1、2014届北京市东城区高三上学期期末统一检测文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 A=x|0l”是 “x21”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析： 解得 ，所以 “xl”是 “x21”的充分不必要条件。故A正确。 考点： 1一元二次不等式； 2充分必要条件。 下列函数中，既是偶函数又在区间（ 0， + ）上单调递减的是（ ） A y=-ln|x| B y=x3 C y=2|x| D y=cosx 答案： A 试题分析： y= -ln|x|是偶函数，且在区间（ 0， + ）上单调递减，故 A正确；y=x3是奇函
2、数且在区间（ 0， + ）上单调递增，故 B不正确； y=2|x|是偶函数且在区间（ 0， + ）上单调递增，故 C不正确； y=cosx是偶函数但在区间（ 0， +）上不具有单调性，故 D不正确。 考点： 1函数奇偶性； 2函数单调性。 在复平面内，复数 i（ 2+i）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 试题分析： ，在复平面内对应的点为 ，位于第二象限。故 B正确。 考点： 1复数的乘法； 2复数和复平面内的点一一对应。 填空题 对于实数 x，用 x表示不超过 x的最大整数，如 0 3=0， 5 6=5若n N*， an= ,Sn为数列 an的前
3、 n项和，则 S8= ； S4n= 。 答案： 试题分析：因为 an= ，所以当 时 ；当 时 ；当； 当 时 。所以。考点： 1新概念问题； 2等差的前 n项和公式。 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 。 答案： 试题分析：此几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥，且有一个棱与底面垂直。由三视图分析可知底面梯形上底长为 1，下底长为 2，高为 。棱锥高为 1。所以体积 。 考点： 1三视图和空间几何体之间的关系； 2锥体的体积的计算公式。 已知变量 x， y满足约束条件 则 z=4x 2y的最大值为 。 答案： 试题分析： ，令 。作出可行域如图中阴影部分， 将 化为 ，作出直线 并平
4、移，使之经过可行域，易知经过点 时，纵截距最大，此时 。因为 在 上为增函数，所以 。 考点： 1指数函数的单调性； 2线性规划知识。 在 ABC中， a=15， b=10， A=60o，则 cosB= 。 答案： 试题分析：由正弦定理 可得 ，解得 。所以。因为 ，所以 ，所以角 为锐角，所以。 考点： 1三角形中正弦定理； 2同角三角函数基本关系式。 双曲线 y2=1的离心率 e= ；渐近线方程为 。 答案： 试题分析：由双曲线方程可知 ，所以 ，所以离心率。渐近线方程为 即 。 考点： 1.双曲线的离心率； 2.双曲线的渐近线 命题 “ R， x0） （ I）当 a=2时，求 f（ x）
5、的单调区间与极值； （ ）若对于任意的 x （ 0， + ），都有 f（ x） b0）的离心率为 ，右焦点为（ ， 0） （ I）求椭圆的方程； （ ）过椭圆的右焦点且斜率为 k的直线与椭圆交于点 A（ xl， y1） ,B（ x2，y2），若 ， 求斜率 k是的值 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ ）由右焦点可知 ，由离心率可求 ，根据可求 。（ ）设出直线方程 ，然后联立，消掉 y（或 x）得到关于 x的一元二次方程，再根据 韦达定理得出根与系数的关系式。先求出 再将 、 代入 求得 的值。 试题：解（ ）因为右焦点为（ ， 0），所以 。因为 ，所以 。 因为 ，所以 故椭圆方程为 分
6、 （ ）因为直线 过右焦点 ，设直线 的方程为 . 联立方程组 消去 并整理得 （ *） 故 ， 又 ，即 所以 ，可得 ，即 考点：椭圆的基础知识、直线与椭圆的位置关系，考查分析问题、解决问题以及化归与转化的能力，考查综合素质。 设集合 Sn=1， 2， 3， n），若 X是 Sn的子集，把 X中所有元素的和称为X的 “容量 ”（规定空集的容量为 0），若 X的容量为奇（偶）数，则称 X为 Sn的奇（偶）子集 （ I）写出 S4的所有奇子集； （ ）求证： Sn的奇子集与偶子集个数相等； （ ）求证：当 n3时， Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和 答案：（ I）详见；（ ）
7、详见；（ ）详见 试题分析：（ I）根据奇子集的定义可直接得出，注意应按规律一一列出以防重写或漏写。（ ）取 Sn的任意一个奇子集 可能含有 1也可能不含 1，当奇子集 含有 1时，令 ，当奇子集 不含 1时，令 ，则 为的偶子集，且 与 相对应，反之也成立。因为 与 相对应即 Sn的奇子集与偶子集个数相等。（ ）由（ ）知 Sn的奇子集与偶子集个数相等，且 Sn中每一个元素在奇子集与偶子集中出现的次数是相同的，所以 Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。 试题：（ I） （ ）对于 Sn的每个奇子集 ， 当 时，取 ；当 时，取 。 则 为 的偶子集。 反之，若 为 的偶子集， 当 时，取 ；当 时，取 。 则 为 的奇子集。 的奇子集与偶子集之间建立了一一对应的关系，所以 的奇子集和偶子集的个数相等。 （ ）对于任意 ， 当 时，含 的 的子集共有 个。由（ ）可知，对每个数 ，在奇子集与偶子集中， 所占的个数是相等的； 当 时，将（ ）中的 1换成 3即可。 可知 在奇子集与偶子集中占的个数是相等。 综合（ 1）（ 2），每个元素都是在奇子集与偶子集中占的个数相等。 所以 Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。 考点：新概念问题。
