1、2014届天津河西区高三第一学期形成性质量调查文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若复数 满足 ，则在复平面内 对应的点的坐标是（ ） A ， B ， C ， D ， 答案： D 试题分析：设 , , ,复数的坐标 ，故选 D. 考点：复数运算与几何意义 用 表示非空集合 中元素的个数，定义 ，若 ， ， ，且 ，设实数 的所有可能取值构成集合 ，则 =（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由已知得： 或 ，当 时，即 由两个相等实根， 即 且 没有实根， ,即 , ;当 时，即 由两个相等实根，即 且 由两个不等实根， , , 或,不成立，当 由两个不等实根， 即 且由两个相等实根
2、， ， ， , ，所以 有 3个值，即选 B. 考点： 1.二次方程根的个数； 2.集合元素 . 如图， 、 是双曲线 ， 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线的左、右两个分支分别交于点 、 ，若 为等边三角形，则该双曲线的离心率为 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：点 是双曲线上的点，所以， 是等边三角形，所以， , , ,所以根据余弦定理得：,将数据代入得：,整理得： 即, ,所以渐近线的斜率 ,故选 D. 考点： 1.双曲线的定义； 2.渐近线方程； 3.余弦定理 . 已知数列 的通项公式 ，则数列 的前 项和 取得最小值时 的值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：
3、根据 时，数列 的前 项和 取得最小值，即解得： ,得 ,故选 C. 考点：求数列 的前 项和 的最值 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 64 B 72 C 80 D 112 答案： C 试题分析：该几何体的直观图如图所示： 由正方体和四棱锥组成， ,故选 C. 考点： 1.三视图； 2.求几何体的体积 . 已知函数 ，则要得到 的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 答案： A 试题分析： ,根据左加右减的平移原理，所以应该向左平移 个单位长度，故选 A. 考点： 的图像
4、变换 在 中，若 ，则 =（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由已知 , 知 为钝角， ,解得 ,故选 A. 考点：同角基本关系式 下列命题为真命题的是（ ） A若 为真命题，则 为真命题 B “ ”是 “ ”的充分不必要条件 C命题 “若 ，则 ”的否命题为 “若 ，则 ” D若命题 ： ，使 ，则 ： ，使 答案： B 试题分析： A.若 为真命题 ,则 至少有一真命题，而 为真命题，则要求 都是真命题，所以 A错 . B. 的解为 或 ,所以 B对 .C.否命题应为 “若 ，则 ”，所以 C错 .D.应改为，所以 D错 . 考点： 1.真值表； 2.充分必要条件； 3.四种命题
5、； 4.全称量词的否定 . 填空题 已知函数 ，若满足 ， ，则实数 的取值范围 . 答案： 试题分析：当 时， ,解得 ,当 时，,解得： ,当时， ,解得：,所以 ,综上： 得 . 考点：分段函数 如果关于 的不等式 和 的解集分别为 ， 和 ， ，那么称这两个不等式为 “对偶不等式 ”.如果不等式 与不等式为 “对偶不等式 ”，且 ， ，那么 = . 答案： 试题分析：设 的解集为 ,那么 的解集为 ,根据根与系数的关系得：,得 ,， ，得 . 考点： 1.不等式与方程的关系； 2.根与系数的关系 .3.三角函数最值 . 已知 为坐标原点， ， ， ， 满足 ，则的最大值等于 . 答案：
6、 试题分析： ，设 ,如图：做出可行域 当目标函数平移到 C点取得最大值， 解得 , ,代入目标函数 ， 的最大值为 . 考点： 1.向量的数量积的坐标表示； 2.线性规划 . 在如图的程序框图中，输出的值为 ，则 . 答案： 试题分析：第一步： ,偶数， ,回到循环；第二步： ,奇数， , ,回到循环；第三步： ,奇数， , ,否，回到循环；第四步： ,奇数， , ,成立，输出 ,代入原式： . 考点：程序框图的识别及应用 已知 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点，若 ，则 的面积为 . 答案： 试题分析：设 ，根据焦半径公式得： , ,代入抛物线方程，得： , . 考点：
