1、2014届上海金山中学高三第一学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 设函数 ，其中为已知实数， ，则下列各命题中错误的是（ ） A若 ，则 对任意实数恒成立 ; B若 ，则函数 为奇函数 ; C若 ，则函数 为偶函数 ; D当 时，若 ，则 答案： D 试题分析：由函数 ，可化简得：，则 ，则在 中，若 ，则，即 正确 ;在 中，若 ，则函数，有 是奇函数，即正确 ; 在 中，若 ，则函数，有 是偶函数，即正确 ;在 中，由 知 不同时为 ，则函数的最小正周期为 ，若 ，则 ，即 错误 考点： 1.三角化简 ;2.函数的奇偶性 ;3.函数的同周期性 若函数 为 上的奇函数，当 时， ，
2、则当 时，有（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据题意可得，当 时， ，则有 ，又因函数 为 上的奇函数，则 ，由函数的图象可知，则有 ，故选 C 考点：函数的奇偶性 若 ，且 ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 中不等式应为 ; 中 要为正数 ; 中 要为正数 ; 正确 考点：基本不等式的应用 “ ”是 “ ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件 答案： B 试题分析：由 可解得 ，则 可推出;反之不能推出，则 “ ”是 “ ”的必要非充分条件，即选 B 考点： 1.三角函数的图象 ;2.充分必
3、要条件的判定 填空题 设 ， ，若 ，则实数_. 答案： 试题分析：由 可得 ，即 是方程 的根，则可解得 . 考点：集合的运算 已知定义域为 的偶函数 ，对于任意 ，满足 ，且当 时 令 ， ，其中 ，函数 。则方程 的解的个数为_（结果用 表示） 答案： 试题分析：由函数 满足 可得图象关于 对称，且函数是偶函数，则函数是一个周期函数且周期为 4，可作图如下 ;又函数可作图下，可得关于 对称，且最小值为 0，最大值为 2，又 ，不难发现所得函数图象形状与函数 的图象一致，且周期变为原来的一半，对函数 又在函数的基础之上周期又要缩小一半，以此类推就能得到函数 的图象，且它的周期为 ，又函数
4、是一个单调增函数过两点，两函数图象在一个周期内有两个交点，所以共有个交点， 即方程 有 个解 考点： 1.函 数的性质 ;2.函数的图象 ;3.函数与方程 已知函数 ，当 变化时，恒成立，则实数 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：由 ，则函数 为奇函数，又因 则函数 在 上单调增，又由化简得 ，故，当 时， 恒成立，当 时，即，令函数 可得 ，即 ，所以 考点： 1.函数的奇偶性 ;2.函数的单调性 ;3.函数的最值 在等差数列 中， ， ，若此数列的前 10项和 ，前18项和 ，则数列 的前 18项和 _ 答案： 试题分析：根据题意 可知数列 是递减数列且 ，又， ，则考点：等差数列的求和
5、 方程 的实数解的个数为 _ 答案： 试题分析：由题意可令函数 和 ，分别作图如下，不难发现它们有三个交点，则方程 有三个实数解 考点： 1.函数的图象 ;2.函数与方程的关系 设 ， ，则 的取值范围为 _ 答案： 试题分析：由 ， ，可得 ，由反正弦函数的定义域可得 考点：反三角函数的运用 已知函数 的值域为 ，若关于 的不等式的解集为 ，则实数 的值为 . 答案： 试题分析：根据题意可得 ，由不等式 的解集为 ，得函数关于 对称，则 ，进而 ，所以 考点： 1.二次函数的性质 ;2.三个二次的关系 如果 ，且 是第四象限的角，那么 _ 答案： 试题分析：由 ，可解得 ，又 是第四象限的角
6、，故，又 考点： 1.同角三角函数关系 ;2.诱导公式 函数 的反函数 _ 答案： 试题分析：由 ，可得 ，又由函数 可解得，所以 考点：求函数的反函数 在 中，若 ， ， ，则三角形 的面积_ 答案： 试题分析：根据题意可得 ，即， ，由面积公式可得 考点： 1.余弦定理的应用 ;2.三角形面积公式 已知无穷等比数列 的前 项和 的极限存在，且 ， ，则数列 各项的和为 _ 答案： 试题分析：根据题意可得 ，可解得 ，因为 存在极限，则 ，再由等比数列求和公式可得 考点： 1.等比数列的基本量运算 ;2.数列的极限 若函数 的最小正周期与函数 的最小正周期相等，则正实数 的值为 _ 答案：
7、试题分析：将函数 化简得，则最小正周期为 ，又函数的最小正周期为 ，所以有 考点：三角函数的最小正周期 若 ，则 答案： 试题分析：由已知可得，所以，解得 考点：极限的计算 若 ，则 _ 答案： 试题分析：由 ，可得，所以 考点：代数式的处理 解答题 记函数 的定义域为 ， 的定义域为 若 ，求实数 的取值范围 答案： 试题分析：根据偶次根号下被开方数非负，即 可解得 ，即集合 ，又由对数的真数为正，即 ，即集合，再由题中 ，结合数轴可得出 的要求，进而求出 的范围 试题：由 得 ，解得 ，由 ，得， ，即 考点： 1.函数的定义域 ;2.集合的运算 已知函数 （ 1）求函数 的最小正周期；
