距离相等 ”是 “ ”的 ( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件 答案： B 试题分析：当 时，直线 上所有点到平面 的距离都相等，但当 时，直线 上所有点到平面 的距离也相等，本题只能选 B.
3、 考点：直线与平面平行的判定与性质 . 已知 ，且 ，则下列结论恒成立的是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：当 都是负数时， 不成立，当 一正一负时， 不成立，当时， 不成立，因此只有 是正确的 . 考点：基本不等式 . 填空题 函数 的定义域是 答案： 试题分析：由题意 ， 考点：函数的定义域 已知函数 是定义域为 的偶函数 . 当 时，若关于 的方程 有且只有 7个不同实数根，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：首先研究函数 的性质， 在 和 上是减函数，在和 上是增函数， 时，取极大值 1， 时，取极小值 ，当 时， ，因此方程 有 7个根，则方程必有两个根 ，其中 ，
4、 ， 由此可得 ， ，所以 ，解得 . 考点：偶函数的性质，曲线的交点与方程的根 . 某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的 8个乒乓球 (其中 3个是白色球， 5个是黄色球 )，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球 (每次摸出球后不放回 )，当摸到的球是黄球时停止摸球用随机变量 表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量 的数学期望值 答案： 试题分析： 的分布列为 1 2 3 4 考点：随机变量分布列与数学期望 直线 的参数方程是 是参数 )，则直线 的一个方向向量是 (答案：不唯一 ) 答案： 试题分析：把直线的参数方程化为普通方程为 ，即 ，其一个方向向量为 考点：直线
5、的方向向量 已知向量 ，则向量 在向量 的方向上的投影是 答案： 试题分析：向量 在向量 的方向上的投影是 考点：向量的投影 若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为 ，球心到该截面的距离是，则这个球的表面积是 答案： 试题分析：由题意截面半径为 ，球半径为 ，所以 考点：球的截面的性质，球的表面积 已知 是虚数单位，以下同 )是关于 的实系数一元二次方程的一个根，则实数 ， 答案： 试题分析：由题意 是方程的另一根，因此 ， ， 考点：实系数二次方程的复数根 函数 的最小正周期 答案： 试题分析： ， 考点：函数的周期 已知全集 ，集合 ， 若，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：由题意
6、 ， ， ，由，得 ，即 考点：集合的运算 已知等差数列 的公差为 ， ，前 项和为 ，则的数值是 答案： 试题分析：由题意 ， ， 题 考点：数列的极限 函数 的单调递增区间是 答案： 试题分析：当 时， ，增区间为 ，当时， ，增区间为 填 考点：分段函数的单调区间 函数 的反函数是 ，则反函数的式是 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以反函数为 ， 考点：求反函数 方程 的解 . 答案： 试题分析：由已知得 ，即 ， ，所以 ， 考点：解对数方程 在 中，角 所对的边的长度分别为 ，且， 则 . 答案： 试题分析：由余弦定理知 ，所以 ， 考点：余弦定理 解答题 (理
7、 )已知直三棱柱 中， ，是棱 的中点如图所示 (1)求证： 平面 ； (2)求二面角 的大小 答案： (1)证明见；（ 2） . 试题分析：（ 1）本题中由于是直棱柱，且底面中 ，即两两垂直，因此我们可以建立空间直角坐标系，用空间向量来解决立体几何问题，要证明线面垂直，只要在平面内任取两个不共线的向量如 ，只要计算出 ， ，就能证明线线垂直，从而得证线面垂直；（ 2）而要求二面角 的大小，可通过求两个面 和 的法向量的夹角来求，法向量的夹角与二面角互补或相等来求，下面就是想办法求法向量了，如平面 ，可设 是它的法向量，利用 ，得到，只要令 ，就可得到一个法向量 . 试题： (1)按如图所示建
8、立空间直角坐标系由题知，可得点 、 、 、 、 于是， 可算得 因此， 又 ， 所以， (2)设 是平面 的法向量 又 ， 取 ，可得 即平面 的一个法向量是 由 (1)知， 是平面 的一个法向量， 记 与 的夹角为 ，则 ， 结合三棱柱可知，二面角 是锐角， 所求二面角 的大小是 考点：（ 1）线面垂直；（ 2）求二面角 . 已知复数 (1)求 的最小值； (2)设 ，记 表示复数 z的虚部 ).将函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍 (纵坐标不变 )，再把所得的图像向右平移 个单位长度，得到函数 的图像 .试求函数 的式 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由于 ，
