1、2014届安徽省示范高中高三上学期第一次联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 集合 ， ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ，所以 ，故选 考点： 1.一元二次不等式的解法 ;2.对数不等式的解法 ;3.集合的交集运算 . 已知函数 ，（ 且 ）是 上的减函数，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 是 上的减函数，可得 ，化简得 考点：分段函数的单调性 . 给出下列五个命题： 将 三种个体按 的比例分层抽样调查，如果抽取的 个体为 9个，则样本容量为 30； 一组数据 1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同； 甲组数据的方差为
2、5，乙组数据为 5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲； 已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为 ，则 每增加1个单位， 平均减少 2个单位； 统计的 10个样本数据为 125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在 内的频率为 0.4. 其中真命题为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 样本容量为 ， 是假命题； 数据 1,2,3,3,4,5的平均数为 ，中位数为 3，众数为 3，都相同， 是真命题； ， ， 乙稳定， 是假命题； 是真命题； 数据落在 内的有： 120,122,116,120共 4个，故所求频率为
3、， 是真命题 考点： 1.分层抽样； 2.中位数，众数； 3.平均数，方差； 4.频率 . 已知函数 的部分图像如图所示，则（ ） A 1 B C 2 D 答案： A 试题分析： 的最小正周期 ，故 由得 ，由图可知 故函数 的式为所以 故选 考点：由函数图像确定式 . 为等差数列 的前 项和， ， ，正项等比数列 中， ，则 =（ ） A 8 B 9 C 10 D 11 答案： B 试题分析： ，又 ， ，又 ，即 ， ， 所以，所以 考点： 1.等差数列的性质； 2.等比数列的性质； 3.对数式的计算 . 函数 的图像如图所示，若函数 与 轴有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A B C
4、 D 答案： D 试题分析：函数 与 轴有两个不同交点，即方程 有两个不同的解，由 知， 与 有两个不同的交点，结合图形可知故选 考点： 1.数形结合思想； 2.图像的交点问题 . 在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，直线 的方程为，则直线 与圆 的位置关系是（ ） A相离 B相交 C相切 D相切或相交 答案： D 试题分析：圆 的标准方程为 ，直线 过定点 ，代入，可知直线过圆上的点，所以直线与圆相切或相交故选 考点：直线与圆的位置关系 . 若 且 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ，又 ， 故选 考点：诱导公式 . 在平面直角坐标系中， ， 点是以原点 为圆心的单
5、位圆上的动点，若 ，则 的值是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： C 试题分析：若 ，结合图形可知，故选 考点：向量的模 . 已知函数 ，则 的值为（ ） A -1 B 0 C 1 D 2 答案： C 试题分析： ， 故选 考点：求函数值 . 填空题 如图，边长为 的等边三角形 的中线 与中位线 交于点 ，已知（ 平面 ）是 绕 旋转过程中的一个图形，有下列命题： 平面 平面 ； /平面 ； 三棱锥 的体积最大值为 ； 动点 在平面 上的射影在线段 上； 直线 与直线 可能共面 . 其中正确的命题是 (写出所有正确命题的编号 ). 答案： 试题分析： 中由已知可得四边形 是菱形，则
6、 ，所以 平面 ，所以面 面 ， 正确；又 ， 平面 ；， 正确；当面 面 时，三棱锥 的体积达到最大，最大值为 ， 正确；由面 面 ，可知点 在面 上的射影在线段 上，所以 正确；在旋转过程中 与直线 始终异面， 不正确 考点： 1.面面垂直； 2.线面平行； 3.三棱锥的体积； 4.异面直线 . 在三棱锥 中，任取两条棱，则这两条棱异面的概率是 . 答案： 试题分析：三棱锥中两条相对的棱所在是直线是异面直线，共有 3对，从 6条棱中任取两条，利用列举法可知有 15种取法， 取到两条棱异面的概率是 考点： 1.三棱锥的异面直线； 2.概率 . 已知 满足 ，则 的最大值是 . 答案： 试题分
7、析：作出可行域如图，是三条直线围成的三角形区域又 ， 作直线 ，向下平移此直线，当过点（ 2， 0）时， 取得最大值 2，所以 的最大值为 考点：线性规划 . 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . 答案： 试题分析：由三视图知，此几何体是一个组合体，上面是 球，其半径为 1，下面是半圆柱，底面半圆直径为 1，高为 2所以组合体的体积为 考点：三视图 . 执行如图所示的程序框图，若判断框内填入的条件是 ，则输出的为 . 答案： 试题分析：根据程序框图，当 时， ；当 时， ；当时， ；当 时， ； ，即当 i 为奇数时 S 为 -1，当 i为偶数时 S为 0，因为 所以输出的 S
8、为 0 考点：程序框图 . 解答题 某数学老师对本校 2013届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按 1:50进行分层抽样抽取的 20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如下： 得到频率分步表如下： （ 1）求表中 的值，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在范围为及格）； （ 2）从大于等于 110分的学生中随机选 2名学生得分，求 2名学生的平均得分大于等于 130分的概率 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：本题主要考查茎叶图的读法和频率分布表中数据的计算 .考查学生的分析能力和计算能力 .第一问，结合频率分布表和茎叶图，利用频率 =频数 样本总数来计算；第二问，
