1、2014届安徽池州第一中学高三上学期第三次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知函数的定义域为 ，函数的定义域为 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 得 ，又 ， ，故选 A 考点： 1函数的定义域； 2集合的运算 已知 ， ，记 则 的大小关系是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由已知，联想到定积分的几何意义得： 为在 上的定积分，即为曲边梯形 的面积，而 梯形 的面积（如图）， ，故选 C 考点：定积分的几何意义 已知函数 在点（ 1， 2）处的切线与 的图像有三个公共点，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：当 时， ，则
2、，则在 点处的切线方程为 当 时， ，即 作出函数图像如图所示，随着 减小时，半圆向下移动，当点 落在切线上时，在点处的切线与 的图像有三个公共点，即 再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线 的图象有三个公共点，相切时与 的图象有两个交点，即 ，解得 ， 的取值范围是 考点： 1导数的几何意义； 2函数的图象及其性质 若函数图像上的任意一点的坐标 满足条件 ，则称函数 具有性质，那么下列函数中具有性质 的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：不等式 表示的平面区域为如图，由已知，要求函数图像在阴影区域内，画图可知应该选 C 考点： 1二元一次不等式表示的平面区域； 2函数的图象及其性
3、质 袋中标号为 1， 2， 3， 4的四只球，四人从中各取一只，其中甲不取 1号球，乙不取 2号球，丙不取 3号球，丁不取 4号球的概率为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：不妨设甲取 2号球若乙取 1号，则丙 4丁 3；若乙 3，则丙 4丁 1；若乙 4，则丙丁 3共 3种情况类似的，甲取 3或 4号球，各有 3种情况，故共 9种，而基本事件的总数为 ，故所求的概率为故选 B本题是一个错位排列模型 考点：求错位排列的概率 中， 的平分线 交边 于 ，已知 ，且，则 的长为 ( ) A 1 B C D 3 答案： C 试题分 析：如图，作 ， ，则向量平分 同理 又，根据等腰三角形知
4、识可知 故选 A本题也可以有以下两种解法：由共线定理得 ，或得出 D分 BC的比，进而求出 AC长，再将式子平方转化为向量的另一种运算 数量积运算 考点： 1平面向量的基本定理及其意义； 2向量的模长的计算 已知复数 和复数 ，则 Z1 Z2 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：由已知及复数乘法与三角公式得， 故选 A 考点： 1复数的乘法运算； 2两角和与差的三角函数公式 如图，若一 个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为 1，则该几何体的表面积为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由已知可得，该几何体为四棱锥，其中底面是边长为 1的正方形，
5、高为 1，所以该几何体的表面积为 ，故选 D 考点： 1空间几何体的三视图； 2棱锥体积的计算 已知函数，直线是函数 图像的一条对称轴，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由已知，函数在处取最值，由辅助角公式得：，故选 C 考点： 1三角函数的的对称性三角函数的最值； 2辅助角公式 若 “”是 “ ”的充分不必要条件，则 的最大值是（ ） A 2011 B 2012 C 2013 D 2015 答案： B 试题分析：由 ，得 或 由已知得，但 不能推出，的最大值为2012，故选 B 考点：充分条件、必要条件及充要条件的判断 填空题 设二次函数 的图象在点 的切线方程为 ，若 则下
