1、2014届北京市朝阳区高三第一次综合练习理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 在复平面内对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 试题分析： ，故复数 在复平面内对应的点位于第二象限 考点：复数的运算，复数几何意义 直线 与圆 交于不同的两点 ， ，且，其中 是坐标原点，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：设 的重点为 ，则 ， ，由得， ，从而得，由点到直线的距离公式可得 ，解得 考点：向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质 已知函数 下列命题：（ ） 函数 的图象关于原点对称； 函数 是周期函数； 当 时 ,函数
2、取最大值； 函数 的图象与函数 的图象没有公共点，其中正确命题的序号是 A B C D 答案： C 试题分析： 函数 的图象关于原点对称，此命题正确，因为函数 满足，故函数 为奇函数，所以函数 的图象关于原点对称； 函数 是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于 轴，故不是周期函数； 当时 ,函数 取最大值，由函数 的图象可以看出，当 时 ,函数不是最大值，另外可用导数法，求出函数 的导函数，当 时 ，故当 时 ,函数 不是最大值，此命题不正确； 函数 的图象与函数 的图象没有公共点，由图像可以看出，函数 的图象与函数 的图象没有公共点，此命题正确
3、考点：函数的周期性；函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性 执行如图所示的程序框图 ,输出的 S值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：第一次运行后 ；第二次运行后 ；第三次运行后；此时不满足 ，终止运行，故输出 考点：算法框图 在 中， ， ，则 “ ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：由正弦定理可得，当 “ ”时，则 “ ”，当 “ ”时，“ 或 ”，故 “ ”是 “ ”的必要不充分条件 考点：正弦定理 如图，设区域 ，向区域 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区
4、域的概率为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意，本题符合几何概型，区域 的面积为， ，区域 的面积为，故所求的概率为 考点：定积分，几何概型 已知平面向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设向量 的夹角为 ，则，解得 ，故 考点：向量的数量积 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ，故 考点：指对不等式的解法，集合的运算 填空题 如图，在四棱锥 中， 底面 底面 为梯形， , ， 若点 是线段 上的动点，则满足 的点 的个数是 答案： 试题分析：由于 底面 ， 在底面 上射影为 ，由三垂线定理，
5、 ，只要 即可，由平面几何知识可知，以 为直径的圆与 有两个交点，故满足条件的 点的个数是 考点：三垂线定理 有标号分别为 1,2,3的红色卡片 3张，标号分别为 1,2,3的蓝色卡片 3张，现将全部的 6 张卡片放在 2 行 3 列的格内（如图）若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为 （用数字作答） 答案： 试题分析： 考点：排列数 双曲线 的一个焦点到其渐近线的距离是 ，则 ；此双曲线的离心率为 答案：； 试题分析：由方程可得右焦点为 ，一条渐近线为 ，由，可得， ，故 ，双曲线的离心率为 考点：双曲线的简单性质 某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为 ；表面积为 答案： ；
6、 试题分析：由三视图知几何体如下图，为一个三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，底面三角形的一条边长为 ，该边上的高为 ， 几何体的体积它的表面积为 考点：由三视图求面积、体积 在极坐标系中， 为曲线 上的点， 为曲线 上的点，则线段 长度的最小值是 答案： 试题分析：曲线 化为普通方程为 ，即 ，曲线 化为普通方程为 ，线段 长度的最小值是圆心到直线距离减去半径，即 考点：极坐标方程与普通方程互化，直线与圆位置关系 在各项均为正数的等比数列 中， ， ，则该数列的前 4项和为 答案： 试题分析：设等比数列 的公比为 ，由 ， ，则，解得 ，故 考点：等比数列通项公式，等比数列求和 解答题 已
7、知函数 ， （ 1）求 的值及函数 的最小正周期； （ 2）求函数 在 上的单调减区间 答案：（ 1） ，函数 的最小正周期为 ；（ 2）函数 在上的单调减区间为 试题分析：（ 1）求 的值及函数 的最小正周期，首先对函数 进行化简，将他化为一个角的一个三角函数，由已知，可用诱导公式及二倍角公式将函数化为 ，即可求出 的值及函数 的最小正周期；（ 2）求函数 在 上的单调减区间，由（ 1）知 ，可利用 的单调递减区间得， ， ，解出，即得 的单调递减区间得，从而得函数 在 上的单调减区间 试题： . （ 1） . 显然，函数 的最小正周期为 . 8分 （ 2）令 得 ， . 又因为 ，所以 .
