1、2014届山东省烟台市高三上学期期末考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ，集合 ， ，则 等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 ， ， ， 所以， = .选 D. 考点：集合的运算 已知函数 满足 ，且 是偶函数，当 时，若在区间 内，函数 有三个零点，则实数 k的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 函数 满足 ，故有 ，故 是周期为 2的周期函数又 是偶函数，当 时， ， 所以当 时， ，故当 时， ，当 x 1， 3时，由于函数 有三个零点，故函数 的图象与直线 有三个交点，如图所示： 把点 代入 ，可得 ，将 代入 得 ，数形结合可得
2、实数 k的取值范围是 ，故选 C. 考点：函数的零点，函数的奇偶性，直线的斜率 . 若双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则此双曲线的离心率等于（ ） A 2 B 3 C D 9 答案： B 试题分析：由题意双曲线 的一条渐近线方程为 ， 代入抛物线方程 整理得 ， 因渐近线与抛物线相切， ， 即 ， 此双曲线的离心率 故选 B. 考点：双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系 . 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A B 9 C D 27 答案： B 试题分析：由三视图可得该几何体是一个三棱锥，底面是等腰三角形，底边长为 ，高为 ，三棱锥的高为 ，所以 ，选 B. 考点：三
3、视图，几何体的体积 . 设变量 x， y满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据 ,画出可行域（如图），直线 .平移直线可知当其经过点 时， 取到最大值 4，当其经过与 的交点 时， 取到最小值 ，即实数的取值范围为 ，选 D. 考点：简单线性规划的应用 . 函数 的图象的大致形状是（ ） 答案： D 试题分析：因为 ，且 ，所以根据指数函数的图象和性质， 函数为减函数，图象下降； 函数是增函数，图象逐渐上升，故选 D. 考点：分段函数，指数函数的图象和性质 . 已知直线 l 平面 ，直线 平面 ，则下列四个结论： 若 ，则 若 ，则 若 ，则 若 ，
4、则 其中正确的结论的序号是：（ ） A B C D 答案： C 试题分析：已知直线 l 平面 ，直线 平面 ，若 ，则 l 平面 ，所以 ， 正确； 已知直线 l 平面 ，直线 平面 ，若 ，则 l 平面 ，所以 或相交或 异面， 不正确； 已知直线 l 平面 ，直线 平面 ，若 ，则 平面 ，所以 ， 正确； 已知直线 l 平面 ，直线 平面 ，若 ，则 仅垂直于平面 内的一条直线，所以 不一定成立， 不正确； 综上知选 C. 考点：平行关系，垂直关系 . 函数 的零点所在的区间是（ ） A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3.4) 答案： B 在 ABC中，若 ，则 A=
5、（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由 ， 整理得， 又 ，选 C. 考点：对数及其运算，余弦定理的应用 . 设平面向量 ， ，若 ，则 等于（ ） A 4 B 5 C D 答案： D 试题分析：平面向量 ， ，且 ，所以 ，选 D. 考点：平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、模 . 下列四个函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 对称的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为最小正周期为 ，即 .又图象关于直线 对称，所以将 代入函数式，应得到最值，验证知 ，故选 D. 考点：三角函数的图象和性质 若 ， ， ，则（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ，
6、所以 ，选 A. 考点：指数函数、对数函数的性质 填空题 给出以下四个结论： 函数 的对称中心是 若不等式 对任意的 x R都成立，则 ； 已知点 与点 Q(l,0)在直线 两侧，则 ； 若将函数 的图像向右平移 个单位后变为偶函数，则 的最小值是 其中正确的结论是 _（写出所有正确结论的编号） 答案： 试题分析：因为函数 的对称中心是 故 错误； 不等式 对任意的 x R都成立，显然 符合题意，故 不正确； 点 与点 Q(l,0)在直线 两侧，则 即 故 正确； 若将函数 的图像向右平移 个单位后变为偶函数，则当 时， 的最小值是 ，故 正确 . 综上知答案：为 . 考点：函数图像的对称性，
7、二元一次不等式表示平面区域，三角函数图像的平移 . 设等差数列 的前 n项和为 Sn， ，则正整数 m的值为 _ 答案： 试题分析：因为等差数列 的前 n项和为 Sn， ， 所以 ，数列的公差 . 由 ，得正整数 m的值为 5. 考点：等差数列的求和公式 若直线 与 x轴相交于点 A，与 y轴相交于点 B，且以坐标原点为圆心以 为半径的圆与直线 l相切，则 AOB面积为 _ 答案： 试题分析：依题意圆的方程为 ，因为直线 与圆相切， 所以 ，又直线 与 x 轴相交于点 A ，与 y轴相交于点 B ，所以 AOB面积为 . 考点：圆的方程，点到直线的距离公式，直线的截距 . 函数 的定义域为 _
8、. 答案： 试题分析：为使 有意义，须 解得 ，所以函数 的定义域为 考点：函数的定义域，对数函数的性质，简单不等式的解法 . 解答题 在平面直角坐 标系中，角 ， 的始边为 x轴的非负半轴，点 在角 的终边上，点 在角 的终边上，且 (1)求 (2)求 P， Q 的坐标并求 的值 答案：（ 1） . （ 2） . 试题分析：（ 1）由 可得 利用二倍角的余弦公式即得 . （ 2）利用二倍角的余弦公式 ，得出 ， . 从而得到 ， ， 利用任意角的三角函数定义得 ， ， ， 应用两角和的正弦公式即得所求 . 试题：（ 1） ， 2分 ， . 5分 （ 2）由（ 1）得： ， ， 7分 ， ，
