1、2014届四川省内江六中高三第一次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：思路一、因为已知 时，函数的式，故求正数的函数值应转化为求负数的函数值 . ，故选 A 思路二、由条件求出 时的式，然后将 1代入求解 . 本题极易错在符号上，运算过程中应小心 .如果对函数理解不深，也极易出错 . 考点：函数的奇偶性，分段函数的函数值的计算 . 设函数 ， ，则函数的值域为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：作出函数 及 的图象，根据图象确定 与的大小，从而可得 的式及图象 . 的式为： ，作出图象如图所
2、示 . 由图可得其值域为 . 考点：分段函数及函数的图象、值域以及数形结合思想 . 有 5本不同的书，其中语文 2本，数学 2本，英语 1本。若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：法一、（将位置固定） 英语在第一或第五个位置，共有： 种； 英语在第二或第四个位置，共有： 种； 英语在第三个位置，共有： 种； 所以 . 法二、（不固定位置）首先排英语和数学，有两类：数学不相邻 “数英数 ”，数学相邻 “数数英或英数数 ”.数学不相邻，则语文来插空，有 种；数学相邻，则必先选一本语文插在数学中间，共有 种。所以. 排列的问
3、题，有固定位置和不固定位置两种基本的方法；其次一定要想好分类和分步的原则 . 考点：古典概型，计数原理，排列知识 . 已知 是抛物线 的焦点， 、 是该抛物线上的两点，且，则线段 的中点到 轴的距离为（ ） A B CD 答案： C 试题分析：线段 的中点到 轴的距离即线段 的中点的横坐标的绝对值，故只需求线段 的中点的横坐标的绝对值 .从而考虑用中点坐标公式 . 由已知得： .设 ，则， 由已知：.所以线段 的中点到 轴的距离为： . 考点：抛物线的定义（焦半径公式），中点坐标公式及圆锥曲线中的基本计算 . 设 ， ， ，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：一般地，只要涉及 3
4、个及以上的数比较大小，应找一中间量来比较，比如 0、 1. 由对数的性质知： ， ， 。又， 所以 . 解答本题目易进入作差比较的误区；其次是易弄错 与 的大小 . 考点：对数函数的单调性及对数运算性质，以及比较数的大小的方法 . 是 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：涉及范围的命题应记住以下结论：若集合 ，则 是 的充分条件 .本题中 ，故选 B. 充要条件问题易将充分性、必要性弄反，解题应考虑清楚 . 考点：不等关系，命题及其充分性必要性 . 在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为 答案：
5、 D 试题分析：从正视图和俯视图来看，前半部分是一个三棱锥，后半部分是从轴截面切开的半个圆锥故侧视应为 D. 三视图虽为三个图，但解题时我们应将三个图综合起来考虑 . 考点：几何体的三视图 . 函数 的零点所在的一个区间是 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， ，又因为是一个连续的递增函数，故零点在区间 内，选 C. 考点：函数零点的概念及判定定理 . 设函数 满足 ， ，则函数 的图象可以是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 知：该函数为奇函数；由 知，该函数是周期为 2的周期函数，故选 B. 考点：函数的奇偶性、周期性及其图象特征 . 曲线 在点 处的切线为（
6、） A B C D 答案： A 试题分析：函数 在点 处的切线方程： 。在本题中， ， 所以 ，所以切线为： . 本题属于容易题，但还是会出现以下错误：（ 1） ，从而选 B；将的纵坐标代入 求得斜率为 ，从而选 C. 考点：基本初等函数的导数公式、导数的几何意义及曲线的切线的求法 . 填空题 有下列四个命题： 函数 与 的图象关于 轴对称； 若函数 ，则对 ，都有 ； 若函数在区间 上单调递增，则 ； 若函数 ，则函数 的最小值为 .其中真命题的序号是 . 答案： 试题分析： 函数 与 的图象关于 轴对称，将函数与 的图象都向右平移 2个单位，便得函数 与的图象，所以函数 与 的图象关于 对
