1、2014届北京市西城区高三数学二模文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ，集合 ，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， ，故选 D 考点：集合与集合之间关系 设 为平面直角坐标系 中的点集，从 中的任意一点 作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 ， ，记点 的横坐标的最大值与最小值之差为 ，点 的纵坐标的最大值与最小值之差为 .如果 是边长为 1的正方形，那么 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：如下图两种画法分别是 ， 取得最大值最小值的位置，由图可知， 取得最大值最小值分别为 ， 取得最大值最小值分别为，故 的取值范围是 考点：函数的应用 设函数 若
2、函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由函数 的图像可知，在 和 上是递增的，在上是递减的，故函数 在区间 上单调递增，则 或，即 或 ，故选 考点：函数的单调性 在 ABC中，若 ， ， ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 得， ，由 ，得 是锐角，有正弦定理得，即 ，所以 考点：正弦定理 设平面向量 ， ， 均为非零向量，则 “ ”是 “ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：由 得， ，得 ；反之不成立，故是 的必要而不充分条件 考点：充要
3、条件的判断 某四棱锥的三视图如图所示，记 A为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） A ，且 B ，且 C ，且 D ，且 答案： D 试题分析：由三视图可知，该四棱锥是底面对角线长为 ，高为 的正四棱锥，因此它的底面边长为 ，侧棱长为 ，故选 考点：三视图 直线 为双曲线 的一条渐近线，则双曲线的离心率是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意可得 ，即 ，所以 ，即 考点：双曲性的几何意义 在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： A 试题分析： ，在复平面内对应的点位于第一象限 考点：复数的运算，复数的几何意义 填空题 已知
4、f是有序数对集合 上的一个映射，正整数数对 在映射 f下的象为实数 z，记作 . 对于任意的正整数，映射 由下表给出： 则 _，使不等式 成立的 x的集合是 _. 答案： ， 试题分析：根据映射对应法则可知 ； ，当 时，当 时， ，当 时，因此当 时， 成立 考点：映射 已知正方形 ABCD， AB=2，若将 沿正方形的对角线 BD所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体 的体积的最大值是 _. 答案： 试题分析：将 沿正方形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程，底面积不变，高在变化，当平面 与平面 垂直时，高最大，最大值为，故四面体 的体积的最大值是 考点：翻折问题，几何体体
5、积 在平面直角坐标系 中，不等式组 所表示的平面区域是 ，不等式组 所表示的平面区域是 . 从区域 中随机取一点 ，则P为区域 内的点的概率是 _ 答案： 试题分析：在同一坐标作出不等式组 所表示的平面区域，与不等式组 所表示的平面区域，由图可知， 的面积为 ， 与 重叠的面积为 ，故从区域 中随机取一点 ，则 P为区域 内的点的概率为 考点：几何概率 执行如图所示的程序框图，输出的 a值为 _ 答案： 试题分析：第一次运行后，得 ，此时 ； 第二次运行后，得 ，此时 ； 第三次运行后，得 ，此时 ； 第四次运行后，得 ，此时 ； 第五次运行后，得 ，此时 ；此时停止循环，输出的 的值为 考点
6、：算法框图 设抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上一点，且点 的横坐标为 2，则 . 答案： 试题分析：由抛物线的定义可知， 考点：抛物线的定义 在等差数列 中， ， ，则公差 _；_. 答案： ， 试题分析：有等差数列的性质得 ；由此可得，数列 的通项公式为 ，所以 考点：等差数列的通项公式 解答题 已知函数 . （ 1）求函数 的最小正周期； （ 2）当 时，求函数 的最大值和最小值 . 答案：（ 1）函数 的最小正周期为 ；（ 2） 时，函数取到最小值 ， 时，函数 取到最大值 试题分析：（ 1）求函数 的最小正周期，求三角函数周期，首先将函数化成一个角的一个三角函数，即化成 形式，因此对
7、函数 先化简，由 ，整理得， ，由此可用二倍角公式整理得 ，再由两角和的正弦得，进而可有 求得周期；（ 2）当 时，求函数 的最大值和最小值，由 得， ，进而转化为正弦函数的最值，从而求出函数 的最大值和最小值 . （ 1） 4分 ， 6分 所以函数 的最小正周期为 . 7分 （ 2）由 ，得 . 所以 ， 9分 所以 ，即 . 11分 当 ，即 时，函数 取到最小值 ； 12分 当 ，即 时，函数 取到最大值 . 13分 考点：三角函数化简，求周期，最值 为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的 A， B两班中各抽 5名学生进行视力检测检测的数据如下： A班 5名学生的视力检测
