1、2014届北京市海淀区海淀高三上学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为， ， ，所以，选 B. 考点：集合的运算 已知点 ， 是函数 图象上不同于 的一点 .有如下结论： 存在点 使得 是等腰三角形； 存在点 使得 是锐角三角形； 存在点 使得 是直角三角形 . 其中，正确的结论的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案： B 试题分析：做出函数 图象（如图），如果存在点 使得 是直角三角形 .那么只有 . 但由 ，函数在点 的切线斜率为 1，所以，这是不可能的 错； 因为函数 图象是下凹的，点 越远
2、离 ， 越大，为钝角，所以， 错； 以 为圆心， 为半径画弧，与函数 图象相交，此点即为 使得 是等腰三角形，即只有 正确，故选 B. 考点：指数函数的图象，导数的几何意义 . 若函数 存在极值，则实数 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析： 函数 存在极值点， 有解， 时， ， ，故选 A 考点：应用导数研究函数的单调性、极值 . 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为，函数 在 上单调递增，在 是增函数，所以， 在 是增函数，且， 即 ，解得， ，故选 A. 考点：函数的单调性，分段函数 . 已知数列 的前 项和为
3、 ，且 ，则 取最小值时， 的值是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 答案： B 试题分析：因为，数列 的前 项和为 ，且 ，所以，此数列为等差数列，通项公式为 ，其中， 为负数，开始以后各项均为正数， 所以，数列的前 项和 的最小值是 ，选 B. 考点：数列的单调性，数列的通项 . “ ”是 “ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：当 时， ，即 成立；反之， 时，或 ，所以， “ ”是 “ ”的充分而不必要条件，故选 A. 考点：充要条件 已知向量 ，且 ，则实数 的值为 ( ) A B C D 答案： C
4、试题分析：因为，向量 ，且 ，所以， ，选C. 考点：平面向量的坐标运算，共线向量 . 下列函数中，为奇函数的是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：判断函数的奇偶性，首先要注意定义域关于原点对称，排除 A,B;由，故选 D. 考点：函数的奇偶性 填空题 定义在 上的函数 满足： 当 时， . （ ） ； （ ）若函数 的零点从小到大依次记为 ，则当时， _. 答案：， 试题分析：因为，定义在 上的函数 满足： 当 时，； .所以， 的构成规律是：对于任意整数 ， 在每一个区间 ， ， ，且在此区间 满足； 所以，（ i） ； （ ii）当 时， 的零点从小到大依次满足， 所以， 考
5、点：分段函数，函数的零点，等比数列的求和 . 向量 在正方形网格中的位置如图所示 .设向量 ,若，则实数 _. 答案： 试题分析：建立如图所示坐标系，不妨设 ， ， 所以， ， 由 ，得 ， 故答案：为 3. 考点：平面向量的坐标运算，平面向量的数量积 . .函数 的图象如图所示，则_， _. 答案： , 试题分析：观察图象可知，函数的周期为 3，即 ， 将点 代入得， 所以， ， 故答案：为 , . 考点：正弦型函数的图象和性质 已知等差数列 的前 n项和为 ，若 ，则公差_. 答案： 试题分析：因为，等差数列 的前 n项和为 ，且 ，所以，解得 ，故答案：为 3. 考点：等差数列的通项公式
6、、求和公式 已知 ，则 _. 答案： 试题分析：因为， ，所以， ， ，故答案：为 1. 考点：对数的性质及对数运算 函数 的定义域是 _. 答案： 试题分析：求函数的定义域，一般考虑偶次根式下面的式子非负、分式的分母不等于 0、对数的真数与底数大于 0且底数不等于 1等 . 由 解得， 或 ， 故答案：为 . 考点：函数的定义域 解答题 已知函数 . （ ）求 的最小正周期； （ ）求 在区间 上的取值范围 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）这是一类相当典型的题目，首先应用和差倍半的三角函数公式， 将函数化简为正弦型函数，由 即得最小正周期 . （ ）注意从 ，确定得到 ， 进
7、一步得到 取值范围 . 试题：解：（ ） 2分 4分 6分 最小正周期为 ， 8分 （ ）因为 ，所以 10分 所以 12分 所以 ，所以 取值范围为 . 14分 考点：和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质 . 在 中， ， . （ ）求 的值； （ ）求 的值 . 答案：（ ） .（ ） . 试题分析：（ ）根据已知条件，建立 的方程组即可得解 . （ ）应用余弦定理可首先 .进一步应用正弦定理 即得. 试题：（ ）由 和 可得 , 2分 所以 ， 3分 又 所以 . 5分 （ ）因为 , , 由余弦定理 可得 7分 ，即 . 9分 由正弦定理 可得 11分 ， 12分 所以 . 13分