7、1.抛物线方程； 2.抛物线的焦半径公式 . 若直线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：直线与圆由公共点，得：圆心到直线的距离 ,圆心 到直线的距离 ,解得 . 考点：直线与圆的位置关系 解答题 甲乙二人用 4 张扑克牌（分别是红桃 2，红桃 3，红桃 4，方片 4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张 （ 1）设 ， 表示甲乙抽到的牌的数字， 如甲抽到红桃 2，乙抽到红桃 3，记为 ， ，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况； （ 2）若甲抽到红桃 3，则乙抽出的牌面数字比 3大的概率是多少？ （ 3）甲乙约定，若甲抽到
8、的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由 答案： (1)详见； (2) ； (3)不公平 . 试题分析：（ 1）此题为古典概型的概率计算问题，因为有两张 4，所以在列举时，要做一区分，设方片 4为 4，甲乙两人抽到的牌不放回，所以在甲抽完以后，乙只能从剩下的牌中抽取，然后一一列举出所以基本事件；（ 2）在（ 1）中列举的所以情况看，横坐标为 3的有几个基本事件 N，其中大于 3的有几个基本事件 n， ,就是甲抽到红桃 3，则乙抽出的牌面数字比 3大的概率 ;（ 3）同样在（ 1）中找到甲抽到的牌的牌面数字大于乙的基本事件，剩下的基本事件为乙大的，分别让他们除以
9、总的基本事件，看谁的概率大，相等，即公平，不相等，就是不公平 . 试题：（ 1）解：方片 4用 4表示，则甲乙二人抽到的牌的所有情况为： （ 2， 3），（ 2， 4），（ 2， 4），（ 3， 2），（ 3， 4），（ 3， 4），（ 4， 2），（ 4， 3），（ 4， 4）， （ 4， 2），（ 4， 3），（ 4， 4）共 12种不同的情况 . 5分 （ 2）解：甲抽到 3，乙抽到的牌只能是 2， 4， 4， 因此乙抽到的牌的数字大于 3的概率为 . 8分 （ 3）解：甲抽到的牌比乙大，有（ 4， 2），（ 4， 3），（ 4， 2），（ 4， 3），（ 3， 2）共 5种 情况 .
10、甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ， 因为 ，所以此游戏不公平 . 13分 考点：古典概型的概率计算 已知函数 . （ 1）求 的最小正周期和最小值； （ 2） 若 ， 且 ，求 的值 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析： (1)首先根据二倍角公式 进行化简，并将函数 的式化为 的形式，然后利用最小正周期公式 ,最小值为 ,可得结果； (2)将 代入 ,化简，利用 得到三角函数值，根据 ，得到的值 .此题考察三角函数的化简求值，属于基础题 . 试题：（ 1）解： ， 4分 ， ， 所以 的最小正周期为 ，最小值为 . 8分 （ 2）解： ， 所以 ， 11分 因为 ， ，所以 ， 因
11、此 的值为 . 13分 考点： 1.三角函数的化简； 2.三角函数的求值 . 如图，三角形 中， ， 是边长为 的正方形，平面 底面 ，若 、 分别是 、 的中点 （ 1）求证： 底面 ； （ 2）求证： 平面 ； （ 3）求几何体 的体积 答案：详见 试题分析：（ 1）根据：面面平行，线面平行的定理，所以取 的中点 ,连, 分别为 的中点，所以 ,然后根据面面平行的判定定理证明面 /面 ,进一步证得 底面 ；（ 2）根据 ,证得 是直角，根据面面垂直，的性质定理，结合 是边长为 的正方形，得 ,证得线线垂直，线面垂直；（ 3）取 中点 ,即 ,几何体 看成四棱锥 的体积，代入公式 ,根据面面