8、 函数 在 上的单调减区间为 13分 考点：三角函数化简，倍角公式，周期，单调性 某单位从一所学校招收某类特殊人才对 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表： 例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有 人由于部分数据丢失，只知道从这 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 （ 1）求 ， 的值； （ 2）从参加测试的 位学生中任意抽取 位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率； （ 3）从参加测试的 位学生中任意抽取 位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 ，求 随机变量
9、的分布列及其数学期望 答案：（ 1） ， ；（ 2） ；（ 3）所以 的分布列为 0 1 2 试题分析：（ 1）求 ， 的值，由题意，从这 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 ，而由表中数据可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有 人，可由，解出 的值，从而得 的值；（ 2）由题意，从 人中任意抽取 人的方法数为 ，而至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的对立事件是，没有取到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生，而没有取到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的方法数为 ，由古典概型，可求出没有运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概
10、率，从而得所求的概率；（ 3）由题意得 的可能取值为 ，由古典概型，分别求出它们的概率，得随机变量 的分布列，从而得数学期望 试题：（ I）设事件 ：从 位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有 人 则 解得 所以 4分 （ 2）设事件 ：从 人中任意抽取 人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生 由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有 人 则 7分 （ 3） 的可能取值为 ， ， 位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 人 所以 ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 所以， 13分 考点：古
11、典概型，分布列，数学期望 如图，四棱锥 的底面为正方形，侧面 底面 为等腰直角三角形，且 ， 分别为底边 和侧棱 的中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证： 平面 ； （ 3）求二面角 的余弦值 答案：（ 1）详见；（ 2）详见；（ 3）所以二面角 的余弦值为 试题分析：（ 1）求证： 平面 ，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，注意到 是 的中点，取 的中点 ，连接 ， ，则所以 是 的中位线，证得四边形 是平行四边形，从而得 ，从而可证 平面 ；（ 2）求证： 平面 ，可用空间向量法，注意到平面 平面 ，可以点 为原点，分别以 为 轴，
12、建立空间直角坐标系，由题意设 ，则的各点坐标，从而得 ， ，利用数量积得 ， ，从而得证；（ ）求二面角 的余弦值，由（ 2）建立空间直角坐标系，可设平面的法向量为 ，求出一个法向量 ，由（ 2）可知平面的法向量是 ，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值 试题：（ 1）取 的中点 ，连接 ， . 因为 ， 分别是 ， 的中点， 所以 是 的中位线 . 所以 ，且 又因为 是 的中点，且底面 为正方形， 所以 ，且 .所以 ，且 所以四边形 是平行四边形所以 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 4分 （ 2）证明：因为平面 平面 已知函数 ， （ 1）求函数 的单调区间； （ 2）若函数 在
