1、2014届北京市朝阳区高三上学期期末考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ,集合 ,则 =（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ，且 在 是增函数，所以 ，所以集合 ,集合 ,所以 ，故 A正确。 考点：不等式，集合的运算。 函数 的图象为曲线 ，函数 的图象为曲线 ，过轴上的动点 作垂直于 轴的直线分别交曲线 ， 于 两点，则线段 长度的最大值为（ ） A 2 B 4 C 5 D答案： D 试题分析：过点 作垂直于 轴的直线方程为 ，与曲线交点 ，与曲线 交点 ，所以，因为 ，所以， ，所以 ，所以 。 考点： 1.两点间的距离； 2.二次函数的最值。 若双曲线
2、： 与抛物线 的准线交于 两点，且 ，则 的值是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由抛物线方程可知其准线方程为 ，因为双曲线是轴对称图形，所以可知点 A，点 B到 x轴距离均为 ，不妨设 ,知点 A在双曲线上，代入双曲线方程得 ，故 D正确。 考点：双曲线和抛物线的几何性质，数形结合的思想。 已知 ，且 ，则 等于 （ ） A B CD 答案： D 试题分析：因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故 D正确。 考点：三角函数同角函数基本关系式，两角和的正切公式。 若实数 满足 ，则 的最小值为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：由约束条件作出可行域如图中阴影部分，将 化为 ，
3、作出直线 并平移， 使之经过可行域，易知经过点 时，纵截距最小，同时 z最小为。故 B正确。 考点：线性规划的相关知识。 已知函数 则 是 成立的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：当 时， ，所以充分条件成立；当时， ，所以必要性不成立，故 A正确。 考点： 1.充分必要条件； 2.分段函数 执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ） A 6 B 24 C D 答案： C 试题分析：根据框图的循环结构，依次，跳出循环，输出结果 。故 C正确。 考点：算法、程序框图。 为了得到函数 的图象，可以把函数 的图象上所有的点（ ）
4、A向右平行移动 2个单位长度 B向右平行移动 个单位长度 C向左平行移动 2个单位长度 D向左平行移动 个单位长度 答案： B 试题分析：因为 ，所以只需将函数 的图象上所有的点向右平移一个单位即可得到 的图像（注意变换的只是自变量x）。故 B正确。 考点：函数图像平移变换。 填空题 用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的 .（写出满足条件的图形序号） （ 1）正三角形 （ 2）梯形 （ 3）直角三角形 （ 4）矩形 答案：（ 1）（ 2）（ 4） 试题分析：在正方体 中，当截面为 时，可得正三角形，故（ 1）正确。设 AB中点为 E， BC中点为 F，当截面为 时，截面为梯形，
5、故（ 2）正确。当截面图像有一个角为直角时，其截面必与正方体的一个面平行，此时截面比为四边形，不可能是三角形，所以（ 3）不正确。当截面为时，可得矩形，故（ 4）正确。 考点： 立体几何截面图。 在 中， ， ，则 ； 的最小值是 . 答案： , 试题分析： ,所以 ，,所以 。 考点： 1.向量数量积； 2.余弦定理； 3.基本不等式 直线 ： 被圆 截得的弦 的长是 . 答案： 试题分析：圆心为 ，半径为 ，圆心到直线 的距离为，因为圆心与弦 AB中点的连线垂直平分弦，所以，解得 。 考点： 1.直线和圆的位置关系； 2.点到线的距离公式； 3.勾股定理。 某校为了解高一学生寒假期间的阅读
