1、2014届四川省成都石室中学高三上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 全集 ，集合 ，则集合 =（ ） A B C D 答案： C 试题分析： . 考点：集合的基本运算 . 已知函数 则下列关于函数 的零点个数的判断正确的是（ ） A当 时，有 3个零点；当 时，有 2个零点 B当 时，有 4个零点；当 时，有 1个零点 C无论 为何值，均有 2个零点 D无论 为何值，均有 4个零点 答案： B 试题分析：由 得： .当 时，由 得： ， .所以 ；此时，每一段都是单调递增的，且 ， ， .由此可作出其简图如下图所示（实线部分）： 由图可知，当 时，该函数有 4个零点 . 当 时
2、， 时，恒有 .所以. 显然 在 、 上单调递减，在 上单调递增 . ，.作出其简图如下图所示（实线部分）： 由图可知，当 时，该函数有 1个零点 . 考点： 1、函数的零点； 2、分段函数 . 已知函数 若存在 ，当 时，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：作出函数 的图象如图所示，由图可知： .选 . 考点： 1、分段函数； 2、不等关系 . 已知向量 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为（ ） A 3 B . C D 答案： B 试题分析：因为 ，所以. 考点：向量的相关概念及运算 . 袋中共有 个除了颜色外完全相同的球，其中有 个红球， 个白球和 个黑球，从袋
3、中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：概率 . 考点：古典概型 . 如图程序运行后 ,输出的值是（ ） A -4 B 5 C 9 D 14 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ，应输出 -4. 考点：程序框图 . 若 = ，则 的值为（ ） A 121 B 124 C 122 D 120 答案： C 试题分析：. 考点：二项式定理 . 已知数列 是等差数列，且 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，所以考点： 1、等差数列； 2、三角函数求值 . 已知复数 为纯虚数，其中 i虚数单位，则实数 x的值为（ ） A - B C
4、 2 D 1 答案： B 试题分析： .因为复数为纯虚数，所以 . 考点：复数的概念及基本运算 . 函数 的最小正周期是（ ） A B C 2 D 4 答案： B 试题分析： ，所以周期 . 考点：三角变换及三角函数的周期 . 填空题 若函数 的定义域和值域均为 ,则 的范围是 _. 答案： 试题分析：函数 的定义域和值域均为 ，则 与的图象必有两个不同的交点，这两个交点的坐标就分别为 .设，则 .设极小值点为 ，则. 由题意得 （接下来仔细看如何用条件，如何变形） . 因为 ，所以 . 又因为 ，所以 . 所以 ， . 考点： 1、指数函数； 2、指数与对数运算； 3、不等式 . 已知正数
5、满足 则 的取值范围是 . 答案： 试题分析： .由 得： . 所以 ，当 时取等号 . 又当 时， ，所以 . 考点：不等式的应用 . 若某几何体的三视图 (单位： cm)如图所示，则此几何体的体积是 cm 答案： 试题分析：由三视图可知，该几何体是半个圆锥 .其体积为. 考点： 1、三视图； 2、几何体的体积 . 已知等差数列 中， 为其前 n项和，若 ， ，则当 取到最小值时 n的值为 _. 答案：或 8 试题分析：因为 是等差数列，所以.又 所以公差 .所以数列 ，是一个递增数列，且前 7项均为负数，第八项为 0，从第 9项起为正数，所以 且最小，即 n的值为 7或 8. 考点： 1、
