1、2014届山东省青岛市高三统一质量检测考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 ，则 （ ） A B 或 C D 答案： C 试题分析：因为 ， 所以 .选 . 考点：集合的运算 ,简单不等式的解法 . 在实数集 中定义一种运算 “ ”，对任意 ， 为唯一确定的实数，且具有性质： （ 1）对任意 ， ； （ 2）对任意 ， . 则函数 的最小值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：依题意可得，当且仅当 时“=”成立，所以函数 的最小值为 ， 选 . 考点：基本不等式，新定义问题 . 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则能得出 的是（ ） A ， ， B ， ， C ，
2、 ， D ， ， 答案： C 试题分析：由 ， ， ，有可能 ，不一定得到 ， 不正确； 由 ， ， 可得 ， 不正确； 由 ， ， 可得 ， 垂直于平面 内的任意直线，所以， 正确； 由 ， ， 可得 ， 或 是异面直线，不一定 ，故选 . 考点：平行关系，垂直关系 . 已知实数 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ） A B C D答案： A 试题分析：画出可行域（如图）及直线 . 平移直线 可以发现，当直线经过点 时， 的最小值是 ，故选 . 考点：简单线性规划 函数 在区间 内的零点个数是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由指数函数、幂函数的性质可知， 在区间 内单调递增，且
3、 ，所以 ， 函数 在区间 内有唯一一个零点，故选 考点：函数零点存在定理，函数的单调性 . 函数 图象的一条对称轴方程可以为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 即 ，其图像的对称轴处，函数取到最值， 即 故选 . 考点：三角函数的倍半公式，三角函数的图像和性质 . 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，满足 ，执行循环体； ， 满足 ； ， 满足 ， ， 满足 ， ， 不满足 ，退出循环，输出 故选 . 考点：算法与程序框图 双曲线 的渐近线方程为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 得 ，所以渐近线方程为 ，故选.
4、考点：双曲线的几何性质 . 右图是一容量为 的样本的重量的频率分布直方图，样本重量均在内，其分组为 ， ， ，则样本重量落在 内的频数为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线横坐标 . 设中位数为 ，则 将频率分布直方图分成两个面积相等部分，则有，所以 = . 考点：频率分布直方图 已知向量 , , ,则 “ ”是 “ ”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析： 由已知， .若 ，则 ， 成立； 若 ，则 ， 所以 “ ”是 “ ”的充要条件，选 . 考点：平面
5、向量的平行，充要条件 . 填空题 已知函数 ，若对任意的 ，不等式恒成立，则实数 的取值范围为 . 答案： 或 试题分析：观察 的图象可知，当 时，函数 ； 对任意的 ，不等式 恒成立，即 所以， 解得 或 ， 故答案：为 或 考点：分段函数，对数函数、二次函数的性质，一元二次不等式的解法 . 如图所示是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为 . 答案： 试题分析：观察三视图可知，该四棱锥底面为直角梯形，有一侧面垂直于底面，几何体高为 ，几何体体积为 ,故答案：为 考点：三视图，几何体的体积 . 直线 被圆 截得的弦长为 . 答案： 试题分析：由圆的方程 ，得到圆心 ，半径 圆心到直线 的距离
6、为 所以直线 被圆 截得的弦长为 . 考点：直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，勾股定理 . 从等腰直角 的底边 上任取一点 ，则 为锐角三角形的概率为 . 答案： 试题分析：在等腰直角 中，设腰长为 ，则 长为 ， 在 上取中点 ，则若 点在线段 上，能使 为锐角三角形 ， = ， 为锐角三角形的概率为 故答案：为 . 考点：几何概型 复数 （其中 为虚数单位）的虚部为 . 答案： 试题分析：因为 ，所以其虚部为 考点：复数的四则运算，复数的概念 . 解答题 在 中 , 分别是角 的对边，且 . （ 1）求 的大小 ;（ 2）若 ， ,求 的面积 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题