6、情况，抽查并统计了 100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这 100名学生中阅读时间在 小时内的人数为 _ 答案： 试题分析：频率分布直方图中每个小矩形的面积就是每个区间的频率，再根据计算。所以这 100名学生中阅读时间在 小时内的人数为考点：频率分布直方图。 已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 . 答案： ， 试题分析：由三视图还原为立体图三棱锥 , 其中， 。所以 ,体积。 ， , ，所以表面积是 考点：三视图和空间几何体之间的关系，涉及表面积、体积的计算公式。 已知数列 为等差数列，若 ， ，则公差 答案： 试题分析： 所以 。 考点
7、：等差数列的定义。 解答题 已知函数 . （ ）求 的值； （ ）求函数 的最小正周期及单调递增区间 . 答案：（ ） 1；（ ） 、 , 试题分析：（ ）将 分解为 ，前者用余弦二倍角降幂，或者和 相加和为 1。 用正弦二倍角公式化为 ，最后在用化一公式化简。在代入角求值。（ ）由（ ）知 ，根据周期公式 ,求其周期。将 整体代入正弦增区间，求 的取值范围，即为函数 增区间。 试题：（ ）依题意 . 则 . 7分 （ ） 的最小正周期 . 当 时，即 时 , 为增函数 . 则函数 的单调增区间为 , . .13分 考点：（ 1）三角函数的基本关系式、二倍角公式，化一公式。（ 2）正弦的周期公
8、式和单调性。 甲、乙两名同学参加 “汉字听写大赛 ”选拔性测试 .在相同的测试条件下，两人 5次测试的成绩（单位：分）如下表： （ ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图 . 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）； （ ）若从甲、乙两人 5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，求抽到的两个成绩中至少有一个高于 90分的概率 . 答案：（ ）略；（ ） 试题分析：（ ）茎表示得分的十位数，放在中间的列，叶表示得分的个位数，放在两侧。从茎叶图可观察出甲的得分比较分散，乙得分比较集中即波动小、相对稳定，所以应选派乙参赛更好。（ ）用列举法例举出所有基本事件，和抽到的两个成绩中至少有一个高于 90分的基
9、本事件，根据古典概型概率公式求其概率。 试题： （ ）茎叶图如下图所示，由图可知， 乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好 . 6分 （ ）设事件 ：抽到的成绩中至少有一个高于 90分 . 从甲、乙两人 5次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下： 共 25个 . 事件 包含的基本事件有 共 9个 . 所以 ，即抽到的成绩中至少有一个高于 90分的概率为 . .13分 考点： 1.茎叶图； 2.古典概型 如图，在三棱锥 中，平面 平面 , ，设 ， 分别为 ， 中点 . （ ）求证： 平面 ； （ ）求证： 平面 ; （ ）试问在线段 上是否存在点
10、，使得过三点 , , 的平面内的任一条直线都与平面 平行？若存在，指出点 的位置并证明；若不存在，请说明理由 答案：（ ）详见；（ ）详见；（ ）存在，点 是线段 中点。 试题分析：（ ）由中位线直接可得 ，由线面平行的判定定理可直接证得 平面 。（ ）根据线面垂直的判定定理需证 和面 内的两条相交直线都垂直。已知条件中已有 ，又因为已知平面 平面 , ，由面面垂直的性质定理可得 面 ，有线面垂直可得线线垂直。问题即可得证。（ ）要使得过三点 , , 的平面内的任一条直线都与平面 平行，只需证 面 DEF与面 PBC平行即可。根据面面平行的定理，需证面 DEF内的两条相交线都和面 PBC平行。
