1、2014届山东省威海市高三上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，则集合 等于 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为 ，所以 ， 或 ，所以集合. 考点：集合间的基本运算 已知函数 ，若存在 ，使得 ，则的取值范围为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由已知得，当 时， ；当 时，.因为存在 ，使得 ，所以使得 的，那么 ，所以设 ， 则 ，在上是单调递增的， 设 ，则 ， ，所以 的取值范围为. 考点： 1.分段函数的图像与性质； 2.二次函数的单调性与最值 函数 的图象为 ( ) 答案： B 试题分析：因为 ，根据奇函数和偶函数的定义可知，
2、函数 是非奇非偶函数，排除选项 A和选项 D.当 时，所以选 B. 考点：三角函数的图像与性质 已知正数 满足 ，则 的最小值为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为 ， ，又 都是正数，解得 . 考点：基本不等式及其应用 角 的终边经过点 ，则 的可能取值为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： . 考点： 1.任意角的三角函数； 2.同角三角函数的基本关系 已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：不等式表示的可行域如图所示 (阴影部分 )： 图中红色直线表示 取不同值时，目标函数 的图像，由图可知目标函数在点 取得最大
3、值，解方程 得， ，所以 点坐标为 ，所以 . 考点：简单的线性规划 已知 则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：. 考点：同角三角函数的基本关系 已知函数 是偶函数，且 则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为函数 是偶函数，所以 ，取代入得， ，解得 . 考点： 1.偶函数的性质； 2.抽象函数 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ， 取得最小值时 的值为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：由已知得 ， ，所以 ，所以，当 时， ；当 时， . 所以 取得最小值时 的值是 . 考点： 1.等差数列的通项公式； 2.等差数列的前 项和 已知 ，则 ( )
4、 A B C D 答案： A 试题分析：因为 ， 所以 . 考点：平面向量的模与数量积 命题 “ ” 的否定是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：所给命题 是全称命题，它的否定是存在性命题，为. 考点：全称命题的否定 ( ) A B C D 答案： A 试题分析： . 考点：特殊角的三角函数值 填空题 将函数 的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的 2倍，再向左平移 个单位，所得函数的单调递增区间为 . 答案： 试题分析：函数 的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的 2倍，变为 ；再向左平移 个单位，变为.当 时，解得 ，又因为 ，所以 或 ，所以所求函数的单调递增区间是
5、. 考点： 1.三角函数的图像与平移变换； 2.三角函数的单调性 不等式 的解集为 _. 答案： 试题分析：当 时，原不等式为 恒成立；当 时，原不等式为，解得 ，所以 ；当 时，原不等式为，无解 .综上可知，不等式 的解集为. 考点：绝对值不等式的解法 公比为 的等比数列前 项和为 15，前 项和为 . 答案： 试题分析：设首项为 ，则由已知可得， ，解得 ，所以. 考点： 1.等比数列的性质； 2.等比数列的前 项和 _. 答案： 试题分析： . 考点：定积分 解答题 求值化简： ( ) ； ( ) . 答案： ( ) ； ( ) . 试题分析： ( )利用指数的运算公式： ， ，以及对数
6、的运算公式： 进行计算； ( )利用三角函数的诱导公式： ， ， ，以及二倍角公式 进行计算 . 试题： ( ) ； 6分 ( ) 12分 考点： 1.指数与指数幂的运算； 2.对数运算； 3.三角函数的诱导公式； 4.二倍角公式 的角 的对边分别为 ，已知. （ ）求角 ； （ ）若 ， ,求 的值 . 答案： ( ) ； ( ) . 试题分析： ( )先根据正弦定理将已知表达式： ，全部转化为边的关系，然后根据余弦定理求出角 的余弦值，结合特殊角的三角函数值以及三角形的内角求角 ； ( )先根据三三角形的面积公式求出 ，然后根据余弦定理的变形，求得 ， 将已知的 与 代入此式可解得 . 试
