1、2014届云南省昆明市高三上学期第一次摸底调研测试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知复数： ，则 z的共轭复数为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：化简 ，则 的共轭复数为 ，故选 C. 考点： 1.复数的化简； 2.共轭复数 . 过椭圆 的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于四点，则四边形 面积的最大值与最小值之差为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：当 为 ， 轴时，此时 （通径），面积取最大值为 ；当两条直线斜率都存在时，设直线 的方程为 ，与椭圆 联立后得： ，设 ，则 ， 同理 ，所以， 因为 ，所以 ，因而 ，故选 B. 考点： 1.椭圆中方程的联立
2、问题； 2.弦长公式以及四边形面积公式 . 己知函数 ，则下列结论中正确的是（ ） A若 是 的极值点，则 在区间 内是增函数 B若 是 的极值点，则 在区间 内是减函数 C ，且 D ， 在 上是增函数 答案： D 试题分析： ， 变化情况如下表： + 0 - - 0 + 单增 极大值 单减 单减 极小值 单增 由上表可知 是关键位置，在给定的 区间内不能说一定单增或一定单减，故排除 A,B；同时 C答案：也不成立，已知会存在 ，如， 在 上是增函数 .故选 D. 考点： 1.函数的单调性判断； 2.函数的极值求解 . 执行右面的程序框图，如果输入的 那么输出的 =（ ） A B C D 答
3、案： C 试题分析：当 ，则 ；当 ，则；当 ，则； ；当 ，则，故选 C. 考点： 1.对框图的理解与认识； 2.数列的求和 . 已知函数 的最小正周期为 2，且 ，则函数 的图象向左平移 个单位所得图象的函数式为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 的最小正周期为 2知 ，解得 ，即 ，又 ，解得 ，所以，向左平移 个单位得 ，故选A. 考点： 1.求解三角函数的式； 2.三角函数的平移变换 . 设 ，则 的大小关系为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由分数指数幂与根式的关系知：，从而易知 ，故选 A. 考点： 1.分数指数幂与根式的互换； 2.比较大小 . 一个几
4、何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，且该几何体的四个点在空间直角坐标系 中构坐标分别是 (0， 0， 0)， (2， 0， 0)，(2， 2， 0)， (0， 2， 0)，则第五个顶点的坐标可能为（ ） A（ 1， 1， 1） B C D 答案： C 试题分析：题中所给的四个点都是在底面 上，那么第五个点则是顶点，根据三视图可知，其 ， ，则 ，故选 C. 考点： 1.空间直角坐标系的考查； 2.对三视图的识别 . 已知斜率为 2的直线 双曲线 交 两点，若点是 的中点，则 的离心率等于（ ） A B 2 C D 答案： D 试题分析：设 ，带入双曲线得 ，相减得，即 ，化简得
5、，即 ，所以 ，则离心率，故选 D. 考点： 1.双曲线离心率的求解； 2.设而不求思想的应用 . 已知 中，内角 所对边长分别为 ，若，则 的面积等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由正弦定理知 ,将 带入得 ，解得 ，所以 ，故 是等边三角形，从而，故选 B. 考点： 1.正弦定理； 2.三角形的面积公式 . 已知 是两条不同的直线， 是个平面，则下列命题正确的是（ ） A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 答案： D 试题分析：由 A 可知 ，不能得到 ， 与 可以相交，可以平行，故 A不正确；由 B可知 ，不能得到 ， 可以与 平行，垂直，还可以在 面内，故 B
6、不正确；由 C可知 得到 与 可以平行， 可以在 面内，故 C不正确； D正确 . 考点： 1.线线、线面平行的判定； 2.线线、线面垂直的判定 . 已知 满足约束条件 若的最小值为 4，则 ，则（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：题中所给约束条件的可行域如下图： 由图可知 在 处取得最小值，则有 ，所以，故选 B. 考点： 1.线性规划求参数范围 . 已知集合 ，则 等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：解 ， ，则 ，故选 B. 考点： 1.解不等式； 2.集合的并集求解 . 填空题 设区域 ，区域 ，在区域 中随机取一个点，则该点恰好在区域 A中的概
