1、2014届北京市朝阳区高三第一次综合练习文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 , ,则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， 考点：集合运算 如图，梯形 中， , , , ,将沿对角线 折起设折起后点 的位置为 ，并且平面 平面.给出下面四个命题： ； 三棱锥 的体积为 ； 平面 ； 平面平面 . 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 答案： 试题分析： 若 ，取 的中点 ，由 得， ，又因为平面 平面 ，所以 平面 ，即 ，所以平面 ，得 ，而 ，故命题不成立； 三棱锥的体积为 ，故命题不成立； 因为， ，所以 ，又因为平面 平面 ，平面 ，故命题成立； 由 知
2、 平面 ，故 ，又因为 ，所以 平面 ，所以平面 平面 ，故命题成立；由此可得正确命题的序号是 考点：立体几何中垂直问题 已知 和 是平面内两个单位向量，它们的夹角为 ，则 与的夹角是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意 ， ， ，故 ，所以，故 与 的夹角是 考点：向量的数量积 函数 的图象大致为（ ） 答案： A 试题分析：因为函数 满足， ，故函数为奇函数，所以函数 的图象关于原点对称可排除 ，当 时 ,函数 ，可排除 ，故选 考点：函数的奇偶性，函数图像 执行如右图所示的程序框图，则输出 的值是（ ） A 10 B 17 C 26 D 28 答案： 试题分析：第一次运行
3、后 ；第二次运行后 ；第三次运行后；第四次运行后 ；此时满足 ，终止运行，故输出考点：算法框图 在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中 ,甲、乙两位队员各跳一次设命题 是 “甲落地站稳 ”, 是 “乙落地站稳 ”,则命题 “至少有一位队员落地没有站稳 ”可表示为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： “至少有一位队员落地没有站稳 ”它的否定是 “两位队员落地都站稳 ”，故为 ，而 的否定是 考点：逻辑量词 若 满足约束条件 则函数 的最大值是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由约束条件 画出可行域，由可行域可知，在 点取得最大值，最大值为 考点：线性规划 已知 为虚数单
4、位 ,复数 的值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 考点：复数运算 填空题 将 1， 2， 3， ， 9这 9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上现在第一张卡片上已经写有 1和 5，第二张卡片上写有 2，第三张卡片上写有 3，则 6应该写在第 张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是 答案：二； 试题分析：由题意， 不能写在第一张卡片上，因为 ， 不能写在第二张卡片上，因为 ，故 只能写在第三张卡片上； 不能写在第一张卡片上，因为 ， 不能写在第三张卡片上，因为 ，故 只能写在第二张卡片上； 不能写在第二张卡片上，因为 ， 不能写在第三张卡
5、片上，因为 ，故 只能写在第一张卡片上；剩余 只能放到第二，三张卡片上， 不能写在第三张卡片上，因为 ，故 只能写在第二张卡片上，剩余 只能放到第三张卡片上，故 6应该写在第二张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是 考点：逻辑推理 已知直线 与曲线 交于不同的两点 ，若 ，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：设 的重点为 ，由 得，从而得 ，由点到直线的距离公式可得 ，解得 考点：直线与圆相交的性质 一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ；表面积为 答案： ； 试题分析：由三视图知几何体如下图，为一个直三棱柱，且三棱柱的一个侧面与另一个侧面垂直， 几何体的体积 它的