7、题：（ 1）根据正弦定理 ，原等式可转化为： ， 2分 ， 4分 . 6分 ( ) ， ， 8分 ， 10分 . 12分 考点： 1.正弦定理； 2.余弦定理及其变形； 3.解三角形； 4.三角形的面积公式； 5.特殊角的三角函数值 已知 为等差数列，且 . （ ）求数列 的通项公式及其前 项和 ； （ ）若数列 满足 求数列 的通项公式 . 答案： ( ) ， ； ( ) . 试题分析： ( )先设出等差数列 的首项和公差，然后代入式子：，列方程组求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式：以及前 项和公式： 求解； ( )由式子，取 为 得到：，两式相减得， ，结合 ( )的结果化简整理得，
8、 ，然后求出 的值，代入 验证，要是不符合那么就把通项写成分段函数的形式，要是符合就合二为一写成一个式子 . 试题：（ ）设等差数列的首项和公差分别为 ， 则 ，解得 . 2分 ， 4分 6分 （ ） ， ， 7分 得 ， 8分 ， 10分 ， 11分 . 12分 考点： 1.等差数列的通项公式； 2.等差数列的前 项和； 3.数列的递推公式 已知函数 . （ ）求 的最小正周期； （ ）若 在 处取得最大值，求 的值 ; （ ）求 的单调递增区间 . 答案： ( ) ； ( ) ； ( ) . 试题分析： ( )先根据和角公式以及二倍角公式化简函数：，得到函数 ，再根据求函数的最小正周期；
9、( )先根据 ( )中的化简结果求出 的式，然后结合三角函数的图像与性质求得 取最大值时对应的 的值，再将 代入求出适合 范围内的 的值； ( )根据 ( )的求解先写出 的式 ，结合三角函数的图像与性质得出 ，解出的 的取值范围即是所求的单调增区间 . 试题： ( ) 2分 所以 . 4分 ( ) 5分 当 时取得最大值，将 代入上式， 解得 ， 6分 . 8分 ( )由 ( )知， ， 9分 又 ， 10分 解得 ， 函数 的单调递增区间为： . 12分 考点： 1.三角函数的图像与性质； 2.三角函数的单调性； 3.三角函数的最值； 4.和角公式； 5.二倍角公式 已知函数 . （ ）若
10、 ，求 的极值； （ ）若 在定义域内无极值，求实数 的取值范围 . 答案： ( ) ， ； ( ) . 试题分析： ( )先写出 时的函数式以及定义域： ，对函数求导并且求得函数的零点，结合导数的正负判断函数在零点所分的各个区间上的单调性，从而得到函数的极值点，求得极值点对应的函数值即可； ( )先求出函数 的导数，将 问题 “ 在定义域内无极值 ”转化为 “ 或 在定义域上恒成立 ”，那么设分两种情况进行讨论，分别为方程无解时 ，以及方程有解时保证 ，即 成立，解不等式及不等式组，求两种情况下解的并集 . 试题：（ ）已知 ， ， 1分 ， 2分 令 ，解得 或 . 3分 当 时， ； 当
11、 时， . 4分 ， 5分 取得极小值 2，极大值 . 6分 （ ） ， ， 7分 在定义域内无极值，即 或 在定义域上恒成立 . 9分 设 ，根据图象可得： 或 ，解得 . 11分 实数 的取值范围为 . 12分 考点： 1.函数的单调性与导数的关系； 2.利用导数研究函数的极值； 3.解不等式；4.二次函数的图像与性质； 5.不等式恒成立问题 已知 ， 为其反函数 . （ ）说明函数 与 图象的关系（只写出结论即可）； （ ）证明 的图象恒在 的图象的上方； （ ）设直线 与 、 均相切，切点分别为（ ）、（ ），且 ，求证： . 答案： ( ) 关于直线 对称； ( )见； ( )见 .
12、 试题分析： ( )原函数与其反函数的图像关于直线 对称； ( )先求出反函数的式： ，引入中间函数 .先构造函数 ，利用函数的单调性与导数的关系，求得函数的最小值是 ，找到关系 ；再构造函数 ，利用函数的单调性与导数的关系，求得函数的最小值是 ，找到关系 .从而证得 “ 的图象恒在 的图象的上方 ”； ( )先求出 以及 ，根据导数与切线方程的关系，由斜率不变得到 ，再根据两点间的斜率公式得到 .首先由指数函数的性质可得 ，那么 ，然后由 得到 ，解得 . 试题：（ ） 与 的图象关于直线 对称 . 2分 （ ） ，设 ， 4分 令 ， ， 令 ，解得 ， 当 时 ，当 时 ； 当 时， ， . 6分 令 ， ， 令 ，解得 ； 当 时， ，当 时， ， 当 时， ， . 8分 的图象恒在 的图象的上方 . 9分 （ ） ， ，切点的坐标分别为 ，可得方程组： 11分 ， ， ， . 12分 由 得， ， ， 13分 ， ， ，即 ， . 14分 考点： 1.反函数； 2.函数的单调性与导数的关系； 3.对数函数的性质； 4.指数函数的性质； 5.利用导数研究曲线的切线方程