8、（ 2）当 时，求函数 的最大值，最小值 答案：（ 1） ;（ 2）最大值为 1,最小值 试题分析：（ 1）首先根据同角三角关系 和降次公式将函数化简为 的形式，再运用 即可将函数化简，最后由最小正周期公式 即可求出最小正周期 ; （ 2）由题中所给 的范围，求出整体的范围，再结合函数 的图象，不难求出 的取值范围，即可求出 的最大值和最小值 试题：（ 1） ， 4分 的最小正周期为 6分 （ 2） , 8分 10分 12分 当 时 ,函数 的最大值为 1,最小值 14分 考点： 1.三角化简 ;2.三角函数的图象 ;3.三角函数的最值 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得 10
9、万元到 1000万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 （单位：万元）随投资收益 （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过 9万元，同时奖金不超过投资收益的 20% （ 1）若建立函数 模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数 模型的基本要求，并分析函数 是否符合这个要求，并说明原因； （ 2）若该公司采用函数 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数的值 答案：（ 1） 是定义域 上是增函数； 恒成立； 恒成立不符合公司要求（ 2） 试题分析：（ 1）要将文字语言转化为数学语言主要依据是相应概念的理解，由奖金 （单位：万元）随投资收益 （单位：万元）的增加而增加，可联
10、想到函数增减性的定义 ;由奖金不超过 9万元，可联想到函数的值域 ;由奖金不超过投资收益的 20%，收益就是题中的 值，即可用 来表示，判断给定函数是否符合题意其实也就是去遂一进行检验 ;（ 2）所给函数是一个分式型函数，先采用分子分离的方法化简一 下，以便出增函数得出一个关于 的不等式，结合单调增易得最大值，由其小于等于 9得到关于 的第二个条件，再由 代入可得一不等式恒成立，进而得到关于 的第三个条件，这三条件共同确定出的范围 试题：（ 1）设奖励函数模型为 ，按公司对函数模型的基本要求，函数满足：当 时， 是定义域 上是增函数； 恒成立 恒成立 3分 对于函数模型 ，当 时， 是增函数；
11、 ， 恒成立； 但当 时， ，即 不恒成立 综上，该函数模型不符合公司要求 6分 （ 2）对于函数模型 ，即 ， 当 ，即 时， 在 上是增函数； 8分 为使 对在 恒成立，则 ，即 ； 10分 为使 对在 恒成立，则 ， 即 ，即 对 恒成立， 12分 综上， ，又 ， 14分 考点： 1.文字语言与数学语言的互化 ;2.函数的单调性 ;3.函数的值域 对定义在区间 上的函数 ，若存在闭区间 和常数 ，使得对任意的 ，都有 ，且对任意的 都有 恒成立，则称函数 为区间 上的 “ 型 ”函数 （ 1）求证：函数 是 上的 “ 型 ”函数； （ 2）设 是（ 1）中的 “ 型 ”函数，若不等式
12、对一切的恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）若函数 是区间 上的 “ 型 ”函数，求实数和 的值 答案：（ 1）详见 ;（ 2） ;（ 3） 试题分析：（ 1）根据题意可将函数中的绝对值去掉可得一个分段函数，可作出函数的图象，不难发现当 时， ；当 时， ，由此可易得证 ; （ 2）由（ 1）中的函数不难求出函数的最小值，这们即可将问题转化为求 恒成立，这是一个关于 的含有绝对值的不等式，去掉绝对值可得 ，然后采用先分开后合并的方法求出此不等式的解集 ; （ 3）根据题中 “ 型 ”函数的定义，则可假设存在闭区间 和常数 ，使得对任意的 ，都有，这样即可得到一个恒 等式，即对任意 恒成立，则
13、对应系数分别相等，即可求出对应的 ，注意要回代检验一下，判断其余的是否均大于这个最小值 试题：（ 1）当 时， ；当 时， ， 存在闭区间 和常数 符合条件 4分 （ 2） 对一切的 恒成立， ， 6分 解得 10分 （ 3）存在闭区间 和常数 ，使得对任意的 ， 都有 ，即 ， 对任意 恒成立 或 12分 当 时， 当 时， 当 ，即 时， 由题意知， 符合条件； 14分 当 时， 不符合要求； 16分 综上， 考点： 1.新定义题 ;2.分段函数的处理 ;3.函数的最值 已知等比数列 的公比为 ， 是 的前 项和 （ 1）若 ， ，求 的值； （ 2）若 ， ， 有无最值？并说明理由； （
14、 3）设 ，若首项 和 都是正整数， 满足不等式： ，且对于任意正整数 有 成立，问：这样的数列 有几个？ 答案：（ 1） ;（ 2） 有最大值为 ，最小值为 ;（ 3） 个 试题分析：（ 1）根据等比数列前 项和公式 ，可见要对分类讨论，当 时， ， ， ，从而不难求出 ;当时， ， ， ，即可利用根据定义求出 ;（ 2）根据题意可求出数列的前 项和 ，要求出 的最值，可见要分 和 两种情况进行讨论，当时利用单调性即可求出 的最值情况，当 时，由于 将随着 的奇偶性正负相间，故又要再次以 的奇偶数进行讨论，再利用各自的单调性即可求出 的最值 ; （ 3）首先由含有 的绝对值不等式可求出 的范围，再用 表示出 ，由单调性不难求出 的最小值 ，即 ，故并分别代入进行，依据 就可求出 的范围，最后结合 是正整数，从而确定出 的个数 试题：（ 1）当 时， ， ， 2分 当 时， ， ， 4分 所以 （可以写成 ； （ 2）若 ， ，则 ， 当 时， ，所以 随 的增大而增大， 而 ，此时 有最小值为 1，但无最大值 6分 当 时， 时， ，所以 随 的增大而增大， 即 是偶数时， ，即： ； 8分 时， ， 即： ，所以 随 的增大而减小， 即 是奇数时， ，即： ； 由 得：