7、率为 _. 答案： 试题分析：区域 如图中阴影部分，区域 的面积为 ，区域 的面积为，所以该点恰好在区域 中的概率. 考点： 1.几何概型的应用； 2.定积分公式求面积 . 一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 O 的球面上，则该圆锥的表面积与球 O的表面积的比值为 _. 答案： 试题分析：圆锥与球的截面如下图，设球的半径为 ，则圆锥底面圆的直径为，圆锥底面面积为 ，圆锥的侧面面积为，所以圆锥的表面积为 ，球的表面积为，所以其面积比为 . 考点： 1.圆锥与球的表面积； 2.球与其内接几何体的关系 . 的展开式中 的系数是 _. 答案： 试题分析：原式 = ， 中的通项为 ，
8、则 ，当 ，即 ，此时这项中 的系数为 ；当 ，即 ，此时这项中 的系数为 ，所以原式展开式中的系数为 . 考点： 1.二项式定理中项的系数的表示； 2.二项式定理的运算 . 在 中， 点 M满足 ，则_. 答案： 试题分析：由题意，三角形的形状如下图，且 . 考点： 1.平面向量的数量积运算 . 解答题 在直角坐标系 中， 是过定点 且倾斜角为 的直线；在极坐标系（以坐标原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线的极坐标方程为 . (I)写出直线 的参数方程；并将曲线 的方程化为直角坐标方程； (II)若曲线 与直线相交于不同的两点 ，求 的取值范围 答案： (I) （ 为
9、参数）； .(II) . 试题分析： (I)根据直线的参数方程公式已知，直线 的参数方程为（ 为参数）；要转化曲线 的极坐标方程，只需在等式两边同乘 ，得 ，故 ； ( II)具体做法可以将直线转化成直角坐标方程形式或者直接带入，也可以直接将 直接带入，而且都和参数 有关，所以可以可以直接将 带入，根据 判别式，韦达定理找出 的取值范围；接着用含 的形式表示出 ， 根据三角函数知识求出 范围 . 试题： (I)直线 的参数方程为 （ 为参数） . ,，所以 . (II)直线 的参数方程为 （ 为参数），带入 ，得，则有 ，又 ，所以 ， .而. , 所以 的取值范围为 . 考点： 1.参数方程
10、，极坐标方程与直角坐标方程的转化； 2.三角函数的最值求解 . 如图所示，己知 为 的 边上一点， 经过点 ，交 于另一点 ， 经过点 ， ，交 于另一点 ， 与 的另一交点为 . (I)求证： 四点共圆； （ II)若 切 于 ，求证： . 答案： (I) 四点共圆；（ II) . 试题分析： (I)要证 四点共圆，只需找出四边形 中一组对角之和为 ，连接 ，则四边形 分别内接于 ，则，而 ，故，从而 四点共圆；（ II)要证明 ，需要根据题中给定的角度相关关系解决，由（ 1）知 四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，则 ,而 切 于 ，则弧 所对的角 与弦切角 相等，故 ，得证 . 试题：证
11、明： (I)如图，连接 ，四边形 分别内接于 ，又 ，所以 四点共圆； （ II) 四点共圆， ，因为 切 于 ，所以 ，得证 . 考点： 1.四点共圆的证明； 2.圆的平面几何性质应用 . 己知函数 . (I)若 是， 的极值点，讨论 的单调性； (II)当 时，证明： . 答案：（ I)当 ， 单调递增；当 时 单调递减； (II)证明过程如下 . 试题分析：（ I)由 是函数 的极值点，可得 ，进而可得，进而分析 的符号，进而可由导函数的符号与函数单调性的关系，可得函数 的单调性； （ II) 要求 ，不易证明 .但当 时，进而转化证明 .可由图像法确定 零点 的位置 及 进而确定 的单
12、调性及 ，得证 . 试题： (I) 因为 ，所以 ，且 .又因是， 的极值点，所以 ，解得 ，所以， .另 得 ，此时 单调递增；当 时，解得 ，此时 单调递减 . （ II) 当 时， ，所以 .令，只需证 .令 ，即 ，由图像知解唯一，设为 ，则 ， .所以当时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减 .所以 ，因为 ，所以.综上，当 时， . 考点： 1，导数与函数单调性； 2含参不等式的证明 . 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ，以 为圆心的圆 与 相切于点 ， 的纵坐标为 ， 是圆 与 轴除 外的另一个交点 . (I)求抛物线 与圆 的方程； ( II)已知直线 ， 与 交于 两点