9、9分 ， ， ， ， 11分 12分 考点：任意角的三角函数，和差倍半的三角函数 . 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是直角梯形， ， DC=1， AB=2， PA 平面 ABCD， PA=1 (1)求证： AB 平面 PCD； (2)求证： BC 平面 PAC； 答案： (1)证明见； (2)证明：见 . 试题分析： (1)由直线与平面平行的判定定理即得 . (2)注意到在直角梯形 ABCD中，过 C作 CE AB于点 E，四边形 ADCE为矩形 利用勾股定理计算三角形的边长，进一步得到 再根据 平面 ，即可得出 平面 . 试题： (1)证明： ，且 平面 ， 平面 . 平面
10、. 5分 (2)证明：在直角梯形 ABCD中，过 C作 CE AB于点 E，则四边形 ADCE为矩形 ，又 ，在 ， 所以 ，则 ， 9分 又 平面 ， ， 平面 12分 考点：直线与平面平行，勾股定理，垂直关系 . 已知数列 的前 n项和为 , (1)求证：数列 为等差数列； (2)设数列 的前 n项和为 Tn，求 Tn 答案：（ 1）由 ，即得数列 为等差数列；（ 2） . 试题分析：（ 1）由 ， 得到 即 ，作出结论 . （ 2）由（ 1）得： ， 得到 ， ， 从而 利用 “裂项相消法 ”求和 . 试题：（ 1）由题意可得： ， 3分 即： ， 所以数列 为等差数列； 6分 （ 2）
11、由（ 1）得： ， ， 9分 ， 12分 考点：等差数列的概念， “裂项相消法 ”. 近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场 185种适销工业品和 42种滞销产品的参考目录。为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量 P万件（生产量与销售量相等）与促销费用 x 万元满足 （其中 ，a 为正常数）；已知生产该产品还需投入成本（ 10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为 万元万件 (1)将该产品的利润 y万元表示为促销费用 x万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润是大？ 答案：（ 1） ，（ ）
12、. （ 2）当 时 ,促销费用投入 1万元时，厂家的利润最大 ; 当 时 ,促销费用投入 万元时，厂家的利润最大 . 试题分析：（ 1）由题意得到 ， 将 代入化简即得 ，（ ） . （ 2）将原函数变形，应用基本不等式， 当且仅当 时，上式取等号 .根据 ，讨论 ， ,的不同情况，确定最 大利润 . 试题：（ 1）由题意知， ， 将 代入化简得： ，（ ）， 6分 （ 2） ， 当且仅当 时，上式取等号 . 9分 当 时 ,促销费用投入 1万元时，厂家的利润最大 ; 当 时 , 在 上单调递增 ,所以在 时 ,函数有最大值促销费用投入 万元时，厂家的利润最大 . 综上述 ,当 时 ,促销费用
13、投入 1万元时，厂家的利润最大 ; 当 时 ,促销费用投入 万元时，厂家的利润最大 . 12分 考点：函数的应用问题，基本不等式 . 已知 是二次函数，不等式 的解集是 ，且 在点处的切线与直线 平行 (1)求 的式； (2)是否存在 t N*，使得方程 在区间 内有两个不等的实数根？ 若存在，求出 t的值；若不存在，说明理由 答案：（ 1） . （ 2）存在唯一的自然数 ，使得方程 在区间 内有且只有两个不等的实数根 . 试题分析：（ 1）根据 是二次函数，及不等式 的解集是 ， 可设 ， . 再根据函数在切点的斜率就是该点处的导函数值，可建立 方程 ，解得 . （ 2）首先由（ 1）知，方
14、程 等价于方程 . 构造函数 ，通过 “求导数、求驻点、讨论导数值的正负 ”明确函数的单调区间，通过计算， 认识方程有实根的情况 . 试题：（ 1） 是二次函数，不等式 的解集是 ， 可设 ， . . 2分 函数 在点 处的切线与直线 平行， . ，解得 . . 5分 （ 2）由（ 1）知，方程 等价于方程 6分 设 ， 则 . 7分 当 时， ，函数 在 上单调递减； 当 时， ，函数 在 上单调递增 . 9分 ， 方程 在区间 ， 内分别有唯一实数根，在区间 内没有实数根 . 12分 存在唯一的自然数 ，使得方程 在区间 内有且只有两个不等的根 . 13分 考点：二次函数，导数的几何意义，
15、应用导数研究函数的单调性 . 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点 (1)求椭圆方程； (2)设椭圆与直线 相交于不同的两点 M、 N，又点 ，当时，求实数 m的取值范围， 答案：（ 1） . （ 2） 时， 的取值范围是 ； 时， 的取值范围是 试题分析：（ 1）由已知，可得 ， ， 利用 ，即得 ， ，求得椭圆方程 . （ 2）应注意讨论 和 的两种情况 . 首先当 时，直线和椭圆有两交点只需 ； 当 时，设弦 的中点为 分别为点 的横坐标， 联立 ，得 , 注意根据 ，确定 平时解题时，易忽视这一点 . 应用韦达定理及中点坐标公式以及 得到 ， 将 代入 得 ，解得 ， 由 得 ， 故所求的 取值范围是 . 试题：（ 1）由已知，可得 ， ， ， ， ， . 4分 （ 2）当 时，直线和椭圆有两交点只需 ； 5分 当 时，设弦 的中点为 分别为点 的横坐标，由，得 , 由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以 ，即 7分 9分 又 ， 10分 将 代入 得 ，解得 ， 由 得 ， 故所求的 取值范围是 . 12分 综上知， 时， 的取值范围是 ； 时， 的取值范围是 13分 考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，不等式解法 .
