1、2014届山东省青岛市高三 4月统一质量检测考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ， 所以 .选 . 考点：集合的运算 ,简单不等式的解法 . 已知偶函数 满足 ，且当 时， ，则关于 的方程 在 上根的个数是（ ） A 个 B 个 C 个 D 答案： B 试题分析：由题意可得， .即函数 为周期为 的周期函数，又 是偶函数， 所以，在同一坐标系内，画出函数 ， 的图象，观察它们在区间 的交点个数，就是方程 在 上根的个数，结合函数图象的对称性，在 轴两侧，各有 个交点，故选 . 考点：函数的奇偶性、周期性，函数的图象，函数
2、的零点 . 已知三棱锥 中， ， ， ， ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：如图所示，由已知， 平面 ， 所以， , 取 的中点 ，由直角三角形的性质， 到 的距离均为 ，其即为三棱锥的外接球球心，故三棱锥的外接球的表面积为 ，选 . 考点：垂直关系，球的表面积 已知点 与点 在直线 的两侧，且 ， 则的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由已知， ，画出可行域，如图所示 . 表示可行域内的点 与定点 连线的斜率， 观察图形可知 的斜率最大为 ，故选 . 考点：简单线性规划的应用，直线的斜率计算公式 . 设 则二项式 的展开式中 的系
3、数为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ，其展开式通项为 令 ，所以，二项式 的展开式中 的系数为 . 故选 考点：定积分，二项式定理 . 如图是一个算法的流程图若输入 的值为 ，则输出 的值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，执行程序， ，不满足 ， 执行程序， ，不满足 ， 执行程序， ，满足 ，输出 故选 . 考点：算法与程序框图 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 与圆相交于 两点， 若点 在圆 上，则实数（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设 ，将直线方程代人 ， 整理得， ， 所以， ， . 由于点 在圆 上，所以， ， 解得， ，故选
4、 . 考点：直线与圆的位置关系，平面向量的坐标运算 . 函数 （ )的图象如图所示，则的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由已知， ，所以 ， 将 代人得， ，所以， ， ，故选 . 考点：正弦型函数，三角函数诱导公式 . 数列 为等差数列， 为等比数列， ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：设公差为 ，由已知， ，解得 ， 所以， ，故选 . 考点：等差数列、等比数列 . 已知 （ ），其中 为虚数单位，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： ,即 所以， ，解得 ， 所以， ，选 . 考点：复数的四则运算，复数的相等 . 填空题 对于下列命题：
5、函数 在区间 内有零点的充分不必要条件是 ； 已知 是空间四点，命题甲： 四点不共面，命题乙：直线 和 不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件； “ ”是 “对任意的实数 ， 恒成立 ”的充要条件； “ ”是 “方程 表示双曲线 ”的充分必要条件其中所有真命题的序号是 . 答案： 试题分析：函数 在区间 内有零点，即， 解得， ；由 知， 是真命题； 对于 已知 是空间四点，命题甲： 四点不共面，命题乙：直线 和 不相交，则甲 乙，反之，乙推不出甲， 是真命题； 由于 所以， 恒成立；反之，时，不一定 ， 是假命题； 方程 表示双曲线等价于方程 ，故 是真命题 . 故答案：为 . 考点：充要条件
6、，函数零点存在定理，绝对值不等式的性质，双曲线 . 在某班进行的演讲比赛中，共有 位选手参加，其中 位女生， 位男生 .如果 位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 . 答案： 试题分析： 若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有 种 若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将 剩余的 个女生排列好， 个男生插空，方法有 种 故所有的出场顺序的排法种数为 . 考点：排列组合 . 已知 ，以 为邻边的平行四边形的面积为 ，则 和 的夹角为 . 答案： 或 试题分析：由已知得， ， 所以， ， 和 的夹角为 或 . 考点：平面向量的数量积、夹
7、角、模，平行四边形的面积 . 已知 与 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到 的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为，其中 的值没有写上当 不小于 时，预测 最大为 . 答案： 试题分析：由已知， ， ， 所以 ， ，当 时， ，预测 最大为. 考点：回归直线方程及其应用 抛物线 的焦点坐标为 . 答案： 试题分析： 即 ，所以，抛物线 的焦点坐标为 . 考点：抛物线的几何性质 . 解答题 已知函数 ， （ 1）求函数 的最小正周期和单调递减区间； （ 2）已知 中的三个内角 所对的边分别为 ，若锐角 满足，且 ， ，求 的面积 答案：（ 1）最小正周期为
8、，单调递减区间是 ，； （ 2） . 试题分析：（ 1）首先应用三角函数公式，化简得到 ，从而得到 其最小正周期为 ，由复合函数的单调性，由 解得， 函数 的单调递减区间是 ， ； （ 2）由已知 ，根据 ，求得 由正弦定理可得 ； 应用余弦定理 得： ， 求得 ，应用三角形面积计算公式即可得解 . 解得本题，巧妙地利用 “整体观 ”，确定 及 ，简化了解题过程 . 试题：（ 1） 2分 的最小正周期为 3分 由 得： ， ， 的单调递减区间是 ， 6分 （ 2） ， ， 7分 ， 由正弦定理得： ， 即 ， 9分 由余弦定理 得： ， 即 ， 11分 12分 考点：三角函数式的化简，三角函数
