1、2014届山东省文登市高三上学期期中统考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若 ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：，故选 C. 考点： 1.同角三角函数的基本关系； 2.诱导公式 设函数 ， ，若实数 、 满足 ，则（ ） AB C D答案： D 试题分析：由于函数 在 上单调递增，且 ，且 ，由零点的存在定理知， ，同理可知，由于函数 在 上单调递增，则 ， ，于是有 ，故选 D. 考点： 1.零点存在定理； 2.比较大小 定义在 上的偶函数 满足 且 ，则的值为（ ） A B C D答案： B 试题分析： ，故函数 是以 为一个周期的周期函数， ，故选 B. 考点： 1
2、.函数的周期性； 2.函数的奇偶性 函数 是 上的奇函数， 、 ， ，则 的解集是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由于函数 是 上的奇函数，则有 ，令，则有 ，于是有 ， 、 ， ，则函数 在 上单调递减，不等式 等价于 ，则有，解得 ，故选 C. 考点： 1.函数的奇偶性与单调性； 2.函数不等式 在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，故选 A. 考点： 1.二倍角公式； 2.内角和定理； 3.诱导公式； 4.两角和的余弦公式 已知 ， 、 满足约束条件 ，若 的最小值为 ，则 （ ） A B C D 答案： A
3、试题分析：作出不等式组 所表示的可行域如下图中阴影部分，联立 与 得点 ，作直线 ，则 为直线 在 轴上的截距，当直线 经过可行域上的点 时，直线 在 轴上的截距最小，此时， 取最小值，即 ，解得 ，故选 A. 考点：线性规划 已知命题 ， ；命题 ， ，则下列命题中为真命题的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：对命题 ，令 ，则 ， ，故命题 为假命题；对于命题 ，令 ，则函数 的图象在 上连续，由于， ，由零点存在定理知，存在 ，使得 ，所以命题 为真命题，因此复合命题 为真命题，故选 C. 考点： 1.零点存在定理； 2.复合命题的真假性判断 若数列 的前 项和 ，则数列 的
4、通项公式 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：对任意 ，有 ，当 时有 ，解得 ； 当 且 时，由 ，可得 ，两式相减得， 整理得 ，故数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列， ，故选 D. 考点：数列通项的求解 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为 “同簇函数 ”给出下列函数： ； ； ； 其中 “同簇函数 ”的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：三角函数 的图象在平移的过程中，振幅不变， 的函数的式化简为 ， 中的函数的式化简为 ，将 中的函数的图象向左平移 个单位长度便可得到 中的函数图象，故选 D. 考点： 1.新定义； 2.三角函数图象变换
5、函数 的图像为 答案： A 试题分析：函数 为偶函数，图象关于 轴对称，排除 B、 C 选项，且 ，故选 A. 考点： 1.函数的奇偶性； 2.函数的图象 已知向量 ， ，如果向量 与 垂直，则 的值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， ， ，由于向量与 垂直，所以 ，故选 C. 考点： 1.平面向量垂直； 2.平面向量的坐标运算 已知集合 ， ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ， ，所以 ，故选 B. 考点： 1.对数不等式； 2.集合的基本运算 填空题 在 中， ， ， ，则 . 答案： . 试题分析： ，即 ，所以， . 考点： 1.平面向量的加法
6、与减法； 2.平面向量的数量积 设正数 、 满足 ，则当 _时， 取得最小值 . 答案： . 试题分析： 、 都是正数， ， ，另一方面， ，当且仅当 ，即 且 时，即当 时， 取得最小值 ，此时 . 考点：基本不等式 . 答案： . 试题分析： . 考点：等比数列求和 已知一元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为 . 答案： . 试题分析：由于一元二次不等式 的解集为 ，故一元二次不等式 的解集为 ，解不等式 ，得，解得 ，故不等式 的解集为 . 考点： 1.一元二次不等式的解集与系数的关系； 2.指数不等式 解答题 已知 ， ， . （ 1）若 ，求 的值； （ 2）设 ，若 ，求 、 的
7、值 . 答案：（ 1） ；（ 2） ， . 试题分析：（ 1）由 得到 ，并分别计算出 与 ，利用平面向量的数量积计算 ，便可得到 的值；（ 2）利用坐标运算得到两角 、 三角函数之间的关系，利用同角三角函数的平方关系转化为只含角 三角函数的方程，结合角 的取值范围求出角的值，从而得到角 的三角函数值，最终根据角 的范围得到角 的值 . 试题：（ 1） ， ， 又 ， ， ， . （ 2） ， 即 ， 两边分别平方再相加得 : ， ， 且 ， . 考点： 1.平面向量的坐标运算； 2.平面向量的数量积； 3.同角三角函数的基本关系 已知函数 和 的图象关于 轴对称，且 . （ 1）求函数 的式
8、； （ 2）当 时，解不等式 . 答案：（ 1） ；（ 2）当 ，解集为 ； 当 ，解集为 ；当 ，解集为 . 试题分析：（ 1）先利用两个函数图象关于 轴对称的关系，得出函数上的点 与其关于 轴对称点 在函数 ，进而通过坐标之间的关系得出函数 的式；（ 2）先将不的公式进行等价变形，得到，等价转化为 ，就 的取值进行分类讨论，主要是对 与 和 的大小进行分类讨论，从而确定不等式的解集 . 试题：（ 1）设函数 图象上任意一点 ， 由已知点 关于 轴对称点 一定在函数 图象上， 代入 ，得 ； （ 2）由 整理得不等式为 ， 等价 ， 当 ，不等式为 ，解为 . 当 ，整理为 ，解为 . 当
