1、2014届北京市昌平区高三年级第二次统一练习数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 , ,则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ，即 。 ，即 ，所以 。故 B正确。 考点： 1一元二次不等式； 2集合的运算。 已知 ，若函数 只有一个零点，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：可将问题转化为函数 和 的图像只有一个交点。将变形为 ，可知直线过定点 。 时，函数 在上是增函数，且 ；当 时，函数 在 上单调递减，且。当 时，显然成立；当 时，直线与函数相切时，因定点 即在直线 上又在函数图像上，则此点 即为切点，因为 ，由导数的几何意义可得 ，有数形结
2、合分析可知 时两函数图像只有一个交点；当 时，直线与函数 相切时点 即为切点。因为此时，所以 即此时切线的斜率 ，由数形结合分析可知 时两函数图像只有一个交点。综上可得 或 。故 D正确。 考点： 1函数的单调性； 2数形结合思想。 某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由三视图分析可知此几何体为底面是直角三角形，其中一条侧棱垂直与底面的三棱锥。底面三角形两直角边分别为 3、 4，棱锥高为 6.则棱锥体积为。故 A正确。 考点： 1三视图； 2棱锥体积公式。 在 中， ， ，则 等于（ ） A B C 或 D 或 答案： C 试题分析： ，
3、解得 ，因为 ，所以 或 。故 C正确。 考点：三角形面积公式。 的展开式中 的系数是 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：通项 ，令 解得 。则 的系数为 。故 D正确。 考点：二项式定理。 设 ，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， ，因为 ，即。综上可得 。故 C正确。 考点： 1指数函数的单调性及值域； 2对数函数的单调性。 “ ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：根据不等式同向正数可乘性可得 ；但 ，不妨取，故 “ ”是 “ ”的必要不充分条件。故 A正确。 考点：充分必要条件。
4、 填空题 已知正方体 的棱长为 2，在四边形 内随机取一点 ,则的概率为 _ ， 的概率为 _. 答案： ； 试题分析：四边形 为矩形且 。当点 在以 为直径的圆上时 ，分析可知点 在以 为直径的圆内时 。所以在四边形 内随机取一点 ,则 的概率为 。 为圆 的弦其中弧 为圆 的劣弧。 为优弧 上一点，当 时，则 ，设圆的半径为 ，则 即 。则在矩形内使 的区域面积为 ，则 的概率为为 。 考点： 1几何概型概率； 2扇形面积。 选派 5名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派方法共有 _种 . 答案： 试题分析：先将 5人分成 4组每组至少一人，即一组 2人另三组
5、个 1人，共有种不同分法，然后再将这四组分到四项活动中去共种分法，根据分步计数原理可得此项活动的不同的选派方法共有种。 考点：排列组合。 已知抛物线 的焦点为 ，则 _， 过点 向其准线作垂线，记与抛物线的交点为 ，则 _. 答案： ； 试题分析：由抛物线焦点为 可得 ，所以 。所以抛物线方程为，分析可知点 在抛物线的内部，由点 向抛物线的准线 作垂线，此垂线方程 为 ，将 代入抛物线方程 可得 ，即 ，所以 。 考点：抛物线的方程。 如图，已知 中，弦 , 为 直径 . 过点 作 的切线，交 的延长线于点 ， .则 _ . 答案： 试题分析：连接 ，因为 为 直径， 为圆上一点，所以 ，由弦
6、切角定理可得 ,所以 ，所以，所以 ,所以 .在直角三角形中可得 ，所以 。由切割线定理可得 ，即，将 ， 代入上式可得 ，解得。 考点： 1弦切角定理； 2切割线定理。 圆 ： 的圆心到直线 的距离为 _ . 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，即 ，整理 可得。圆 直角坐标方程为 ，其圆心为 。 直线化为直角坐标方程为 ，所以圆心到直线 距离为 。 考点：极坐标与直角坐标方程间的互化。 若数列 满足： ，则 _ . 答案： 试题分析：由 可得 ，所以数列 是首项为 公比为 的等比数列。所以 。 考点： 1等比数列的定义； 2等比数列的通项公式。 如图， 是半圆 的直径， 是弧 的三等分点，
7、是线段 的三等分点，若 ，则 的值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系。由题意知, ，所以，即 。所以， ， 。故 C正确。 考点： 1坐标法解向量问题； 2向量的数量积公式。 解答题 已知函数 . （ 1）求 的值； （ 2）当 时，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）法一：因为 是特殊角所以可直接代入式；法二：用同角三角函数关系式将函数用 表示，并将其整理，然后再将角 代入式。（ 2）若（ 1）中没将函数变形应先变形，然后由 得范围求 的范围，再求函数 范围。 解：（ 1）因为 1分 ， 3分 所以 .