9、因此，把根号里面的式子化为一个三角函数，就可最小值， ，思见其最小值为 ；（ 2） ，故，根据图象平移的知识可很快得出 的表达式 . 试题： (1) ， . 当 ，即 时， . (2) ， . . 将函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍 (纵坐标不变 )后，得到的图像所对应的函数是 . 把函数 的图像向右平移 个单位长度，得到的图像对应的函数是 . 考点：复数的运算，三角函数的最值，图象变换 . 某通讯公司需要在三角形地带 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域 内，乙中转站建在区域 内分界线 固定，且 = 百米，边界线 始终过点 ，边界线 满足 设 ( )百米，
10、百米 . (1)试将 表示成 的函数，并求出函数 的式； (2)当 取何值时？整个中转站的占地面积 最小，并求出其面积的最小值 答案：（ 1） ；（ 2）：当 米时，整个中转站的占地面积 最小，最小面积是 平方米 . 试题分析：（ 1）要求函数关系式，实际上是建立起 之间的等量关系，分析图形及已知条件，我们可借助于三角形有面积， ，从这个等式中，解出 ，即得要求的函数式；（ 2）有了（ 1）中的关系式，就可表示为一个字母 的式子 ，它是一个分式函数，由于分母是一次，而分子是二次的，故可这样变形 ，正好这个表达式可以用基本不等式来求得最小值 . 试题： (1)结合图形可知， 于是， ， 解得 (
11、2)由 (1)知， ， 因此， (当且仅当 ，即 时，等号成立 ) 答：当 米时，整个中转站的占地面积 最小，最小面积是平方米 .12分 考点：求函数式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式 . 已知数列 满足 ( ) (1)求 的值； (2)求 (用含 的式子表示 )； (3)(理 )记数列 的前 项和为 ，求 (用含 的式子表示 ) 答案：（ 1） ；（ 2） ； （ 3） . 试题分析：（ 1）求数列的某些项，根据题中条件，我们可依次求得；（ 2）从（ 1）中特殊值可能看不到数列 的项有什么规律，但题中要求 ，那我们看看能否找到此数列的项之间有什么递推关系呢？把已知条件 ，代入
12、即得，由这个递推关系可采取累加的方法求得 ；（ 3）要求数列 的 项和，在（ 2）基础上我们还必须求出偶数项 的表达式，这个根据已知易得，由于奇数项与偶数项的表达式 不相同，因此在求 时，应该采取分组求和的方法，奇数项放在一起，偶数项放在一起，这就引起了分类讨论，要按 的奇偶来分类，确定 的最后一项 是项还是偶数项，这样分组才能明确 . 试题： (1) ( )， (2)由题知，有 (理 )(3) ， 又 ， 当 为偶数时， 当 为奇数时， 综上，有 考点：（ 1）数列的项；（ 2）数列的通项公式；（ 3）数列的前 项和与分组求和 . (理 )已知点 是平面直角坐标系上的一个动点，点 到直线 的
13、距离等于点 到点 的距离的 2倍记动点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程； (2)斜率为 的直线 与曲线 交于 两个不同点，若直线 不过点 ，设直线 的斜率分别为 ，求 的数值； (3)试问：是否存在一个定圆 ，与以动点 为圆心，以 为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） 0；（ 3）存在，定圆 的方程为：. 试题分析：（ 1）本题是求方程问题，由于没有告诉我们是什么曲线，因此我们可根据已知条件采取直接法求方程，由已知可得 ，然后化简即可；（ 2）这是直线与圆锥曲线相交问题，解题方法是设直线 方程为（注意 ，知道为什么吗？），与曲线方
14、程联立方程组，并消去得到关于 的二次方程，如果设 ，则可得 （用表示），而 变形后表示成 的式子，再把刚才的表达式代入计算应该就能得到结论；（ 3）假设存在这个定圆 与动圆 内切，则圆心距 为两圆半径之差，从而 与两圆中的某个圆的半径之和或差为定值（定圆 的半径），由于点 是椭圆的右焦点，这时联想椭圆的定义，若 是椭圆的左焦点，则就有 是常数，故定圆是以 为圆心， 4为半径的圆 . 试题： (1)由题知，有 . 化简，得曲线 的方程： (2) 直线 的斜率为 ，且不过 点， 可设直线 ： 联立方程组 得 又交点为 ， (3)答：一定存在满足题意的定圆 . 理由： 动圆 与定圆 相内切， 两圆的圆心之间距离 与其中一个圆的半径之和或差必为定值 . 又 恰好是曲线 (椭圆 ) 的右焦点，且 是曲线 上的动点， 记曲线 的左焦点为 ，联想椭圆轨迹定义，有 ， 若定圆的圆心 与点 重合，定圆的半径为 4时，则定圆 满足题意 . 定圆 的方程为： . 考点：（ 1）求曲线方程；（ 2）直线与椭圆相交与 定值问题；（ 3）两圆内切与椭圆的定义 .