12、垂直，线面垂直的性质定理等可证， ,代入数字，得到结果 . 试题：（ I）解：取 的中点 ，连结 ，（如图） 因为 分别是 和 的中点， 所以 ， ， 2分 又因为 为正方形， 所以 ，从而 ， 所以 平面 ， 平面 ， ， 所以平面 /平面 ， 所以 /平面 . （ 2）因为 为正方形，所以 ，所以 平面 ， 4分 又因为平面 平面 ，所以 平面 ， 6分 所以 ， 又因为 ， 所以 ， 因为 , 所以 平面 . 8分 （ 3）连结 ，因为 ，所以 ， 9分 又平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 因为三角形 是等腰直角三角形，所以 若正数项数列 的前 项和为 ，首项 ，点 ， 在曲线上
13、. （ 1）求 ， ； （ 2）求数列 的通项公式 ； （ 3）设 , 表示数列 的前项和，若 恒成立，求 及实数的取值范围 . 答案： (1) ;(2) ;(3) . 试题分析： (1)根据已知点 ， 在曲线 上，代入曲线，得到与 的关系，再根据 ,分别取 和 代入关系式，得到关于 与 的方程组，解方程，得到结果；（ 2）由（ 1）得的，因为是正项数列，所以两边开方，得 与 的地推关系式，从而判定数列形式，得出 的通项公式 ,再根据 ,得出的通项公式；（ 3）代入 的通项公式得到 ，然后裂项，经过裂项相消，得到 的前项和 ，通过分离常数可以判定 的单调性，求出最值，若恒成立，那么 ,得到的范
14、围 .此题计算相对较大，属于中档题 . 试题：（ 1）解：因为点 ， 在曲线 上，所以. 分别取 和 ，得到 ， 由 解得 ， . 4分 （ 2）解：由 得 . 数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ， 6分 由 ，当 时， ， 所以 . 8分 （ 3）解：因为 ， 所以 ， 11分 显然 是关于 的增函数， 所以 有最小值 ， 因为 恒成立，所以 ， 因此 ，实数 的取值范围是 ， . 13分 考点： 1.等差数列的定义； 2.已知 求 ;3.裂项相消； 4.函数最值 . 如图，焦距为 的椭圆 的两个顶点分别为 和 ，且 与 n ，共线 （ 1）求椭圆 的标准方程； （ 2）若直线
15、与椭圆 有两个不同的交点 和 ，且原点 总在以为直径的圆的内部， 求实数 的取值范围 答案： (1) ;(2) . 试题分析：（ 1）根据椭圆方程写出顶点 的坐标，然后写出 的坐标 ,利用两向量共线的充要条件： ,得 与 的关系，结合 ,解出 与 ,求出椭圆的方程 ;（ 2）设直线 ，与椭圆 有两个不同的交点和 ,设 ,将直线方程代入椭圆方程，消去 ,得到关于 的方程，由两个不同交点， ,并且得到 与 , 原点 总在以 为直径的圆的内部， 为钝角，即 ,整理，代入根与系数的关系，比较 得出 的取值范围 . 试题：（ 1）解：设椭圆 的标准方程为 ，由已知得 ， ， ，所以 ， ， 因为 与 n
16、 ， 共线，所以 ， 2分 由 ，解得 ， ， 所以椭圆 的标准方程为 . 4分 （ 2）解：设 ， ， ， ，把直线方程 代入椭圆方程， 消去 ，得 ， 所以 ， ， 8分 ，即 （ *） 9分 因为原点 总在以 为直径的圆的内部， 所以 ，即 ， 10分 又 ， 由 得 ， 13分 依题意且满足（ *）得 故实数 的取值范围是 ， . 14分 考点： 1.椭圆的性质与方程； 2.向量共线的充要条件； 3.直线与椭圆相交 . 已知函数 的导函数为 ， 的图象在点 ，处的切线方程为 ，且 ，直线 是函数 的图象的一条切线 . （ 1）求函数 的式及 的值； （ 2）若 对于任意 ， 恒成立，求
17、实数 的取值范围 . 答案： (1) ,(2) . 试题分析： (1) 先求 , 根据导数的几何意义，得： , ,列方程，解得 ,解得 ,易知 与 相交于 ，又相切，所以函数 在原点处的切线斜率为 1,即 ,求出 ;(2)代入函数后，整理成 的形式，所以即求 在 ，的最小值，设 ,利用 分析 ,结合定义域，求出最小值 .较难题型 . 试题：（ 1）解： ， 1分 由题意， ， ， ， 由 解得 ， ， ， 所以 . 4分 由题意， 与 相切可知，函数在原点处的切线斜率为 1， 因为 ，所以 . 6分 （ 2）解：问题等价于 ， 整理得 = 对于任意 ， 恒成立， 只需求 在 ， 的最小值 . 8分 设 ，则 ， 10分 又 ， ， 所以 必有一实根 ，且 ， ， ， 当 ， 时， ；当 ， 时， ， ， 所以 在 ， 的最小值为 1， 13分 所以 ， 即实数 的取值范围是 ， . 14分 考点： 1.导数的几何意义； 2.利用导数求函数最值； 3构造函数 .