8、 6分 （或 3分） （ 2）因为 所以 . 8分 所以 . 所以 . 10分 所以 . 所以 . 12分 所以 的取值范围为 . 13分 考点： 1同角三角函数关系式； 2正弦函数的图像及值域； 3配方法求最值。 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案 :应聘者从 道备选题中一次性随机抽取道题 ,按照题目要求独立完成 .规定 :至少正确完成其中 道题的便可通过 .已知 道备选题中应聘者甲有 道题能正确完成 , 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ,且每题正确完成与否互不影响 . （ 1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列 ,并计算其数学期望； （ 2）请分析比较甲、乙两人谁的面
9、试通过的可能性大？ 答案：（ 1)详见；（ 2)甲获得面试通过的可能性大 试题分析：（ 1)设甲正确完成面试的 题数为 , 则 的取值分别为 ，根据古典概型概率公式可得 ，从而可得其分布列及期望值；设乙正确完成面试的题数为 ，则 取值分别为 ，乙正确完成面试题数属二项分布，根据二项分布概率公式得 ，从而可得其分布列及期望值。（ 2）先比较期望值，期望值大说明通过的可能性大。若期望值相等，则应根据期望值计算其各自的方差，方差小说明相对稳定，故方差小的通过的可能性大。 解 :（ 1）设甲正确完成面试的题数为 , 则 的取值分别为 . 1分 ； ； ； 3分 考生甲正确完成题数 的分布列为 . 4分
10、 设乙正确完成面试的题数为 ，则 取值分别为 . 5分 ； , , . 7分 考生乙正确完成题数 的分布列为 : . 8分 （ 2）因为 , 10分 . 12分 （或 ） . 所以 . (或：因为 , , 所以 . ) 综上所述， 从做对题数的数学期望考查 ,两人水平相当； 从做对题数的方差考查 ,甲较稳定； 从至少完成 道题的概率考查 ,甲获得面试通过的可能性大 . 13分 考点： 1古典概型概率； 2二项分布； 3期望和方差。 已知正四棱柱 中， . （ 1）求证： ； （ 2）求二面角 的余弦值； （ 3）在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
11、. 答案：（ 1）详见；（ 2） （ 3）存在， 试题分析：（ 1）可证 平面 ，从而可得 。（ 2）（空间向量法）以 为原点建立空间 直角坐标系 ，如图。根据边长可得各点的坐标，从而可得各向量的坐标，根据向量垂直数量积为 0可求平面 的法向量，由（ 1）知平面 ，所以 即为平面 的法向量，先求两法向量所成角的余弦值，但应注意两法向量所成的角与二面角的平面角相等或互补，观察可知此二面角为钝角，所以此二面角的余弦值应为负数。（ 3）设 为线段 上一点 ,且，根据向量共线，可用 表示出点 坐标。分别求两个面的法向量，两面垂直，则两法向量也垂直，即数量积为 0，从而可得 的值，若所得 在内说明存在点
12、 满足条件，否则说明不存在。 证明：（ 1）因为 为正四棱柱， 所以 平面 ，且 为正方形 . 1分 因为 平面 ， 所以 . 2分 因为 , 所以 平面 . 3分 因为 平面 , 所以 . 4分 （ 2）如图，以 为原点建立空间直角坐标系 .则 5分 所以 . 设平面 的法向量 . 所以 .即 6分 令 ，则 . 所以 . 由（ 1）可知平面 的法向量为 . 7分 所以 . 8分 因为二面角 为钝二面角， 所以二面角 的余弦值为 . 9分 （ 3）设 为线段 相关试题 2014届北京市昌平区高三年级第二次统一练习数学试卷（带） 已知函数 , . （ 1）求的单调区间； （ 2）当 时，若对于
