1、2014届吉林省长春市高三第四次调研测试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ，由韦恩图可知阴影部分表示的是 阴影部分表示的集合为 ，故选 考点：集合的运算 . 设数列 ，则对任意正整数 都成立的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：，故选 考点：绝对值的基本性质、放缩放 . 已知函数 ， ， 的零点分别为，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：令 ， ， 分别得 ， ，则 分别为函数 的图象与函数 ， ，的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得 ， ， ，
2、故选 考点：函数图象、零点的概念 . 将一张边长为 12cm的纸片按如图 1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图 2放置 . 若正四棱锥的正视图是正三角形（如图 3），则正四棱锥的体积是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题可知，图 1中的虚线长为图 2正四棱锥的底面边长，设为 ，又正四棱锥的正视图是正三角形，所以正四棱锥的斜高也为 ，则 ，即正四棱锥的底面边长为 ， 易得四棱锥的体积 ，故选 考点：四棱锥的体积 . 双曲线 的左、右焦点分别是 ，过 作倾斜角为的直线交双曲线右支
3、于点 M，若 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：在 中， ，则 ， ，由双曲线定义可知： ，即 ，化简得 ，故选 考点：双曲线的标准方程及其几何性质 . 曲线 在点 处的切线为 ，则直线 上的任意点 P与圆上的任意点 Q 之间的最近距离是（ ） A B C D 2 答案： A 试题分析： ， ， ，故切线 方程为： ， 又 表示的是以 为圆心，以 为半径的圆，圆心到 的距离 ， 直线 上的任意点 与圆 上的任意点 之间的最近距离是 ，故选 考点：抛物线的标准方程、圆的标准方程、点和圆的位置关系 . 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 8名学生参加
4、数学竞赛，他们取得的成绩（满分 100 分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是 86，乙班学生成绩的中位数是 83，则 的值为（ ） A 9 B 10 C 11 D 13 答案： D 试题分析：观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是 ，故 ，乙班学生成绩的中位数是 ，故 ， ，故选 考点：茎叶图、中位数 . 已知 ， ，则 （ ） A 1 B -1 C 2 D -2 答案： D 试题分析： ，即 ，解得 或 ，又， ，又 ，故选 考点：倍角公式、齐次式 . 按照下图的程序图计算，若开始输入的值为 3，则最后输出的结果是（ ） A 6 B 21 C 5050 D 231 答案： D 试题分
5、析：由程序框图，输入 ，第 次进入循环体， ，第 次进入循环体， ，第 次进入循环体， ， 成立，输出结果 ，故选 考点：程序框图 . 设变量 满足 ，则 的最大值和最小值分别为（ ） A 1， -1 B 2， -2 C 1， -2 D 2， -1 答案： B 试题分析：由约束条件 ，作出可行域如图， 设 ，则 ，平移直线 ，当经过点 时， 取得最大值 ，当经过点 时， 取得最小值 ，故选 考点：线性规划 . 已知三条不重合的直线 和两个不重合的平面 ，下列命题正确的是（ ） A若 ， ，则 B若 ， ，且 ，则 C若 ， ，则 D若 ， ，且 ，则 答案： D 试题分析： A 选项，可能 ，
6、 B 选项，若 ，则 ，无条件 ，直线 与平面 位置关系不确定， C选项，在空间中， 与 可能平行，可能异面，可能相交，故选 考点：线面关系 . 如图，在复平面内，复数 对应的向量分别是 ，则 （ ） A 2 B 3 C D 答案： A 试题分析：由图可知， ， ，则 ， ，故选 考点：复数的运算 . 填空题 设 a， b为实数，关于 x的方程 的 4个实数根构成以 q为公比的等比数列，若 ，则 的取值范围是 . 答案： 试题分析：设 4个实数根依次为 ，由等比数列性质，不妨设 为 的两个实数根，则 为方程 的两个根，由韦达定理 ， ， ,故,设 ， ， ，故的值域为 ，即 的取值范围是 考点
7、：等比数列的性质、函数值域 . 已知 ，经计算得 ， ， ，观察上述结果，可归纳出的一般结论为 . 答案： 试题分析： , , , ,由归纳推理得，一般结论为 ， 考点：归纳推理 . 已知向量 ， ，若 ， 在非零向量 上的投影相等，且，则向量 的坐标为 . 答案： 试题分析：设 ，则 ， ， 化简得： 又 a， b在非零向量 c上的投影相等，则 ，即 由 联立得： ， ， 考点：向量的运算 . 商场经营的某种袋装大米质量（单位： kg）服从正态分布 ，任取一袋大米，质量不足 9.8kg的概率为 .（精确到 0.0001） 答案： 试题分析：设大米质量为 ，则 ，则 ， 质量不足 的概率即 考