11、第一问中已征得 平面，根据第一问的思路， F别为 AB的中点，就可同（ ）证出 PF与面PBC平行。 试题：证明： （ ）因为点 是 中点，点 为 的中点， 所以 又因为 面 ， 面 ， 所以 平面 4分 （ ）因为平面 面 , 平面 平面 = ,又 平面 ，所以 面 . 所以 又因为 ，且 ， 所以 面 9分 （ ）当点 是线段 中点时，过点 , , 的平面内的任一条直线都与平面平行 取 中点 ，连 ，连 . 由（ ）可知 平面 因为点 是 中点，点 为 的中点， 所以 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 又因为 ， 所以平面 平面 ， 所以平面 内的任一条直线都与平面 平行 故当点 已
12、知函数 ，其中 . （ ）若 ，求 的值，并求此时曲线 在点 处的切线方程； （ ）求函数 在区间 上的最小值 . 答案：（ ） 、 ；（ ）当 时 ；当时， ；当 时， 的最小值为 。 试题分析：（ ）先求导，代入 0 可求得 a 的值。再将 代入原函数求 ，既得切点坐标，再将 代入导函数求 ，根据导数的几何意义可知即为切线在点 处切线的斜率，根据直线方程的点斜式即可求得切线方程。（ ）先求导数，及其零点，判断导数符号变化，即可得原函数增减变化，可得其极值。再求其端点处的函数值。比较极值和端点处函数值最小的一个即为最小值。此题注意分类讨论。 试题：解：（ ）已知函数 ， 所以 ， ， 又 ，
13、所以 . 又 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 . 5分 （ ） ， 令 ，则 . （ 1）当 时， 在 上恒成立，所以函数 在区间上单调递增，所以 ； （ 2）当 时，在区间 上， ，在区 间 上， ，所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且 是上唯一极值点，所以 ； （ 3）当 时，在区间 上， （仅有当 时 ），所以在区间 上单调递减 所以函数 . 综上所述，当 时，函数 的最小值为 ， 时，函数 的最小值为 13分 考点：（ 1）导数、导数的几何意义（ 2）利用导数研究函数性质 已知椭圆 两焦点坐标分别为 , ，一个顶点为 . （ ）求椭圆 的标准方程； （ ）是否存在斜
14、率为 的直线 ，使直线 与椭圆 交于不同的两点，满足 . 若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由 . 答案：（ ） ；（ ）存在， 试题分析：（ ）由题意可得 b和 c，再根据 ，可求得 。即可求出椭圆方程。（ ）由点斜式设出直线方程，然后联立，消掉 y（或 x）得到关于 x的一元二次方程。因为有两个交点所以判别式大于 0，再根据韦达定理得出根与系数的关系。已知 ，如用两点间距离公式，计算量非常大，故可多分析问题得到设线段 中点为 P，则有 ，可用直线位置关系列式计算，也可转化为向量用数量积计算，后边的方法计算较为简单。 试题：（ ）设椭圆方程为 .则依题意 ， ，所以 于是椭圆 的方程
15、为 4分 （ ）存在这样的直线 . 依题意，直线 的斜率存在 设直线 的方程为 ，则 由 得 因为 得 设 ，线段 中点为 ，则 于是 因为 ，所以 . 若 ，则直线 过原点， ，不合题意 . 若 ，由 得， ，整理得 由 知， ， 所以 又 ，所以 . 14分 考点：（ 1）椭圆的定义及简单几何性质（ 2）直线与圆锥曲线的位置关系的问题 已知数列 的通项 ， . （ ）求 ； （ ）判断数列 的增减性 ,并说明理由； （ ）设 ，求数列 的最大项和最小项 . 答案： ( ) , （ ） 时，数列 为递增数列，时，数列 为递减数列； ( )最大项为 ，最小项为 。 试题分析： ( ) 直接代入即可求值（ ）用后一项减前一项，结果和 0 作比较。结果等于 0，说明是常数列；结果大于 0，说明是递增数列；结果小于 0说明是递减数列。注意讨论。（ ）先求数列数列 的通项公式，再用作差法判断数列的增减性，再求其最值。 试题：（ ） , . .2分 （ ） . 则当 时， ，则 时，数列 为递增数列， ; 当 时， ，数列 为递减数列， . .7分 ( )由上问可得， ， . 令 ，即求数列 的最大项和最小项 . 则 . 则数列 在 时递减，此时 ，即 ； 数列 在 时递减，此时 ，即 . 因此数列 的最大项为 ，最小项为 . . .13分 考点：作差法比较大小，考查分类讨论思想。