6、表面积为 考点：由三视图求面积、体积 在 中， 分别是角 的对边已知 , , ，则； . 答案： ； 试题分析：由余弦定理得，所以 ，由正弦定理得， ，即 ，又因为 ，所以 考点：解三角形 在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为 90分，去掉一个最高分后平均分为 86分 .那么最高分比最低分高 分 . 答案： 试题分析：设最高分与最低分分别为 ，则 ，解得 考点：统计，平均值 抛物线 的准线方程是 . 答案： 试题分析：由题意可知 ，所以 ，焦点在 轴的正半轴，故准线方程是 考点：抛物线的准线 解答题 已知函数 . （ 1）求 的值及函数 的单调递增区间； （
7、2）求函数 在区间 上的最大值和最小值 答案：（ 1） ， 的单调递增区间是 ， ；（ 2） 取得最小值 ， 取得最大值 试题分析：（ 1）求 的值及函数 的单调递增区间，首先对函数 进行化简，将他化为一个角的一个三角函数，由已知 ，可用二倍角公式将函数 化为 ，即可求出 的值及函数 的单调递增区间；（ 2）求函数 在 上的最大值和最小值，由（ 1）知 ，由 得， ，可利用的图像可得，函数 在区间 上的最大值和最小值 试题：（ 1）因为 所以， . 由 , ， 得 ， 所以 的单调递增区间是 ， . 8分 （ 2）因为 所以 . 所以，当 ，即 时， 取得最小值 ； 当 即 时， 取得最大值
8、. 13分 考点：三角函数化简，倍角公式，三角函数的单调性与最值 某单位从一所学校招收某类特殊人才对 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表： 一般 良好 优秀 一般 良好 优秀 例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是 人由于部分数据丢失，只知道从这 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为 （ 1）求 ， 的值； （ 2）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率 答案：（ 1） ， ；（ 2） 试题分析：（ 1）求 ， 的值，由题意，从这 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽
9、到逻辑思维能力优秀的学生的概率为 ，而由表中数据可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有 人，可由 ，解出的值，从而得 的值；（ 2）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率，这显然是古典概型，由题意，运动协调能力为优秀的学生共有 位，列出从 人中任意抽取 人的方法，得方法数，找出至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的方法数，由古典概型，可求出至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率 试题：（ I）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有 人 设事件 ：从 位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生， 则 解得 所以 5分 （ 2）由题意可知，运动
10、协调能力为优秀的学生共有 位，分别记为 其中 和 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生 . 从中任意抽取 位，可表示为 , , , ，共 种可能 设事件 ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生 事件 包括 , , , ，共种可能所以 所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为 13分 考点：古典概型 在四棱柱 中， 底面 ，底面 为菱形，为 与 交点，已知 , . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证： 平面 ； （ 3）设点 在 内（含边界） ,且 ，说明满足条件的点 的轨迹，并求 的最小值 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见；（ 3） 点