7、称； 作出函数 的图象，从图象可看出结论成立（函数的凸性） . 函数 在区间 上单调递增，所以从而 ； 将函数图象左右平移，函数的最大值最小值不变，所以函数 与函数 的最小值相同 . 考点：本题综合考查函数的图象及性质 . 已知矩形 的顶点都在半径为 4的球 的球面上，且 ，则棱锥 的体积为 . 答案： 试题分析：根据体积公式，应求出矩形 的面积和球心 到底面 的距离 . 矩形 的外接圆的半径 ，所以 ， 体积 . 考点：棱锥的体积公式，球体中的有关计算及公式 的应用 . 在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 、 在 轴上，离心率为 .过点 的直线 交椭圆 于 、 两点，且 的周长为
8、 16，那么椭圆 的方程为 . 答案： 试题分析：在椭圆中， 的周长为 ，所以 .， 所以椭圆的方程为 . 考点：椭圆的第一定义，离心率及椭圆的方程 . 盒中装有形状、大小完全相同的 5个小球，其中红色球 3个，黄色球 2个 .若从中随机取出 2个球，则取出的 2个球颜色不同的概率为 . 答案： 试题分析：从 5个球中任选 2个，共有 种选法 .2个球颜色不同，共有种选法 .所以所求概率为 . 考点：古典概型及组合数的计算 . 已知实数 ，函数 ，若 ，则 的值为 . 答案： 试题分析： 时， ，解之得 （舍）； 时， ，解之得 . 本题易忽略分类讨论，直接由 得 ，从而造成错误 . 考点：考
9、查分段函数，方程的解法及分类讨论思想 . 解答题 一个盒子中装有分别标有数字 1、 2、 3、 4的 4个大小、形状完全相同的小球，现从中有放回地随机抽取 2个小球，抽取的球的编号分别记为 、 ，记. （ ）求 取最大值的概率； （ ）求 的分布列及数学期望 . 答案：（ ） ; （ ）所以 的分布列： 0 1 2 3 4 5 数学期望 . 试题分析： (1)随机变量的分布列问题 ,首先确定随机变量的所有可能值 ;(2)本题属古典概型 ,各随机变量所对应的事件包含的基本事件无法用公式求出 ,需一一列举出来 .列举时要注意避免重复和遗漏，这是极易出错的地方 试题：（ ）当 时， 最大。 取最大值
10、的概率； （ ） 所以 的分布列： 0 1 2 3 4 5 数学期望 . 考点：古典概型、离散型随机变量的分布列及数学期望 . 如图，在直三棱柱 中， ， ， 是的中点 （ ）求证 : 平面 ； （ ）求二面角 的余弦值 答案：（ ）详见；（ ） 试题分析：（ ）证明线面平行常用以下两种方法 :一是用线面平行的判定定理 ,二是用面面平行的性质 .本题用这两种方法都行； （ ）首先应考虑作出平面 截三棱柱所得的截面 .作出该截面便很容易得到二面角的平面角即为 . 本题也可用向量解决 . 试题：（ ）法一 :连结 ，交 于 ，连结 ，则 ，从而平面 . 法二 :取 的中点 ,连结 ,易得平面 ,从
11、而 平面 . （ ） 的中点 ,连结 、 ,易得平面 就是平面 , 又 平面 ,所以 ,所以 就是该二面角的平面角 . . 考点：立体几何中线面平行的证明及二面角的计算 . 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售价格 （单位：元 /千克）满足关系式 ，其中 ，为常数 .已知销售价格为 5元 /千克时，每日可售出该商品 11千克 . （ ）求 的值； （ ）若该商品的成本为 3元 /千克，试确定销售价格 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大 . 答案： 试题分析：（ ）题中给出含参数的式，都要给一组对应值来求其中的参数 .在本题中将 ， 代入 即可求出参数
12、的值；（ ）要求利润的最大值，就需要列出利润与销售价格间的关系式 . 每日所获利润 :.导数法和均值不等式法是求最值的两种基本方法 .在本题中用这两种方法均可 . 试题：（ ）因为 时 ,所以 （ ）法一、每日所获利润 :由此可得 : 在 上单调递增 ,在 上单调递减 . 所以 时 , 取得最大值 法二 : 所以 . 考点：本题考查函数的应用及求最值的方法 . 定义在 上的函数 同时满足以下条件： 函数在 上是减函数，在 上是增函数； 是偶函数； 函数在 处的切线与直线 垂直 . （ ）求函数 的式； （ ）设 ，若存在 使得 ，求实数 的取值范围 . 答案：（ ） ;（ ） 试题分析：（ ）