6、等差数列； 2、数列前 n项和的最值 . 某工厂生产 三种不同型号的产品，三种产品数量之比依次为 ，现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为 的样本，样本中 型号的产品有件，那么此样本容量 答案： 试题分析： . 考点：分层抽样 . 解答题 已知数列 的各项均是正数，其前 项和为 ，满足 . （ I）求数列 的通项公式； （ II）设 数列 的前 项和为 ，求证： . 答案：（ ） . （ ）详见 . 试题分析：（ ）首先令 求出首项 ， . 由 两式相减，得 即 .所以， 数列 是首项为 2，公比为 的等比数列 .由等比数列的通项公式便可得数列的通项公式 . （ ）证明有关数列前 项和的不等式
7、，一般有以下两种思路：一种是先求和后放缩，一种是先放缩后求和 .在本题中，由（ ）可得：， .这显然用裂项法求和，然后用放缩法即可证明 . 试题：（ ）由题设知 ， 2分 由 两式相减，得 . 所以 . 4分 可见，数列 是首项为 2，公比为 的等比数列。 所以 6分 （ ） ， 8分 . 10分 = . 12分 考点： 1、等比数列； 2、裂项法； 3、不等式的证明 . 已知 中，角 、 、 的对边分别为 ，且. （ 1）求角 的大小； （ 2）设向量 ，且 ，求 的值 . 答案： (1) ； (2) . 试题分析：（ 1） 这个等式中既有边又有角，这种等式一般有两种考虑：要么只留边，要么只
8、留角 .在本题中这两种方法都行 . 思路一、由正弦定理得： ，然后用三角函数公式可求出 . 思路二、由余弦定理得： ，化简得.再由余弦定理可得 . (2)由 得； 解这个方程，可求出 的值，再用正切和角公式可求出 . 试题： (1)法一、 6分 法二、由余弦定理得： ，化简得： ， 即 . 所以 ， 6分 (2) 或者 . 当 时， （舍去）； 当 时， . 12分 考点： 1、三角变换； 2、正弦定理与余弦定理； 3、向量 . 如图，四棱锥 的底面是正方形， ，点 在棱上 . （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）当 ，且 时，确定点 的位置，即求出 的值 . （ 3）在（ 2）的条件下若
9、F是 PD的靠近 P的一个三等分点，求二面角 A-EF-D的余弦值 . 答案：（ 1）详见； (2) ； (3) . 试题分析：（ 1）证面面垂直，先证明线面垂直 .那么证哪条线垂直哪个面？因为 ABCD是正方形， .又由 平面 可得 ，所以可证 平面 ，从而使问题得证 . (2)设 AC 交 BD=O.由（ 1）可得 平面 ，所以 即为三棱锥的高 .由条件易得 . 因为 ，所以可求出底面 的面积 .又因为 PD=2，所以可求出点 E到边 PD的距离，从而可确定点 E的位置 . (3)在本题中作二面角的平面角较麻烦，故考虑建立空间直角坐标系，然后用空间向量求解 . 试题：（ 1）证明： 四边形
10、 ABCD是正方形 ABCD， . 平面 , 平面 ，所以 . ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 . (2) 设 . , . 在直角三角形 ADB中， DB=PD=2，则 PB= 中斜边 PB的高 h= 即 E为 PB的中点 . (3) 连接 OE，因为 E为 PB的中点，所以 平面 .以 O 为坐标原点，OC为 x轴， OB为 y轴， OE为 z轴，建立空间直角坐标系 . 则 A(1,0,0)， E(0,0,1) ， F(0,-1, ) ， D(0,-1,0). 平面 EFD的法向量为 设 为面 AEF的法向量。 令 y=1,则 所以二面角 A-EF-D的余弦值为 考点： 1、
11、平面与平面的垂直； 2、几何体的体积； 3、二面角 . 成都市为 “市中学生知识竞赛 ”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格， 90分以下（不包括 90分）的则被淘汰。若现有 500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如下： （ I）求获得参赛资格的人数； （ II）根据频率直方图，估算这 500名学生测试的平均成绩； （ III）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有 5次选题答题的机会，累计答对 3题或答错 3题即终止，答对 3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为 ，求甲在初赛中答题个数 的分布列