9、分别数出所有符合题意的种数，再求概率 . 试题：（ ）由茎叶图可 知分数在 范围内的有 2人，在 范围内的有 3人， ， 4分 从茎叶图可知分数在 范围内的有 13人， 所以估计全校数学成绩及格率为 6分 （ ）设 表示事件 “大于等于 110分的学生中随机选 2名学生得分，平均得分大于等于 130分 ”， 由茎叶图可知大于等于 110分有 5人，记这 5人分别为 ， 7分 则选取学生的所有可能结果为： , ，基本事件数为 10， 9分 事件 “2名学生的平均得分大于等于 130分 ” ，也就是 “这两个学生的分数之和大于等于 260”， 所以可能结果为：（ 118,142），（ 128,13
10、6），（ 128,142），（ 136,142）， 共 4种情况，基本事件数为 4， 11分 所以 12分 考点： 1.茎叶图； 2.频率； 3.随机事件的概率 . 如图，已知正三棱柱 中， ， ， 为 上的动点 . （ 1）求五面体 的体积； （ 2）当 在何处时， 平面 ，请说明理由； （ 3）当 平面 时，求证：平面 平面 . 答案：（ 1） 4；（ 2） 为 的中点；（ 3）证明过程详见 . 试题分析：本题主要以正三棱柱为几何背景 ,考查椎体体积、线面平行、面面垂直的判定，运用传统几何法求解证明，突出考查空间想象能力和计算能力 .第一问，由图形判断五面体就是四棱锥，所以主要任务就是求高
11、和底面面积；第二问，利用直线与平面平行的性质定理，证明出 ，所以 为 中点；第三问，结合第二问的结论，由线面垂直的判定定理，得出 平面 ，再由面面垂直的判定定理得出结果 . 试题：（ ）如图可知五面体是四棱锥 ， 侧面 垂直于底面 ， 正三角形 的高 就是这个四棱锥 的高， 又 ， 于是 4分 （ ）当点 为 中点时， 平面 连结 连结 ， 四边形 是矩形， 为 中点， 平面 ，平面 平面 ， ， 为 的中点 8分 （ ）由（ ）可知当 平面 时， 为 的中点 为正三角形， 为 的中点， ， 由 平面 ， ， 又 ， 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 12分 考点： 1.直线与平面平行的性质
12、定理； 2.线面垂直的判定定理； 3.面面垂直的判定定理 . 函数 是定义在 上的偶函数， ，当 时， . （ 1）求函数 的式； （ 2）解不等式 ； 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本题主要考查函数的式、奇偶性、不等式的解法 .考查函数性质的应用 .考查分析问题解决问题的能力和计算能力 .第一问，求对称区间上的函数式，最后注意 的值不要遗漏；第二问，因为函数为偶函数，所以将所求不等式转化一下，变成 ，再利用单调性解不等式 . 试题：（ ）当 时， ，则 ， 2分 函数 是偶函数， ， 4分 函数 是偶函数的式为 6分 （ ） ， 7分 是偶函数， 不等式 可化为 ， 9分 又 函
13、数 在 上是减函数， ，解得： ， 即不等式的解集为 12分 考点： 1.求函数式； 2.解抽象不等式； 3.解绝对值不等式 . 设 是数列 的前 项和， ， ， . （ 1）求证：数列 是等差数列，并 的通项； （ 2）设 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ 1）证明过程详见， ；（ 2）. 试题分析：本题主要考查等差数列的概念、通项公式、数列求和等基础知识，考查化归与转化的思想方法，考查运算能力、推理论证能力 .第一问，因为，所以变形得 ，利用等差数列的定义证明，然后直接写出通项公式，再由 求 ，注意验证 的情况，第二问，将第一问的结论代入，用裂项相消法求数列的和 . 试题：（ ） ， ，
14、 2分 即 ， ， 数列 是等差数列 4分 由上知数列 是以 2为公差的等差数列，首项为 ， 5分 ， 7分 （或由 得 ） 由题知， 综上， 9分 （ ）由（ ）知 ， 10分 ， 12分 13分 考点： 1.证明等差数列； 2.等差数列的通项公式； 3.裂项相消法求和 . 已知圆 的圆心 与点 关于直线 对称，圆 与直线相切 . （ 1）设 为圆 上的一个动点，若点 ， ，求 的最小值； （ 2）过点 作两条相异直线分别与圆 相交于 ，且直线 和直线的倾斜角互补， 为坐标原点，试判断直线 和 是否平行？请说明理由 . 答案：（ 1） -4；（ 2）直线 和 一定平行 . 试题分析：本题主要
15、考查圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的点乘、平面内两点间距离公式、点到直线的距离等基础知识 .考查数形结合的数学思想 .考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力 .第一问，利用两个点关于直线对称，列出方程组，解出 ，即得到圆心坐标，再利用点到直线的距离求半径，写出圆的方程，利用向量的点乘列出式子，数形结合找出最小值；第二问，利用直线与圆的位置关系列出方程，得出 两点的横坐标，利用斜率公式写出式子，判断两个斜率是否相等 . 试题：（ ）设圆心 ，则 中点坐标为 ， 1分 圆心 与点 关于直线 对称， ，解得 ， 3分 圆心 到直线 的距离 ， 4分 求圆 的方程为 5分 设 ，则 ， ， 6分 作直线 ： ，向下平移此直线，当与圆 相切时 取得最小值，这时切点坐标为 ， 所以 的最小值为 -4 8分 （ ）由题意知，直线 和直线 的斜率存在，且互为相反数，故可设 ：， ： ，由 ，得 因为点 的横坐标 一定是该方程的解，故可得 ，同理， 则 所以，直线 和 一定平行 14分 考点： 1.中点坐标公式； 2.点到直线的距离； 3.向量的点乘； 4.斜率的公式； 5.直线与圆的位置关系 .