6、面说法正确的有： 存在相异的实数 使 成立； 在 处取得极小值； 在 处取得极大值； 不等式 的解集非空 ; 直线 一定为函数 图像的对称轴 答案： 试题分析：设 ，则 ，所以 在点 处的切线方程为 ，即 ，所以，这是二次函数，则 正确；当 的正负不确定，故不能确定其为极大值还是极小值，所以 不正确；而当 时，所以其解集非空， 正确；易知 一定是 图像的对称轴 .故 正确 . 考点： 1.二次函数的性质； 2.函数的切线 方程求解 . 将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，如第 11个数字是 0，则从左至右的第 个数字是 答案： 试题分析：全体一位数共占据个数位，全体两位数共占据 个数
7、位，接下来是顺次排列的三位数，由于 ，而 ，因 ，所以第 个数字是三位数 的末位数字，即为 考点：数列中的计数问题 在极坐标系中，曲线 与曲线 的一个交点在极轴上，则 的值为 答案： 试题分析：先将曲线 与曲线 的方程化为普通方程，分别为 由已知直线和圆的交点在 轴上，在直线方程中令 ，得交点 ，代入圆的方程，可求得 考点： 1极坐标方程； 2直线与圆的位置关系 关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：由绝对值的几何意义知， 分别表示 与 、 与原点、与 的距离关于 的不等式 的解集为 ，则表示 与的点均在以原点和 为端点的线段上（不包括端点）， 考点： 1绝对值的
8、几何意义； 2恒成立问题中的参数取值范围问题 已知 ，且满足 ，则 _ 答案： 试题分析：由 考点： 1三角恒等变换（知值求角）； 2商关系、两角和与差的余弦公式 解答题 如图， 是边长为 3的正方形， ， ， 与平面 所成的角为 . (1)求二面角 的的余弦值 ; (2)设点 是线段 上一动点，试确定 的位置，使得 ，并证明你的结论 答案：（ 1） ；（ 2）三等分点 试题分析：（ 1）根据 平面 ，确定 就是 与平面 所成的角，从而得到 ，且 ，可以建立空间直角坐标系，写出，设出 的一个法向量为，根据 ，解出 ，而平面 的法向量设为 ，所以利用向量数量积公式得出二面角的余弦值为 ；（ 2）
9、由题意设 ，则 ，而平面 ， ，代入坐标，求出 ，所以点 M的坐标为 ，此时 ， 点 M是线段 BD靠近 B点的三等分点 . 试题： 平面 ， 就是 与平面 所成的角，即 ， . 如图，分别以 为 轴， 轴，轴建立空间直角坐标系 ，则各点的坐标如下 ， ，设平面 的一个法向量为，则 ，即，令 ，则 . 平面 ， 平面 的法向量设为 ， ，故二面角 的余弦值为 . （ 2）由题意，设 ，则 ， 平面 ， ，即解得 ， 点 M的坐标为 ，此时 ， 点 M是线段 BD靠近 B点的三等分点 . 考点： 1.直线，平面位置关系的证明； 2.利用空间向量求二面角 . 淮南八公山某种豆腐食品是经过 A、 B
10、、 C三道工序加工而成的， A、 B、 C工序的产品合格率分别为 、 、 已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场 （ ）正式生产前先试生产 2袋食品，求这 2袋食品都为废品的概率； （ ）设 为加工工序中产品合格的次数，求 的分布列和数学期望 答案： (I) ;(II) . 试题分析：（ ）求出 2袋食品的三道工序都不合格的概率 ， 有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格的概率 ， 两袋都有两道工序不合格的概率 ，则所求的概率为 ;（ ）由题意可得 ，求出离散型随机变量的取每个值的概率，即得 的分布列，由
11、分布列求出期望 试题： (I) 2袋食品都为废品的情况为： 2袋食品的三道工序都不合格 ； 有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格 ; 两袋都有两道工序不合格 ;所以 2袋食品都为废品的概率为 ; （ ）由题意可得 ， ， ， ， 故 P（ =2） =1P（ =0） P（ =1）P（ =3） = ，得到 的分布 列如下： 0 1 2 3 考点： 1.相互独立事件的概率乘法公式； 2.离散型随机变量及其分布列； 3.离散型随机变量的期望与方差 某工厂某种产品的年固定成本为 250万元，每生 产 千件，需另投入成本为 ，当年产量不足 80千件时， （万元） .当年产量不小于 80千件时
