1、2014届山东省潍坊一中高三 10月份阶段检测理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 则集合 （ ） A（ -2， +） B（ -2， 3） C D R 答案： C 试题分析： , , .故选 C. 考点： 1.集合的交并补运算； 2.函数的值域 . 设定义在 R上的函数 是最小正周期为 的偶函数， 的导函数，当 时， ；当 且 时， ，则方程在 上的根的个数为 ( ) A 2 B 5 C 8 D 4 答案： D 试题分析：当 时， ， ，函数 在 单调递增；同理当 时，函数 在 上单调递减 .且 ，所以在上函数 图象交点的个数为 2个，又函数为最小正周期为 的偶函数，因此方程 在 上的
2、根的个数为 4个 . 考点： 1.函数的零点与方程根的关系； 2.函数的单调性； 3.函数的周期性 . 如果函数 图像上任意一点的坐标 都满足方程 ，那么正确的选项是（ ） A 是区间 上的减函数，且 B 是区间 上的增函数，且 C 是区间 上的减函数，且 D 是区间 上的增函数，且 答案： A 试题分析：由题意知 ， ，由基本不等式知 ，解得 ； 由 得 ，因 ，所以 是区间 上的减函数，且 . 考点： 1.函数的单调性； 2.基本不等式求最值； 3.对数运算 . 如图所示为函数 的部分图像，其中 A， B两点之间的距离为 5，那么 ( ) A -1 B C D 1 答案： A 试题分析：由
3、 A， B两点之间的距离为 5知函数的半周期为 3，因此 , ,又函数过点 ，所以 ，因 知 ，所以函数式为， 故 ,选 A. 考点： 1.三角函数知图求式； 2.三角求值 . 已知函数 满足： ，则 ；当 时， 则( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，所以 . 又 ，所以 ，即 .故选 D. 考点： 1.分段函数求值； 2.对数值比较大小 . 已知函数 则 ， ， 的大小关系为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：由 知函数 为偶函数，当时， 知函数 在 上单调递增，由知 ，即 .故选 A. 考点： 1.函数值大小的比较； 2.函数的单调性； 3.函数的奇偶性 .
4、若命题 “ 使得 ”为假命题，则实数 的取值范围是（ ） A 2， 6 B -6， -2 C（ 2， 6） D（ -6， -2） 答案： A 试题分析：需满足 ，解得 .故选 A. 考点： 1.命题的真假； 2.一元二次不等式 . 若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： A 项：当 时，不等式 ； C 项： 时， ； D 项：时， .B项： ， ，所以 .故选 B. 考点：不等式性质 . 已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴正半轴重合，终边在直线上，则 （ ） A -2 B 2 C 0 D 答案： B 试题分析：由题意知： ，所以原式.故选 B.
5、考点：三角函数化简求值 . 下列命题中，真命题是（ ） A存在 B 是 的充分条件 C任意 D 的充要条件是 答案： B 试题分析： A项： ;B项： 是 的充分条件，正确； C项： ； D项： ，但 ，错误 .故选 B. 考点： 1.命题的真假； 2.充要条件； 3.指、对函数单调性 . 已知弧度数为 2的圆心角所对的弦长也是 2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A 2 B C D 答案： C 试题分析： .故选 C. 考点：扇形弧长公式 . 已知函数 则 ( ) A - B C D 答案： D 试题分析： .故选 D. 考点：分段函数求值 . 填空题 设 满足约束条件 . 若目标函数 的最
6、大值为 1，则 的最小值为 . 答案： 试题分析 :做可行性域，由图象知过点 时，目标函数 取最大值为 1，所以 ， ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 . 考点： 1.基本不等式； 2.线性规划 . 若函数 (其中 为常数且 )，满足 ，则的解集是 . 答案： 试题分析：函数定义域为 ，由 ， 知函数 为单调递减函数，所以 .由 知 ，满足：，解得 . 考点： 1.不等式求解； 2.对数的单调性； 3.函数的定义域 . 曲线 ， 所围成的封闭图形的面积为 . 答案： 试题分析：曲线 ， 的交点为 ，所求封闭图形面积为. 考点：曲边梯形面积 . 已知 ，且 为第二象限角，则 的值为 . 答
7、案： 试题分析： ,所以 . 考点： 1.三角函数求值； 2同角三角函数基本关系式 . 解答题 设命题 p：函数 的定义域为 R；命题 q： 对一切的实数 恒成立，如果命题 “p且 q”为假命题，求实数 a的取值范围 . 答案： 试题分析：本题以命题真值表为背景考查了函数知识，命题 转化为函数开口向上，判别式 ；命题 转化为 ，进而求二次函数的最值；同时命题 “ ”为假命题需分三种情况来讨论： 真 假、 假 真、 假 假，体现了数学的分类讨论思想 . 试题： 4分 8分 “ 且 ”为假命题 ， 至少有一假 : （ 1）若 真 假，则 且 （ 2）若 假 真，则 且 （ 3）若 假 假，则 且