11、在线段 上， 的最小值 试题分析：（ 1）求证： 平面 ，证明线面垂直，即证线线垂直，即在平面 找两条相交直线与 垂直，由于底面 为菱形，则，又 底面 ，得 底面 ，即 ，从而得证；（ 2）求证： 平面 ，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，注意到 是 的中点，连接 ,交 于点 ，连接 ，证得四边形 是平行四边形，从而得 ，从而可证 平面 .；（ 3）连接 ，则 ，又在 中， ,又 为 中点，所以 ，得 平面，由已知可知， ，由 ，得 ，故 点一定在线段 上，这样就得到点 的轨迹，进而可得 的最小值 . 试题：（ 1）依题意 , 因为四棱柱 中，
12、 底面 ， 所以 底面 . 又 底面 ,所以 . 因为 为菱形，所以 .而 ，所以 平面. 4分 （ 2）连接 ,交 于点 ，连接 .依题意， ,且 ，, 所以 为矩形 .所以 .又 相关试题 2014届北京市朝阳区高三第一次综合练习文科数学试卷（带） 设函数 ， ， ，记 . （ 1）求曲线 在 处的切线方程； （ 2）求函数 的单调区间； （ 3）当 时，若函数 没有零点，求 的取值范围 . 答案：（ 1）曲线 在 处的切线方程 ；（ 2）当 时，函数 的增区间是 ，当 时，函数 的增区间是 ，减区间是 ；（ 3）实数 的取值范围为 . 试题分析：（ 1）求曲线 在 处的切线方程，由导数的
13、几何意义得，对函数 求导得 ，既得函数 在 处的切线的斜率为 ，又 ，得切点 ，由点斜式可得切线方程；（ 2）求函数 的单调区间，由题意得， ，求函数 的单调区间，先确定函数的定义域为 ，由于含有对数函数，可对函数 求导得，由于含有参数 ，需对 讨论，分 ， 两种情况，从而得函数 的单调区间；（ 3）当 时，若函数 没有零点，即无解，由（ 2）可知，当 时，函数 的最大值为，只要 小于零即可，由此可得 的取值范围 试题： (1) ，则函数 在 处的切线的斜率为 .又 ， 所以函数 在 处的切线方程为 ,即 4分 （ 2） ， ，（ ） . 当 时， ， 在区间 上单调递增； 当 时，令 ，解得
14、 ；令 ，解得 . 综上所述，当 时，函数 的增区间是 ； 当 时，函数 的增区间是 ，减区间是 . 9分 （ 3）依题意，函数 没有零点，即 无解 . 由（ 2）知，当 时，函数 相关试题 2014届北京市朝阳区高三第一次综合练习文科数学试卷（带） 已知椭圆 经过点 ，一个焦点为 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）若直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 两点，线段的垂直平分线与 轴交于点 ，求 的取值范围 答案：（ 1）椭圆 的方程是 ；（ 2） 的取值范围为 试题分析：（ 1）求椭圆 的方程，已知椭圆 经过点，一个焦点为 ，故可用待定系数法，利用焦点为 可得，利用过点 ，可得 ，再由 ，即可
15、解出 ，从而得椭圆 的方程；（ 2）求 的取值范围，由弦长公式可求得线段的长，因此可设 ，由 得，则 是方程的两根，有根与系数关系，得， ，由弦长公式求得线段 的长，求 的长，需求出 的坐标，直线 与 轴交于点 ，可得 ，线段的垂直平分线与 轴交于点 ，故先求出线段 的中点坐标，写出线段的垂直平分线方程，令 ，既得 点的坐标，从而得 的长，这样就得 的取值范围 试题：（ 1）由题意得 解得 ， 所以椭圆 的方程是 4分 （ 2）由 得 设 ，则有 ， ， 所以线段 的中点坐标为 ， 所以线段 的垂直平分线方程为 于是，线段 的垂直平分线与 轴的交点 ，又点 ， 所以 又 于是， 因为 ，所以
16、所以 的取值范围为 14分 考点：求椭圆的方程，直线与椭圆位置关系，二次曲线范围问题 已知 是公差不等于 0的等差数列， 是等比数列 ，且. （ 1）若 ,比较 与 的大小关系； （ 2）若 .（ ）判断 是否为数列 中的某一项，并请说明理由； （ ）若 是数列 中的某一项，写出正整数 的集合（不必说明理由） . 答案：（ 1） ，（ 2） 是 中的一项，正整数 的集合是 试题分析：（ 1）记 的 ， 公差为 ， 公比为 ，由 ，得 ，比较 与 的大小关系，由已知 是公差不等于 0的等差数列，是等比数列 ，且 ，且 ，得 ，当 时，显然 ，当 时，由平均值不等式，从而可比较 与 的大小关系；（ 2）若 ，可得， ，（ ）令 ，由等差数列，等比数列的通项公式，建立方程，解出 ，若是正整数， 为数列 中的某一项，若不是正整数， 不是数列 中的一项，（ ）若 是数列 中的某一项，写出正整数 的集合，可由（ ）的方法写出 试题：记 的 ， 公差为 ， 公比为 ，由 ，得 （ 1） ， ， ， ， 当 时，显然 ； 当 时，由平均值不等式 ，当且仅当 时取等号，而，所以 即 .综上所述， 5分 （ 2）（ ）因为 ，所以 得 所以 或 .因为 ，所以 ， . 令 ，即 ， ， ，所以 是中的一项 . （ ）假设