13、由三个条件可得三个等式，从而可求出三个未知数 .（ ）一般地若存在 使得 ，则 ;若存在 使得，则 .在本题中，由 可得 : .则大于 的最小值 . 试题：（ ） ,由题设可得 : 所以 （ ）由 得 : 即 : 令 由题意得 : 所以 在 单调递增 ,在 上单调递减 又 ,所以 的最小值为考点：函数的性质 ,导数的求法及应用 . 如图，在平面直角坐标系 中， 、 分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 、 两点，其中 在第一象限过 作 轴的垂线，垂足为 连接 ，并延长交椭圆于点 设直线 的斜率为 （ ）当直线 平分线段 时，求 的值； （ ）当 时，求点 到直线 的距离； （ ）对任意
14、 ，求证： 答案：（ ） ;（ ） ;（ ）详见 试题分析：（ ）求出点 、 的中点坐标，再用斜率公式可求得 的值；（ ）求出直线 的方程，再用点到直线的距离公式可求得点 到直线 的距离； （ ）思路一 :圆锥曲线题型的一个基本处理方法是设而不求 ,其核心是利用-(*).要证明 ,只需证明它们的斜率之积为 -1. 但直接求它们的积 ,不好用 (*)式 ,此时需要考虑转化 . 思路二 :设 ,然后用 表示出 的坐标 .这种方法要注意直线的方程应设为 : ,若用点斜式 ,则运算量大为增加 . 此类题极易在运算上出错 ,需倍加小心 . 试题：（ ）由题设知 : ,所以线段 的中点为 , 由于直线 平
15、分线段 ,故直线 过线段 的中点 ,又直线 过坐标原点 , 所以 （ ）将直线 的方程 代入椭圆方程 得 : ,因此于是 ,由此得直线 的方程为 : 所以点 到直线 即 的距离 （ ）法一 :设 ,则 由题意得 : 设直线 的斜率分别为 ,因为 在直线 上 ,所以从而 ,所以 : 法二 : 所以直线 的方程为 : 代入椭圆方程 得 : 由韦达定理得 : 所以 , 所以 考点：本题考查椭圆的方程、直线的方程，中点坐标公式，点到直线的距离，两直线垂直的判定；考查韦达定理 . 已知函数 . （ ）求函数 的单调区间； （ ）若 在 内恒成立，求实数 的取值范围 . （ ） ，求证： 答案：（ )当
16、时 , 在 单调递减 ,在 上单调递增 ; 当 时 , 在 单调递减 ,在 , 上单调递增 ; 当 时 , 在 上单调递增 ; 当 时 , 在 单调递减 , 在 , 上单调递增 ; （ ） （ ）详见 试题分析：（ ）利用导数的符号确定函数的单调区间。函数含有参数，故需要分情况讨论 . （ ）思路一、一般地若任意 使得 ，则 ;若任意使得 ，则 .由 得： 恒成立，所以小于等于 的最小值 . 思路二、除 外 , 是 的一个极值点，故可首先考虑 这个特殊值 .由 得 : ，这样只需考虑 时 在 内是否恒成立 .这是本题的特点，需要仔细观察、分析 .若发现其特点，则运算大大简化 .所以这个题有较好
17、的区分度 . （ ）涉及数列求和的不等式的证明，一般有两种类型，一种是先求和，后放缩；一种先放缩，后求和 . 本题显然属于后者 . 解答题中的最后一问，往往要用前面的结论，本题也不例外 .由（ ）取可得： ，由此可 将不等式左边各项放缩 . 但是如果第一项也用这个结论来放缩，则得不到右边的式子 .这时就考虑从第二项开始，或从第三项开始用这个结论 . 试题：（ ） 当 时 , 在 单调递减 ,在 上单调递增 ; 当 时 , 在 单调递减 ,在 , 上单调递增 ; 当 时 , 在 上单调递增 ; 当 时 , 在 单调递减 , 在 , 上单调递增 . （ ）法一、由 得： 令 ，则 令 ，则 即所以由 得 所以 在 内单调递减，在 内单调递增 .所以 从而 法二、由 得 : 又 时 , 在 单调递减 ,在 上单调递增 所以即 : 所以若 在 内恒成立，实数 的取值范围为 . （ ）由（ ）知 : 又 时 , 即( 时取等号 ) 所以当 时 : 又 ,所以 考点：本题考查函数的导数、导数的应用及不等式的证明 .