13、区间 的最小值为 ，求 的值 答案：（ 1）当 时，函数 的单调减区间是 ，当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间为 ；（ 2） 试题分析：（ 1）求函数 的单调区间，可利用定义，也可利用求导法，本题含有对数函数，可通过求导法来求函数 的单调区间，求函数 导函数，令 ，找出分界点，从而确定函数的单调区间，但由于含有参数 ，需对参数 分 ， ， 讨论，从而得函数 的单调区间；（ 2）若函数 在区间 的最小值为 ，求 的值，求出函数 在区间 的最小值，令它等于为 即可，由（ 1）可知，当 时，函数的单调减区间是 ， 的最小值为 ，解出 ，验证是否符合，当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间
14、为，由于不知函数 在区间 的单调性，需讨论 ， ，分别求出函数 在区间 的最小值，令它等于为 ，解出 ，验证是否符合，从而得 的值 试题：函数 的定义域是 ， （ 1）（ 1）当 时， ，故函数 在 上单调递减 （ 2）当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递减 （ 3）当 时，令 ，又因为 ，解得 当 时， ，所以函数 在 单调递减 当 时， ，所以函数 在 单调递增 综上所述，当 时，函数 的单调减区间是 ， 当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间为 7分 （ 2）（ 1）当 时，由（ 1）可知， 在 上单调递减， 所以 的最小值为 ，解得 ，舍去 （ 2）当 相关试题 2014届北京
15、市朝阳区高三第一次综合练习理科数学试卷（带） 已知椭圆 经过点 ，离心率为 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）直线 与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 的右顶点直线 与直线 分别与 轴交于点 ，试问以线段 为直径的圆是否过 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由 答案：（ 1）椭圆 的方程是 ；（ 2）线段 为直径的圆过 轴上的定点 试题分析：（ 1）求椭圆 的方程，已知椭圆 经过点，离心率为 ，故可用待定系数法，利用离心率可得 ，利用过点 ，可得 ，再由 ，即可解出 ，从而得椭圆的方程；（ 2）这是探索性命题，可假设以线段 为直径的圆过 轴上的定点，则 ，故需表示出 的坐标，因为点 是
16、椭圆 的右顶点，所以点 ，设 ，分别写出直线 与的 方程，得 的坐标，由 ，得 ，因此由得 ，则 式方程的根，利用根与系数关系得， ， ，代入 即可 试题：（ 1）由题意得 ，解得 ， 所以椭圆 的方程是 4分 （ 2）以线段 为直径的圆过 轴上的定点 . 由 得 设 ，则有 ， 又因为点 是椭圆 的右顶点，所以点 由题意可知直线 的方程为 ，故点 直线 的方程为 ，故点 若以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ，则等价于 恒成立 又因为 ， ， 所以 恒成立 又因为 ， ， 所以 解得 故以线段 为直径的圆过 轴上的定点 14分 考点：求椭 从 中这 个数中取 （ ， ）个数组成递增等差数列，所
17、有可能的递增等差数列的个数记为 （ 1）当 时，写出所有可能的递增等差数列及 的值； （ 2）求 ； （ 3）求证： 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）详见 试题分析：（ 1）符合要求的递增等差数列全部列出，即可求出 的值；（ 2）求 ，即从 到 个数中取 个，组成递增等差数列，由等差数列的性质知 ，故分别取 ，讨论各种情况下，数列的个数，如 时， 分别取 ，共可得 个符合要求的数列，以此类推，即可得到其他情况的符合要求的数列的个数，加起来的和即为符合要求数列的个数，即得 的值；（ 3）求证： ，由（ 2）的求解过程可知，首先确定 的范围，即 ，由于 只能取正整数，故取 的整数部分是 ，即
18、 ， 的可能取值为，计算出 ，利用 即可证得结论 试题：（ 1）符合要求的递增等差数列为 1， 2， 3； 2， 3， 4； 3， 4， 5； 1， 3，5，共 4个 . 所以 . 3分 （ 2）设满足条件的一个等差数列首项为 ，公差为 ， . ， ， 的可能取值为 对于给定的 ， ， 当 分别取 时，可得递增等差数列 个（如： 时， ，当 分别取 时，可得递增等差数列 91个： ； ； ； ，其它同理） . 所以当 取 时，可得符合要求的等差数列的个数为： 8分 （ 3）设等差数列首项为 ，公差为 ， ， ， 记 的整数部分是 ，则 ，即 的可能取值为 ， 对于给定的 ， ，当 分别取时，可得递增等差数列 个 . 所以当 取 时，得符合要求的等差数列的个数 相关试题 2014届北京市朝阳区高三第一次综合练习理科数学试卷（带）