8、. 12分 考点： 1.命题真值表； 2.函数的定义域问题； 3.恒成立问题； 4.函数的最值； 5.化归与转化思想 . 设函数 ，其中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点 ，且 . （ 1）若 点的坐标为（ - ），求 的值； （ 2）若点 为平面区域 上的一个动点，试确定角 的取值范围，并求函数 的值域 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析： (1)由三角函数的定义求解 与 ，进而求 的值；（ 2）由平面区域 的可行域可得角 的范围，再求解的值域，本题将三角化简求值与线性规划知识联系在一起 ,具有新颖性 . 试题：（ 1）由三角函数的定义，得 故 4分 （
9、2）作出平面区域 （即三角形区域 ABC）如图所示， 其中 于是 7分 又 且 故当 ，即 时， 取得最小值，且最小值为 1. 当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 . 故函数 的值域为 . 12分 考点： 1.三角化简求值； 2.三角函数的值域； 3.线性规划可行域 . 已知一企业生产某产品的年固定成本为 10万元，每生产千件需另投入 2.7万元，设该企业年内共生产此种产品 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为 万元，且 （ 1）写出年利润 （万元）关于年产品 （千件）的函数式； （ 2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？ （注：年利润 =年销售收入 -年总成本） 答
10、案： (1) ； (2) 时， 取最大值 . 试题分析：本题是实际应用题 (1)利用年利润 =年销售收入 -年总成本及每千件的销售收入 ,分段 及 来表示；（ 2）在每一段内利用导数判函数的单调性 ,求每一段内的最值，两段比较最大者为最大值 . 试题：（ 1）当 时， 当 时， 4分 （ 2） 当 时，由 ，得 且当 时， ；当 时， ； 当 时， 取最大值，且 8分 当 时， 当且仅当 ，即 时， 综合 、 知 时， 取最大值 . 所以当年产量为 9千件时，该企业生产此产品获利最大 . 12分 考点： 1.分段函数的最值； 2.函数的单调性 . 若 的图象关于直线 对称，其中 （ 1）求 的
11、式； （ 2）将 的图象向左平移 个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的 2倍（纵坐标不变）后得到 的图象；若函数 的图象与 的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求 的值 . 答案： (1) ；（ 2） . 试题分析： (1)本题考查了三角函数的对称性，利用通解 来求解；（ 2）由图象变换求得 ，再利用三交点的横坐标成等比数列求得，因此 .此题将数列与三角函数知识联系在一起，在知识的交汇处命题 . 试题：（ 1） 的图象关于直线 对称， ，解得 ， 2分 5分 （ 2）将 的图象向左平移 个单位后，提到，再将得到的图象的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）后，得到 9分 函数 的图象
12、与 的图象有三个交点坐标分别为且 则由已知结合图象的对称性，有 ，解得 11分 . 12分 考点： 1.三角函数式的求解； 2.函数的对称性； 3.三角函数图象的变换； 4.等比中项 . 定议在 上的单调函数 满足 ，且对任意 都有（ 1）求证： 为奇函数； （ 2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1）详见：（ 2） . 试题分析：（ 1）赋值法求解 ，再寻找 之间的关系；（ 2）先研究函数的单调性，再利用奇偶性化为 ，即对任意的 恒成立，再转化为二次函数知识求解 .本题考查了恒成立问题以及化归与转化思想 . 试题：（ 1）证明： 令 ，代入 式，得 即 令 ，代入 式，
13、得 ，又 则有 即 对任意 成立， 所以 是奇函数 . 4分 （ 2）解： ，即 ，又 在 上是单调函数， 所以 在 上是增函数 . 又由（ 1） 是奇函数 . 对任意 成立 . 令 ，问题等价于 对任意 恒成立 . 8分 令 其对称轴 . 当 时，即 时， ，符合题意； 当 时，对任意 恒成立 解得 12分 综上所述当 时， 对任意 恒成立 . 考点： 1.函数奇偶性的证明； 2.二次函数恒成立问题； 3.化归与转化思想 . 已知函数 图象上一点 处的切线方程为. （ 1）求 的值； （ 2）若方程 在 内有两个不等实根，求 的取值范围（其中为自然对数的底数）；（ 3）令 ，若 的图象与 轴
14、交于（其中 ）， 的中点为 ，求证： 在 处的导数 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）属于简单题，利用函数在 的导数值为斜率求解；（ 2）转化为函数 与 轴有 2个交点，进来转化为求函数的最大值与最小值问题，利用导数判函数的单调性满足 即可；（ 3）利用反证法求解，假设 成立，由条件满足 ，利用第1、 2个条件求解 值，结合第 4个条件得到 ，再利用函数的单调性充分证明假设错误，进而得证 在 处的导数 . 试题：（ 1） 且 解得 3分 （ 2） ，令 则 令 ，得 舍去 ). 当 时， 是增函数； 当 时， 是减函数； 5分 于是方程 在 内有两个不等实根的充要条件是： . 即 9分 （ 3）由题意 假设结论成立，则有： 11分 - ，得 由 得 即 ，即 13分 令 则 在（ 0， 1）增函数， 式不成立，与假设矛盾 . 14分 考点： 1.利用导数判函数的单调性； 2.函数的最值求解； 3.反证法思想 .