13、任意的 ，都有 成立，求 的取值范围 . 答案：（ 1）当 时函数在 上单调递减，在 上单调递增；当 时函数在 上单调递增，在 上单调递减。（ 2） 试题分析：（ 1）先求导可得 ，讨论 导数再其定义域内的正负，导数正得增区间，导数负得减区间。讨论导数符号问题时应注意对 正负的讨论。（ 2）将问题转化为当 时，对于任意的恒成立。令 ，先求导，再讨论导数的正负，从而得函数 的单调性，根据单调性求函数 的最值，使其最小值大于等于 0即可。 解：（ 1）函数的定义域为 . 1分 因为 ， 2分 令 ，解得 . 3分 当 时， 随着 变化时，和 的变化情况如下： 即函数在 上单调递减，在 上单调递增
14、. 5分 当 时， 随着 变化时，和 的变化情况如下： 即函数在 上单调递增，在 上单调递减 . 7分 （ 2）当 时，对于任意的 ，都有 成立， 即 . 所以 . 设 . 因为 , 8分 令 ，解得 . 9分 因为 ， 所以随着 变化时， 和 的变化情况如下： 即函数 在 上单调递增，在 上单调递减 . 10分 所以 . 11分 所以 . 所以 . 12分 所以 已知椭圆 的左右 焦点分别为 ，点 为短轴的一个端点， . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）如图，过右焦点 ，且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 两点， 为椭圆的右顶点，直线 分别交直线 于点 ，线段 的中点为 ，记直线 的斜率为
15、. 求证 : 为定值 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见 试题分析：（ 1）由点 为短轴的一个端点可知 ，在直角三角形 中已知 ，从而可得 。因为 ，所以.（ 2）设过点 的直线 方程为： ，与椭圆方程联立消去整理为关于 的一元二次方程，设点 即 为方程的两根，可得根与系数的关系。由斜率公式可分别求得直线 和直线 的斜率，根据点斜式可得两直线方程。直线 和直线 分别与直线 联立，求交点 。根据中点坐标公式可得点 坐标。根据斜率公式求 。即可证得 为定值。 解：（ 1）由条件可知 ， 2分 故所求椭圆方程为 . 4分 （ 2）设过点 的直线 方程为： . 5分 由 可得： 6分 因为点 在椭圆内
16、，所以直线 和椭圆都相交，即 恒成立 . 设点 ，则 . 8分 因为直线 的方程为： ， 直线 的方程为： ， 9分 令 ，可得 ， ， 所以点 的坐标 . 10分 直线 的斜率为 12分 所以 为定值 . 13分 考点： 1椭圆的简单性质及方程； 2直线与椭圆的位置关系； 已知数列 的各项均为正数，记 , , . （ 1）若 ，且对任意 ，三个数 组成等差数列，求数列 的通项公式 . （ 2）证明：数列 是公比为 的等比数列的充分必要条件是：对任意 ，三个数 组成公比为 的等比数列 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见 试题分析：（ 1）由三个数 是等差数列，可得 .根据定义可知即 。变形为
17、，由等差数列的定义可知，数列 是首项为，公差为的等差数列。从而可得其通项公式。（ 2）若对于任意 ，三个 组成公比为 的等比数列，则，由 得将上式变形整理根据等比数列的定义可证得数列 是公比为 的等比数列；若数列 是公比为 的等比数列 ，则对任意 ，有 .根据已知可证得 ，从而三个数 组成公比为 的等比数列 . 解 : （ 1)因为对任意 ，三个数 是等差数列， 所以 . 1分 所以 , 2分 即 . 3分 所以数列 是首项为，公差为的等差数列 . 4分 所以 . 5分 （ 2）（）充分性：若对于任意 ，三个数 组成公比为 的等比数列，则 . 6分 所以 得 即 . 7分 因为当 时，由 可得 ， 8分 所以 . 因为 ， 所以 . 即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 9分 （）必要性：若数列 是公比为 的等比数列，则对任意 ，有 . &nb