9、，不等式整理为 ，解为 . 综上所述，当 ，解集为 ； 当 ，解集为 ； 当 ，解集为 . 考点： 1.函数图象的对称性； 2.利用分类讨论法求解含参不等式 设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， 是其前 项和 . （ 1）若 ， ，求数列 的通项公式； （ 2）记 ， ，且 、 、 成等比数列，证明 :. 答案：（ 1） 或 ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）利用等差数列的性质得到 ，结合题中的已知条件将 、 等价转化为一元二次方程 的两根，从而求出和 ，最终确定等差数列 的通项公式；（ 2）先求出数列 的通项公式（利用 和 表示），然后通过 “ 、 、 成等比数列 ”这一条件确定 和
10、的之间的等量关系，进而将 的表达式进一步化简，然后再代数验证 . 试题：（ 1）因为 是等差数列，由性质知 ， 所以 、 是方程 的两个实数根，解得 ， ， ， ， ， 或 ， ， ， 即 或 ； （ 2）证明：由题意知 ， . 、 、 成等比数列， ， ， ， 左边 右边 ， 左边 右边 成立 . 考点： 1.等差数列的通项公式； 2.等差数列求和； 3.等比中项的性质 如图，游客在景点 处下山至 处有两条路径 .一条是从 沿直道步行到 ，另一条是先从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直道步行到 .现有甲、乙两位游客从 处下山，甲沿 匀速步行，速度为 .在甲出发 后，乙从 乘缆车到 ，在 处停留
11、 后，再从 匀速步行到 .假设缆车匀速直线运动的速度为 ，索道 长为 ，经测量 ， . （ 1）求山路 的长； （ 2）假设乙先到，为使乙在 处等待甲的时间不超过 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 答案：（ 1） 米；（ 2）乙步行的速度应控制在内 . 试题分析：（ 1）利用同角三角函数的基本关系先求出 和 ，再利用内角和定理以及诱导公式 、两角和的正弦公式求出 的值，最终利用正弦定理求出 的长度；（ 2）利用正弦定理先求出 的长度，然后计算甲步行至处所需的时间以及乙从 乘缆车到 所需的时间，并设乙步行的速度为，根据题中条件列有关 的不等式，求出 即可 . 试题：（ 1） ， ， 、 ，
12、 ， ， ， 根据 得 ， 所以山路 的长为 米； （ 2）由正弦定理 得 （ ）， 甲共用时间： ，乙索道所用时间： ， 设乙的步行速度为 ，由题意得 ， 整理得 ， ， 为使乙在 处等待甲的时间不超过 分钟，乙步行的速度应控制在内 . 考点： 1.同角三角函数的基本关系； 2.内角和定理； 3.两角和的正弦公式； 4.正弦定理 新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得 万元的投资收益 .现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 （单位：万元）随投资收益 （单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于 万元，同时不超过投资收益的 . （ 1）设奖励方案的函数模型为 ，试用数学语言表述
13、公司对奖励方案的函数模型 的基本要求 . （ 2）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型： ； 试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）根据题中的条件对函数 的基本要求转化为数学语言；（ 2）对题中的两个函数是否满足（ 1）中的三个限制条件进行验证，对于函数上述两个函数是否满足题中的条件，主要是研究函数的单调性与最值以及恒成立问题，可以利用基本函数的单调性以及利用导数来进行求解 . 试题：（ 1）由题意知，公司对奖励方案的函数模型 的基本要求是： 当 时， 是增函数； 恒成立； 恒成立； （ 2） 对于函数模型 ：当 时， 是增函数
14、， 则 显然恒成立； 而若使函数 在 上恒成立，整理即 恒成立，而 ， 不恒成立 故该函数模型不符合公司要求 . 对于函数模型 ： 当 时， 是增函数，则 恒成立 设 ，则 . 当 时， ， 所以 在 上是减函数， 从而 . ，即 ， 恒成立 故该函数模型符合公司要求 考点： 1.函数的单调性； 2.函数不等式 设函数 . （ 1）当 ， 时，求函数 的最大值； （ 2）令 ，其图象上存在一点 ，使此处切线的斜率 ，求实数 的取值范围； （ 3）当 ， ， 时，方程 有唯一实数解，求 的值 . 答案：（ 1）函数 的最大值为 ；（ 2）实数 的取值范围是；（ 3） . 试题分析：（ 1）将 ，
15、 代入函数 的式，然后利用导数求出函数的最大值；（ 2）先确定函数 的式，并求出函数 的导数，然后利用导数的几何意义将问题转化为 ，利用恒成立的思想进行求解；（ 3）将 ， 代入函数 的式并确定函数 的式，构造新函数 ，利用导数求出函数 的极值，利用极值为零来求出参数 的值 . 试题：（ 1）依题意， 的定义域为 ， 当 ， 时， ， ， 由 ，得 ，解得 ； 由 ，得 ，解得 或 . ， 在 单调递增，在 单调递减； 所以 的极大值为 ，此即为最大值； （ 2） ， ，则有 在 上有解， ， ， 所以当 时， 取得最小值 ， ； （ 3）因为方程 有唯一实数解，所以 有唯一实数解， 设 ，则 ， ， ，所以由 得 ， 由 得 ，所以 在 上单调递增， 在 上单调递减， . 若 有唯一实数解，则必有 ， 所以当 时，方程 有唯一实数解 . 考点： 1.利用导数求函数的最值； 2.函数不等式恒成立； 3.参数分离法； 4.函数的零点