8、点：正态分布 . 解答题 长为 3的线段两端点 A， B分别在 x轴正半轴和 y轴的正半轴上滑动，点 P的轨迹为曲线 C. （ 1）以直线 AB的倾斜角 为参数，求曲线 C的参数方程； （ 2）求点 P到点 D 距离的最大值 . 答案：（ 1）曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）；（ 2） 取得最大值 . 试题分析：本题主要考查参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、数形结合思想、计算能力 .第一问，利用三角函数的定义，结合图象，列出 P点的横纵坐标，写出曲线 的参数方程；第二问，利用两点间距离公式得到 ，再利用倍角公式、平方关系、配方
9、法、三角函数有界性求函数最值 . （ 1）设 ，由题设可知， 则 ， ， 所以 曲线 的参数方程为 （ 为参数， ） 5分 （ 2）由（ 1）得 当 时， 取得最大值 10分 考点：参数方程、三角函数的定义、倍角公式、配方法求函数最值 . 如图， 是的内接三角形， PA是圆 O 的切线，切点为 A， PB交 AC 于点 E，交圆 O 于点 D， PA=PE， ， PD=1， DB=8. （ 1）求 的面积； （ 2）求弦 AC 的长 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本题主要考查圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理、三角形面积公式、相交弦定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的
10、能力、逻辑推理能力、计算能力 .第一问，先利用切线的性质得到 ，所以 ， ，所以由切割线定理有 ，所以利用三角形面积求 的面积为 ；第二问，在 中，利用勾股定理得 ， ，再由相交弦定理得出 （ 1）因为 是 的切线，切点为 ， 所以 ， 1分 又 ,所以 ， 2分 因为 ， ，所以由切割线定理有 ，所以， 4分 所以 的面积为 5分 （ 2） 在 中，由勾股定理得 6分 又 ， ， 所以由相交弦定理得 9分 所以 ，故 10分 考点：圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理、三角形面积公式、相交弦定理 . 已知函数 . （ 1）当 时，证明：当 时， ； （ 2）当 时，证明： . 答案：（ 1）
11、证明过程详见；（ 2）证明过程详见 . 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力 .第一问，将当 时， 转化为 ，对函数 求导，利用 单调递增， 单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值，并求出最值为 0，即得证；第二问，先将转化为 且 ，利用导数分别判断函数的单调性求出函数最值，分别证明即可 . (1) 时， ， 令 ， ， 在 上为增函数 3分 ， 当 时， ，得证 6分 (2) 令 ， ， 时， ， 时， 即 在 上为减函数，在 上为增函数 9分 令 ， ， 时， ， 时， 即 在
12、上为减函数，在上为增函数 由 得 12分 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值 . 如图 为椭圆 C： 的左、右焦点， D， E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率 ， 的面积为 .若点 在椭圆C上，则点 称为点 M的一个 “椭圆 ”，直线 与椭圆交于 A， B两点，A， B两点的 “椭圆 ”分别为 P， Q. （ 1）求椭圆 C的标准方程； （ 2）问是否存在过左焦点 的直线 ，使得以 PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2）直线方程为 或. 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准
13、方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力 .第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量 a和 b的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线 l过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以 PQ为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明 ，解出 k的值 . （ 1）由题意， ，即 ， ， 即 2分 又 得： 椭圆 的标准方程： 5分 (2) 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 联立 ，解得 或 ， 不妨令 ， ，所