8、 考点：正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积 . 已知等比数列 满足 . （ ）求数列 的通项公式； （ ）若 ，求数列 的前 项和公式 . 答案：（ ） . （ ） ， . 试题分析：（ ）为求数列 的通项公式，关键是求等比数列 的公比为， 根据已知条件，建立 的方程即可得到 . （ ）首先由（ ）得到 的通项公式，直接运用等比数列求和公式可得 . 该题突出对基础知识的考查，较为容易 . 试题：（ ）设等比数列 的公比为 ， 由 得 2分 由 得 4分 两式作比可得 ，所以 ， 5分 把 代入 解得 ， 6分 所以 . 7分 （ ）由（ ）可得 8分 易得数列 是公比为 4的等比数列， 由等
9、比数列求和公式可得 . 13分 考点：等比数列的通项公式、求和公式 如图，已知点 ，函数 的图象上的动点 在 轴上的射影为，且点 在点 的左侧 .设 ， 的面积为 . （ ）求函数 的式及 的取值范围； （ ）求函数 的最大值 . 答案：（ ） . （ ）当 时，函数 取得最大值 8. 试题分析：（ ）确定三角形面积，主要确定底和高 . （ ）应用导数研究函数的最值，遵循 “求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数正负，比较极值与区间端点函数值 ”.利用 “表解法 ”形象直观，易以理解 . 试题：（ ） 由已知可得 ，所以点 的横坐标为 , 2分 因为点 在点 的左侧，所以 ，即 . 由已知 ，所以
10、， 4分 所以 所以 的面积为 . 6分 （ ） 7分 由 ，得 （舍） ,或 . 8分 函数 与 在定义域上的情况如下： 2 + 0 极大值 12分 所以当 时，函数 取得最大值 8. 13分 考点：三角形面积，应用导数研究函数的最值 . 已知函数 （ ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （ ）求 的单调区间； （ ）若函数 没有零点，求 的取值范围 . 答案：（ ）切线方程为 ； （ ）单调减区间为 ，单调增区间为 ； （ ）当 时， 没有零点 . 试题分析：（ ）应用导数的几何意义，在切点处的导函数值，等于在该点的切线的斜率，求得斜率 ， 利用直线方程的点斜式，求得曲线方程 . （
11、）应用导数研究函数的单调性，遵循 “求导数，求驻点，讨论各区间导数值的正负 ”.利用 “表解法 ”形象直观，易以理解 .解答此题，也可以通过解，分别确定函数的增区间、减区间 . （ ）由（ ）可知函数的单调区间及函数取得极值的情况 . 注意讨论 的不同取值情况 、 、 ，根据函数的单调性即极 值情况，确定 的取值范围 . 试题：解：（ ）当 时， ， 1分 ， 3分 所以切线方程为 5分 （ ） 6分 当 时，在 时 ，所以 的单调增区间是 ； 8分 当 时，函数 与 在定义域上的情况如下： 0 + 极小值 10分 （ ）由（ ）可知 当 时， 已知数列 的首项 其中 ， 令集合 . （ ）若
12、 ，写出集合 中的所有的元素； （ ）若 ，且数列 中恰好存在连续的 7项构成等比数列，求 的所有可能取值构成的集合； （ ）求证： . 答案：（ ）集合 的所有元素为： 4,5,6,2,3,1. （ ）首项 的所有可能取值的集合为 , . （ ）见 . 试题分析：（ ）将 代入，依次写出集合 的所有元素 . （ ）不妨设成等比数列的这连续 7项的第一项为 ，关键是理解好 “如果是 3的倍数，则 ；如果 是被 3除余 1，则由递推关系可得，所以 是 3的倍数，所以 ；如果 被 3除余 2，则由递推关系可得 ，所以 是 3 的倍数，所以 .”得到结论：该 7项的等比数列的公比为 . （ ）分 “
13、 被 3除余 1， 被 3除余 2,， 被 3除余 0”加以讨论，确定得到的关系为： ， 从而利用 进一步得到 ，所以 .数列 中必存在某一项 （否则会与上述结论矛盾！） 并对 , ,加以讨论，得到 , . 此题较难，对考生逻辑思维能力要求较高 试题：（ ）集合 的所有元素为： 4,5,6,2,3,1. 3分 （ ）不妨设成等比数列的这连续 7项的第一项为 ， 如果 是 3的倍数，则 ；如果 是被 3除余 1，则由递推关系可得，所以 是 3的倍数，所以 ；如果 被 3除余 2，则由递推关系可得 ，所以 是 3的倍数，所以 . 所以，该 7项的等比数列的公比为 . 又因为 ，所以这 7项中前 6项一定都是 3的倍数，而第 7项一定不是 3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于 7项）， 设第 7项为 ，则 是被 3除余 1或余 2的正整数，则可推得 因为 ，所以 或 . 由递推关系式可知，在该数列的前 项中，满足小于 2014的各项只有： 或 , 或 , 所以首项 的所有可能取值的集合为 , . 8分 （ ）若 被 3除余 1，则由已知可得 相关试题 2014届北京市海淀区海淀高三上学期期中考试文科数学试卷（带）