12、及数学期望 . 答案：（ I） 125；（ II） 78.48；（ III） 分布列为： 3 4 5 数学期望为 . 试题分析：（ I）将频率分布直方图中 90150的小矩形的面积相加，便得获得参赛资格的人数的频率 .频率乘以测试总人数 500，便得获得参赛资格的人数 . （ II）在频率分布直方图中，平均值等于每小组的频率乘以每小组中点的值的和 . （ III）已知连续两次答错的概率为 ，由此可得答对每一道题的概率 .注意，答题的个数 包括答对的和答错的 .显然答题的个数 可取 3、 4、 5. “ ”表示连续答对 3个或连续答错 3个； “ ”表示前 3题中恰好答对 2个且第 4 个题答对
13、或前 3题中恰好答错 2个且第 4 个题答错； “ ”表示前 4个题恰好答对 2个 .根据独立事件的概率公式便可得 的分布列，由随机变量的数学期望公式可求得 的期望 . 试题：（ I）获得参赛资格的人数 2分 （ II）平均成绩： 5分 （ III）设甲答对每一道题的概率为 .P 则 的分布列为 3 4 5 12分 考点： 1、频率分布直方图及样本数据的平均数； 2、随机变量的分布列及期望 . 已知函数 . ( )若 求 的值域； ( )若存在实数 ，当 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ I）当 时， 的值域为： .当 时，的值域为： .当 时， 的值域为： .（ II） . 试题分析
14、：（ I）由于 的范围含有参数 ，故结合抛物线的图象对 分情况进行讨论 . （ II）由 恒成立得： 恒成立， 令 ， 则只需 的最大值小于等于 0. 由此得： ，令 则原题可转化为：存在 ，使得 .这又需要 时 .接下来又对二次函数 分情况讨论，从而求出实数的取值范围 . 试题：（ I）由题意得： 当 时， ， 此时 的值域为： 2分 当 时， ， 此时 的值域为： 4分 当 时， ， 此时 的值域为： 6分 （ II）由 恒成立得： 恒成立， 令 ， 因为抛物线的开口向上，所以，由 恒成立知： 8分 化简得： 令 则原题可转化为：存在 ，使得 即：当 ， 10分 ， 的对称轴： 即： 时，
15、 解得： 当 即： 时， 解得： 综上： 的取值范围为： 13分 法二：也可 ， 化简得： 有解 . ，则 . 考点： 1、二次函数； 2、函数的最值； 3、解不等式 . 已知函数 （其中 为常数） . ( )当 时，求函数的单调区间； ( )当 时，设函数 的 3 个极值点为 ，且 .证明：. 答案： ( )单调减区间为 , ；增区间为 .( )详见 . 试题分析： ( )将 代入 ，然后求导便可得其单调区间 . ( )我们分以下几步来分析 . 第一步、对 求导得： .显然 是它的一个极值点，下面我们要弄清楚 应该是 还是 .另两个极值点便是方程的根 .对这个方程，我们不可能直接解，所以接下
16、来就利用导数研究函数 . 第二步、对 求导得： 函数 在 上单调递减，在 上单调递增 当 时， ， .又， 所以 在 上必有一个极值点 . 因为 ，所以 ， ， 的两个零点必有一个小于 （实际上比 还小），而另一个大于 1， . 当 时， 是函数 的两个零点，且 . 即有 .这样问题转化为在该条件下证明 .那么这个不等式如何证呢？ 第三步、注意到待证不等式 中不含 ，故考虑消去 ，找到 之间的关系式 . 消去 有 . 令 ， 有零点 . 函数 在 上递减，在 上递增，在 处取得极小值 .由于 ，所以. 因为 . 所以要证明 ，只需证 .那么这个不等式又如何证明呢？ 因为函数 在 上递增，所以转化为证 . 即证 . 这个不等式，通过构造函数 ，再利用导数就很容易证明了 . 试题： ( )求导得： . 令 可得 .列表如下 : 相关试题 2014届四川省成都石室中学高三上学期期中考试理科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路 3号启航商务大厦 5楼 邮编：518000 2004-2016 21世纪教育网 粤 ICP备09188801号 粤教信息(2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991