14、以对应的 “椭点 ”坐标 ， 而 所以此时以 为直径的圆不过坐标原点 7分 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 消去 得， 设 ，则这两点的 “椭点 ”坐标分别为 由根与系数关系得： 9分 若使得以 为直径的圆过坐标原点，则 而 ， 即 ，即 代入 ，解得： 所以直线方程为 或 12分 考点：椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件 . 如图，在四棱柱 中，底面 ABCD 和侧面 都是矩形，E是 CD的中点， ， . （ 1）求证： ； （ 2）若平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ，求线段 的长度 . 答案：（ 1）证明过程详见；（ 2） . 试题分析
15、：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力 .第一问，由已知得， ，所以利用线面平行的判定得 平面 ，再利用线面垂直的性质，得 ；第二问，可以利用传统 几何法求二面角的平面角，也可以利用向量法求平面 和平面 的法向量，利用夹角公式列出方程，通过解方程，求出线段 的长度 . （ 1）证明： 底面 和侧面 是矩形， ， 又 平面 3分 平面 6分 （ 2） 解法 1：延长 ， 交于 ，连结 ， 则平面 平面 底面 是矩形， 是 的中点， ， 连结 ，则又由（ 1）可知 又 ， 底面 ， 平面 9 过 作 于 ，连结 ，则 是平面 与
16、平面 即平面与平面 所成锐二面角的平面角，所以 又 ， 又易得 ， ，从而由 ，求得 12分 解法 2：由（ 1）可知 又 ， 底面 7分 设 为 的中点，以 相关试题 2014届吉林省长春市高三第四次调研测试理科数学试卷（带） 由某种设备的使用年限 （年）与所支出的维修费 （万元）的数据资料算得如下结果， ， ， ， . （ 1）求所支出的维修费 y对使用年限 x的线性回归方程 ； （ 2） 判 断变量 x与 y之间是正相关还是负相关； 当使用年限为 8年时，试估计支出的维修费是多少 . （附：在线性回归方程 中，） ， ，其中 ，为样本平均值 .) 答案：（ 1） ；（ 2）变量 与 之间
17、是正相关， 万元 . 试题分析：本题主要考查线性回归方程、变量间的正相关和负相关的判断等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力 .第一问，利用已知的数值及公式先计算 ，再利用 计算 ，从而得到线性回归方程；第二问， 在 中，当 时，变量 x与 y之间是正相关，当 时，变量 x与 y之间是负相关，本题是正相关； 使用年限即 x的值，而维修费用是 y的值，代入回归方程中求函数值 y即可 . （ 1） ， ， ， 3分 5分 线性回归方程 6分 （ 2） 由（ 1）知 ， 变量 与 之间是正相关 9分 由（ 1）知，当 时， （万元），即使用年限为 年时，支出的维修费约是 万元 12分
18、 考点：线性回归方程、变量间的正相关和负相关的判断 . 将函数 的图形向右平移 个单位后得到的图像，已知 的部分图像如图所示，该图像与 y轴相交于点 ，与 x轴相交于点 P、 Q，点 M为最高点，且 的面积为 . （ 1）求函数 的式； （ 2）在 中， 分别是角 A， B， C的对边， ，且 ，求面积的最大值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本题主要考查三角函数图象、三角函数图象的平移变换、余弦定理、三角函数面积、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力 .第一问，先将 的图象向右平移 个单位得到 的式，由式得最大值 M=2，利用三角形面积公式可得到 ，
19、而周期 ，利用周期的计算公式得到 ，又因为 过 ，代入式得到 的值，从而得到的式；第二问，先利用 ，利用特殊角的三角函数值得到角 A的大小，再利用余弦定理得到 b和 c的一个 关系式，利用基本不等式得到 ，代入到三角形面积公式中，得到面积的最大值 . （ 1）由题意可知 由于 ，则 ， ，即 2分 又由于 ，且 ，则 ， 5分 即 6分 （ 2） ， 则 ， 8分 由余弦定理得 ， 10分 ，当且仅当 时，等号成立，故 的最大值为 12分 考点：三角函数图象、三角函数图象的平移变换、余弦定理、三角函数面积、基本不等式 . 已知实数 ，且 ，若 恒成立 . （ 1）求实数 m的最小值； （ 2）
20、若 对任意的 恒成立，求实数 x的取值范围 . 答案：（ 1） 3；（ 2） 或 . 试题分析：本题主要考查基本不等式、恒成立问题、绝对值不等式的解法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力 .第一问，利用基本不等式先求函数 的最大值，再利用恒成立问题得到 的最小值为；第二问，由 ，先将 “ 对任意的 恒成立 ”转化为“ ”，利用零点分段法求去掉绝对值，解绝对值不等式，得到 x的取值范围 . （ 1） ， （当且仅当 时取等号） 又 ，故 ，即 的最小值为 5分 （ 2）由（ 1） 若 对任意的 恒成立，故只需 或 或 解得 或 10分 考点：基本不等式、恒成立问题、绝对值不等式的解法 .