8、结果： 4.3， 5.1， 4.6， 4.1， 4.9. B班 5名学生的视力检测结果： 5.1， 4.9， 4.0， 4.0， 4.5. （ 1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？ （ 2）由数据判断哪个班的 5名学生视力方差较大？（结论不要求证明） （ 3）根据数据推断 A班全班 40名学生中有几名学生的视力大于 4.6 答案：（ 1） ， ，从数据结果来看 A 班学生的视力较好；（ 2）B班 5名学生视力的方差较大；（ 3）可推断 A班有 16名学生视力大于 4.6 试题分析：（ 1）计算出平均数，看平均数 的大小，平均数大的班学生的视力较好；（ 2）对数据分
9、析，一看极差，二看数据集中程度，越集中方差越小，越离散方差越大，从数据上看， B班 5名学生视力极差较大，数据相对较散，从而的结论；（ 3）对数据观察，找出视力大于 4.6的人数，根据视力大于 4.6的人数与抽出人数的比值，从而可估算出 A班全班 40名学生中的视力大于 4.6的人数 （ 1） A班 5名学生的视力平均数为 ， 2分 B班 5名学生的视力平均数为 . 3分 从数据结果来看 A班学生的视力较好 . 4分 （ 2） B班 5名学生视力的方差较大 . 8分 （ 3）在 A班抽取的 5名学 生中，视力大于 4.6的有 2名， 所以这 5名学生视力大于 4.6的频率为 11分 所以全班
10、40名学生中视力大于 4.6的大约有 名， 则根据数据可推断 A班有 16名学生视力大于 4.6 13分 考点：统计数据分析，平均数，样本估计总体 如图，在正方体 中， ， 为 的中点， 为的中点 . （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）求证： 平面 ； （ 3）设 为正方体 棱上一点，给出满足条件 的点 的个数，并说明理由 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见；（ 3）在正方体 棱上使得的点 有 12个 . 试题分析：（ 1）求证：平面 平面 ，证明两平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线，注意到本题是一个正方体，因此可证平面 即可；（ 2）求证： 平面 ，证明线面平行，即证线线平行
11、，即在平面 内找一条直线与 平行，注意到 为 的中点， 为的中点，可连接 ， ，设 ，连接 ，证明 即可，即证四边形 是平行四边形即可；（ 3）设 为正方体 棱上一点，给出满足条件 的点 的个数，由（ 2）可知， ，且，故点 符合，有正方体的特征，可知， ，故是点 到 的最短距离，故这样的点就一个，同理在其他棱上各有一个，故可求出满足条件 的点 的个数 （ 1）在正方体 中， 因为 平面 ， 平面 ， 所以平面 平面 . 4分 （ 2）证明：连接 ， ，设 ，连接 . 因为 为正方体， 所以 ，且 ，且 是 的中点， 又因为 是 的中点， 所以 ，且 ， 所以 ，且 ， 即四边形 是平行四边形
12、， 所以 ， 6分 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 相关试题 2014届北京市西城区高三数学二模文科数学试卷（带） 已知函数 ，其中 . （ 1）若 ，求函数 的定义域和极值； （ 2）当 时，试确定函数 的零点个数，并证明 . 答案：（ 1）定义域为 ，且 ，当 时，函数 有极小值 ；（ 2）函数 存在两个零点 试题分析：若 ，求函数 的定义域和极值，把 代入得函数，故可求得函数 的定义域，求它的极值，对函数求导，求出导数等于零点，及两边导数的符号，从而确定极值点；（ 2）当 时，试确定函数 的零点个数，即求函数 的零点个数，首先确定定义域，在定义域内，考虑函数的单调性，由单调性与根
13、的存在性定理，来判断零点的个数 （ 1）函数 的定义域为 ，且 . 1分 . 3分 令 ，得 ， 当 变化时， 和 的变化情况如下： 4分 故 的单调减区间为 ， 设 分别为椭圆 的左、右焦点，斜率为 的直线 经过右焦点 ，且与椭圆 W相交于 两点 . （ 1）求 的周长； （ 2）如果 为直角三角形，求直线 的斜率 . 答案：（ 1） 的周长为 ；（ 2）直线 的斜率 ，或时， 为直角三角形 试题分析：（ 1）求 的周长，这是焦点三角问题，解这一类问题，往往与定义有关，本题可由椭圆定义得 ， ，两式相加即得 的周长；（ 2）如果 为直角三角形，求直线 的斜率 ，由于没教得那一个角为直角，故三
14、种情况， ，或 ，或，当 时，此时直线 的存在，设出直线方程，代入椭圆方程，设 ， ，由根与系数关系，得到关系式，再由，即可求出斜率 的值，当 （与 相同）时，则点 A在以线段 为直径的圆 上，也在椭圆 W上，求出点 的坐标，从而可得直线 的斜率 （ 1）椭圆 的长半轴长 ，左焦点 ，右焦点 ， 2分 由椭圆的定义，得 ， ， 所以 的周长为 . 5分 （ 2）因为 为直角三角形， 所以 ，或 ，或 ，再由当 时， 设直线 的方程为 ， ， ， 6分 由 得 ， 7分 所以 ， . 8分 由 ，得 ， 9分 因为 ， ， 所以 ， 10分 解得 . 在无穷数列 中， ，对于任意 ，都有 ， .
15、 设， 记使得 成立的 的最大值为 . （ 1）设数列 为 1， 3， 5， 7， ，写出 ， ， 的值； （ 2）若 为等比数列，且 ，求 的值； （ 3）若 为等差数列，求出所有可能的数列 . 答案：（ 1） ， ， ；（ 2） ；（ 3）得 试题分析：（ 1）根据使得 成立的 的最大值为 ， ，则 ，则 ， ，则 ，这样就写出 ， ， 的值；（ 2）确定， ， ， ， ，分组求和，即可求的值；（ 3）若 为等差数列，先判断 ，再证明 ，即可求出所有可能的数列 （ 1） ， ， . 3分 （ 2）因为 为等比数列， ， ， 所以 ， 4分 因为使得 成立的 的最大值为 ， 所以 ， ， ， ， ， ， 6分 所以 . 8分 （ 3）由题意，得 ， 结合条件 ，得 . 9分 又因为使得 成立的 的最大值为 ，使得 成立的 的最大值为， 所以 ， . 10分 设 ，则 . 假设 ，即 ， 则当 时， ；当 时， 相关试题 2014届北京市西城区高三数学二模文科数学试卷（带）