13、， 与 交于点 ,且， 求 的面积 答案： (I)抛物线为： ，圆的方程为： ； ( II) . 试题分析： (I)根据抛物线的方程与准线，可得 ，由 的纵坐标为， 的纵坐标为 ，即 ， ，由题意可知： ，则在等腰三角形中有或 ，由于 不重合，则.则抛物线与圆的方程就得出 . (II)根据题意可得三角形 是直角三角形，又因 ，则 是 的中点，即解得. 联立直线与抛物线方程得 则由弦长公式得 ，又根据点到直线的距离得出 到 的距离 ，从而得出 . 试题： (I)根据抛物线的定义：有 由 的纵坐标为 ，的纵坐标为 ， ，则 ，又由得 则抛物线为： ，圆的方程为： ( II)由 , 根据题意可得三角
14、形 是直角三角形，又因 ，则 是 的中点，即 解得 . 由 ,根据点到直线的距离得出 到的距离 ，从而得出 . 考点： 1.抛物线的定义与抛物线与直线之间的关系； 2.对弦长公式与点到直线距离的考查 . 如图，在直三棱柱 中， D、 E分别为 、 AD的中点， F为上的点，且 (I)证明： EF 平面 ABC； ( )若 ， ，求二面角 的大小 . 答案： (I) EF 平面 ABC；（ II） . 试题分析： (I) 取线段 的中点 ，证明平面 平面 ，就可以证明平面 ； （ II）通过解 ，发现 ，又因为 平面 ，所以我们可以为原点建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量的夹角，即为
15、所求角或者是所求角的补角 . 试题：（ I）取线段 的中点 ，并连接 、 ,则 , , , , 平面 平面 , 平面 , 平面 （ II）已知在 中， ， 由 ,可求得 如图建立空间直角坐标系 则 , ， ， . ， ， 设平面 的一个法向量 则 ,即 可取 设平面 的一个法向量 则 ,即 可取 二面角 的大小为 考点： 1.线面平行的证明； 2.空间直角坐标系的建立； 3.法向量的求法； 4.利用向量解决空间几何问题 . （在数学趣味知识培训活动中，甲、乙两名学生的 6次培训成绩如下茎叶图所示： ( )从甲、乙两人中选择 1人参加数学趣味知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由； (
16、II)从乙的 6次培训成绩中随机选择 2个，记被抽到的分数超过 115分的个数为，试求 的分布列和数学期望 答案：（ I）选择乙；（ II） . 试题分析：（ I）根据茎叶图，写出两个同学的成绩，对于这两个同学的成绩求出平均数，结果两人的平均数相等，再比较两个人的方差，得到乙的方差较小，这样可以派乙去，因为乙的成绩比较稳定（ II）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是从乙的 6次培训成绩中随机选择 2个，满足事件的恰好有 2次，记被抽到的分数超过 115分的个数为 ，由题意值 可取0,1,2，根据古典概型的概率公式求出对应的概率，写出分布列，求出期望 . 试题：（ I） ；.
17、； . 所以，甲乙两方的平均水平一样，乙的方差小，乙发挥的更稳定，则选择乙 . (II) ； ； . 的分布列为： 0 1 2 所以数学期望 . 考点： 1.茎叶图； 2.平均数与方差； 3.离散型随机变量及其分布列； 4.期望 . 已知等差数列 中， ； 是 与 的等比中项 (I)求数列 的通项公式： (II)若 求数列 的前 项和 . 答案： (I)当 时， ；当 时， ； (II) . 试题分析： (I)通过已知 ，可以设公差为 ，然后根据等比中项的概念列出等式 解出公差 或 ，所以当 时， ；当 时，； (II)根据条件可以确定 的通项公式 ，则 ，然后用错位相减法解出 . 试题： (
18、I)由题意， ，即 ，化简得 ， 或 , 当 时， ；当 时， . (II) ， ， , 2，得 , - ，得= , . 考点： 1.等比中项的用法； 2.错位相减法求数列和 . 己知函数 . (I)若关于 的不等式 的解集不是空集，求实数 的取值范围； (II)若关于 的一元二次方程 有实根，求实数 的取值范围 . 答案： (I) ； (II) 试题分析： (I)由题意知，只需 ，解出 即可，根据绝对值不等式的性质知 ，故 ，解得或 ； (II)由题意方程有实根，则 ，即，化简得 ，提出 得，根据绝对值的几何意义知，此式表示的是 到 的距离与 到 的距离之和小于 ，从数轴上易知 . 试题： (I)由题意， ， ，解得 或 ，所以 的取值范围为 . (II)由题意， ，化简得 ，即， 所以 ，故 的取值范围为 . 考点： 1.绝对值不等式的解法； 2.一元二次方程根的判断 .