12、，（万元） .每件商品售价为 500元 .通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完 . （ 1）写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数式； （ 2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 答案：（ 1） ；（ 2）当 时，即时取得最大值 1000万元 . 试题分析： 对于有关利润的题目，要注意总销售额、成本，利润 =总销售额 -总成本，在题目中，如果含有 的范围有几段，则要分论，函数写成分段函数形式；则由题知每件商品售价为 0.05万元，则 千件商品销售额为万元，在时，年利润；在 ，年利润，整理好结果用分段函数表示；（ 2）求利润最大，即是求函数的最大值，由于是分段函数
13、，则分别求出每段函数的最大值，最终比较两段最大中的较大者，即是函数最大；由（ 1）可求则在时用二次函数的方法求最大，注意 的范围，在 中，利用均值不等式求出，注意等号成立的条件 . 试题：（ 1）由题知每件商品售价为 0.05万元，则 千件商品销售额为万元， 当时，年利润 ； 当 ，年利润 ， 则 （ 2）当 时， 此时，当 时，取得最大值万元 . 当 时， ，当 时，即 时取得最大值 1000万元 . ，所以，当产量为 100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为 1000万元 . 考点： 1.函数的实际应用， 2.分段函数的式的求法， 3.分段函数最大值的求解 . 已知函数 的定
14、义域为 ，且同时满足以下三个条件： ； 对任意的，都有 ； 当 时总有 （ 1）试求 的值； （ 2）求 的最大值； （ 3）证明：当 时，恒有 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：（ 1）抽象函数求在特殊点的值，一般用赋值法，令 代入抽象函数可得 ，又因为 ，可得 .（ 2）在定义域内求抽象函数最值，一般先判断函数单调性，再求比较定义域端点的函数值和极值点的大小 .证明单调性可令 ，代入得进而得函数为增函数，最大值为； （ 3）在 上证不等式 ，要分两段 、 .在 上， ，所以 .在 ，所以，进而得证 . 试题：（ 1）令 则有 ，所以有 ，有根据条件 可知 ，故 .（也可
15、令 ） 方法一：设 ，则有 ，即为增函数（严格来讲为不减函数），所以 ，故 . 方法二：不妨令 ，所以由 ，即 增函数（严格来讲为不减函数），所以 ，故 . （ 3）当 ，有 ，又由 可知 ，所以有对任意的 恒成立 .当 ，又由 可知 ，所以有对任意的 恒成立 .综上，对任意的 时，恒有 . 考点： 1.抽象函数求值和单调性； 2.证明不等式 . 在 中 ， 为线段 上一点，且 ，线段 （ 1）求证： （ 2）若， ，试求线段 的长 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由题意，要证明题中等式，就必须找出三角形中有等式的情形，则只需要考虑面积相等即可，所以 ，得，同除 即得证
16、.（ 2）只要将题中所给的数据 代入式（ 1）式中即可 . 试题： (1)在 中， ，得 ，同除 即得证 . （ 2）由（ 1）代入数据得 ，解得 . 考点：三角形面积公式 . 设函数 ，其中 . （ 1）若 ，求 在的最小值； （ 2）如果 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数 的取值范围； （ 3）是否存在最小的正整数 ，使得当 时，不等式 恒成立 . 答案：（ 1） ； （ 2） ； (3) 存在最小的正整数，使得当 时，不等式 恒成立 . 试题分析： (1) 由题意易知， ( )得（ 舍去） 所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，则； （ 2）由 在定义域内既有极大值又有极小值
17、可转化为 的导函数在 有两个不等实根，即在 有两个不等实根，可求出 的范围 . (3) 由不等式 ，令即可构造函数 ，再利用导数证明 在 即可 . 试题：（ 1）由题意知， 的定义域为 ，当 时，由，得 （ 舍去），当 时， ，当 时， ，所以当 时， 单调递减；当 时，单调递增， （ 2）由题意 在 有两个不等实根，即在有两个不等实根，设 ，又对称轴 ，则，解得 （ 3）对于函数 ，令函数 ，则， ，所以函数 在上单调递增，又 时，恒有 ，即恒成立 .取 ，则有 恒成立 .显然，存在最小的正整数，使得当 时，不等式 恒成立 . 考点： 1.利用导数求函数最值； 2.利用导数求参数范围 3.构造函数证明不等式恒成立