9、的性质，正弦、余弦定理的应用，三角形面积公式 . 某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了 名学生作为志愿者，参加相关的活 动事宜学生来源人数如下表： 学院 外语学院 生命科学学院 化工学院 艺术学院 人数 （ 1）若从这 名学生中随机选出两名，求两名学生来自同一学院的概率； （ 2）现要从这 名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次公益活动的主题设其中来自外语学院的人数为 ，令 ，求随机变量 的分布列及数学期望 . 答案：（ 1）两名学生来自同一学院的概率为 （ 2） 的分布列为 . 试题分析：（ 1）设 “两名学生来自同一学院 ”为事件 ， 利用 计算即得； （ 2）根据 的可能取值是
10、 ，得到对应的 可能的取值为 ， ， 计算 , , , 即得 的分布列，应用数学期望计算公式，得到 . 解答本题，关键是概率的计算过程，综合应用事件的互斥、独立关系，避免各种情况的遗漏 . 试题：（ 1）设 “两名学生来自同一学院 ”为事件 ， 则 即两名学生来自同一学院的概率为 4分 （ 2） 的可能取值是 ，对应的 可能的取值为 ， ， , , , 10分 所以 的分布列为 11分 所以 . 12分 考点：古典概型，互斥事件、独立事件概率的计算，随机变量的分布列及数学期望 . 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，已知 ， 为线段 的中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求二面角
11、 的平面角的余弦值 . 答案：证明：（ 1）见；（ 2）二面角 的平面角的余弦值为 . 试题分析：证明：（ 1）注意做辅助线，连结 和 交于 ，连结 ， 根据 为 中点， 为 中点，得到 ， 即证得 平面 ； （ 2）应用已知条件，研究得到 ， 平面 ， ，创造建立空间直角坐标系的条件，通过 以 为原点，以 为 轴建立如图所示的坐标系， 应用 “向量法 ”解题； 解答本题的关键是确定 “垂直关系 ”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从 “非规范几何体 ”，探索得到建立空间直角坐标系的条件 . 试题：证明：（ 1）连结 和 交于 ，连结 ， 1分 为正方形， 为 中点，
12、为 中点， ， 3分 平面 ， 平面 平面 4分 （ 2） 平面 ， 平面 ， ， 为正方形， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 6分 以 为原点，以 为 轴建立如图所示的坐标系， 则 ， ， ， 已知数列 中， ， ，记 为 的前 项的和， （ 1）判断数列 是否为等比数列，并求出 ； （ 2）求 . 答案：（ 1） 是公比为 的等比数列， ； （ 2） . 试题分析：（ 1）根据已知条件，注意研究 ，做出准确判断； 由 ， ，得到 ； （ 2）由（ 1）可知 ，明确 是以 为首项，以 为公比的等比数列； 是以 为首项，以 为公比的等比数列，应用 “分组求和法 ”，计算等比数列的和。 解得本
13、题的关键是确定数列的基本特征 . 试题：（ 1） ， ， ，即 2分 ， 所以 是公比为 的等比数列 . 5分 ， ， 6分 （ 2）由（ 1）可知 ，所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列； 是以 为首项，以 为公比的等比数列 10分 12分 考点：等比数列的通项公式及其求和公式 . 已知动圆 与圆 相切，且与圆 相内切，记圆心 的轨迹为曲线 ；设 为曲线 上的一个不在 轴上的动点， 为坐标原点，过点 作 的平行线交曲线 于 两个不同的点 . （ 1）求曲线 的方程； （ 2）试探究 和 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由； （ 3）记 的面积为 ， 的面积为 ，
14、令 ，求 的最大值 . 答案：（ 1）圆心 的轨迹 ： ； （ 2） 和 的比值为一个常数，这个常数为 ； （ 3）当 时， 取最大值 . 试题：（ 1）设圆心 的坐标为 ，半径为 由于动圆 与圆 相切，且与圆 相内切，所以动 圆 与圆 只能内切 2分 圆心 的轨迹为以 为焦点的椭圆，其中 ， 故圆心 的轨迹 ： 4分 （ 2）设 ，直线 ，则直线由 可得： ， 6分 由 可得： 8分 和 的比值为一个常数，这个常数为 9分 （ 3） ， 的面积 的面积， 到直线 的距离 11分 令 ，则 （当且仅当 ，即 ，亦即 时取等号） 当 时， 取最大值 相关试题 2014届山东省青岛市高三 4月统一
15、质量检测考试理科数学试卷（带） 已知函数 ， 满足 ，且， 为自然对数的底数 （ 1）已知 ，求 在 处的切线方程； （ 2）若存在 ，使得 成立，求 的取值范围； （ 3）设函数 ， 为坐标原点，若对于 在 时的图象上的任一点 ，在曲线 上总存在一点 ，使得 ，且 的中点在 轴上，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）应用导数的几何意义，求导数，求斜率，确定切线方程； （ 2）由已知确定 ； 根据 得： ，只需 应用导数，求函数 ， ，的最大值即得解； （ 3）设 为 在 时的图象上的任意一点，可得 ， 由于 ，得到 ， 的情况，求得 的取值范围 . 方法比较明确，分类讨论、转化与化归思想的应用，是解决问题的关键 . 试题：（ 1） ， ， 在 处的切线方程为： ，即 4分 （ 2） ， ，从而 5分 由 得： 由于 时， ，且等号不能同时成立，所以 ， 从而 ，为满足题意，必须 6分 设 ， ，则 ， ， 从而 ， 在 上为增函数， 所以 ，从而 9分 （ 3）设 为 在 时的图象上的任意一点，则 的中点