7、分析：（ 1）由 可变形得到， ，即 ，根据 即得所求 . （ 2）分析已知条件，注意应用余弦定理得到 ，求得 . 解得本题，巧妙地利用 “整体观 ”，简化了解题过程 . 试题：（ 1）由 得： 2分 ， 4分 ，又 6分 （ 2）由余弦定理得： ， 8分 又 ， ， 10分 12分 考点：同角公式，两角和的三角函数，余弦定理的应用，三角形面积公式 . 某公司销售 、 、 三款手机，每款手机都有经济型和豪华型两种型号，据统计 月份共销售 部手机（具体销售情况见下表） 款手机 款手机 款手机 经济型 豪华型 已知在销售 部手机中，经济型 款手机销售的频率是 . （ 1）现用分层抽样的方法在 、
8、、 三款手机中抽取 部，求在 款手机中抽取多少部？ （ 2）若 ，求 款手机中经济型比豪华型多的概率 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由分层抽样的定义有 ，得到 ，所以计算可得手机总数 ，从而有 部 . （ 2）设 “ 款手机中经济型比豪华型多 ”为事件 ， 款手机中经济型、豪华型手机数记为 ， 根据 ， ，确定满足事件 的基本事件有 个 事件 包含的基本事件为 7个，由古典概型概率的计算公式得解 . 解答本题，关键是事件数的计算，此类问题，常常借助于树图法或坐标法，避免各种情况的遗漏 . 试题：（ 1） 因为 ，所以 2分 所以手机 的总数为： 3分 现用分层抽样的方法
9、在在 、 、 三款手机中抽取 部手机，应在 款手机中抽取手机数为： （部） . 5分 （ 2）设 “ 款手机中经济型比豪华型多 ”为事件 ， 款手机中经济型、豪华型手机数记为 ， 因为 ， ，满足事件 的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 个 事件 包含的基本事件为 ， ， ， ， ， 共 7个 所以 即 款手机中经济型比豪华型多的概率为 12分 考点：分层抽样，典概型概率的计算 . 如图几何体中 ,四边形 为矩形， ， ， ， 为 的中点， 为线段上的一点，且 . （ 1）证明： 面 ； （ 2）证明：面 面 ； （ 3）求三棱锥 的体积 . 答案：（ 1）见；（ 2）
10、 . 试题分析：（ 1）连接 交 于 点，得知 为 的中点，连接 根据点 为 中点，利用三角形中位线定理，得出 ，进一步得到 面 . （ 2）首先探究几何体中的线面、线线垂直关系，创造建立空间直角坐标系的条件，应用 “向量法 ”，确定二面角的余弦值 . 解答本题的关键是确定 “垂直关系 ”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从 “非规范几何体 ”，探索得到建立空间直角坐标系的条件 . 试题：（ 1）连接 交 于 点，则 为 的中点，连接 因为点 为 中点，所以 为 的中位线， 所以 2分 面 ， 面 ， 所以 面 4分 （ 2）取 中点 ， 的中点 ，连接 ，则 ， 所以
11、 共面 作 于 ， 于 ，则 且 ， 和 全等， 和 全等， ， 为 中点， 又 ， ， 面 ， 面 6分 以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系如图所示，则 ， ，设 ，则 ， 已知 是等差数列，公差为 ，首项 ，前 项和为 .令, 的前 项和 .数列 满足， . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）若 ， ，求 的取值范围 . 答案： (1) ； (2) . 试题分析： (1)首先设等差数列的公差为 ，由已知建立 的方程，求得 ，写出等差数列的通项公式 . (2) 首先由 (1)知 ，利用 “差比法 ”得到： ，由 可得等价不等式， “分离参数 ”得 ，转化成确定 的最小值问题 . 试题
12、： (1)设等差数列的公差为 ，因为 所以 则 3分 则 解得 所以 6分 (2) 由 (1)知 由 10分 因为 随着 的增大而增大，所以 时， 最小值为 所以 12分 考点：等差数列的通项公式及其求和公式， “差比法 ”， “分离参数法 ”，数列的性质 . 已知椭圆 与 的离心率相等 . 直线 与曲线 交于 两点（ 在 的左侧），与曲线 交于两点（ 在 的左侧） , 为坐标原点， （ 1）当 = ， 时，求椭圆 的方程； （ 2）若 ，且 和 相似，求 的值 答案：（ 1） 的方程分别为 ， （ 2） . 试题分析：（ 1）由于已知中明确了曲线方程的形式，所以，关键是建立 “待定系数 ”.
13、由已知建立方程组即可得解 . （ 2）由于三角形相似，因此要注意利用对应边成比例，并结合，建立 的方程 .将 与方程 ，联立可得 在坐标关系 利用 ，得到 . 根据椭圆的对称性可知： ， ，又 和 相似，得到， 于是从 出发，得到 ，即的方程 . 试题： （ 1） 的离心率相等， , ， 2分 ，将 分别代入曲线 方程， 由 ， 由 . 当 = 时， , 又 , . 由 解得 . 的方程分别为 ， 5分 （ 2）将 代入曲线 得 将 代入曲线 得 ， 由于 ， 所以 , ， ， ， ， 8分 根据椭圆的对称性可知： ， ， 又 和 相似， ， ， 由 化简得 代入 得 13分 考点：椭圆的几何
14、性质，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的数量积 . 已知函数 . （ 1）当 时，求曲线 在点 的切线方程； （ 2）对一切 , 恒成立 ,求实数 的取值范围； （ 3）当 时，试讨论 在 内的极值点的个数 . 答案： (1) ； (2)实数 的取值范围为 ； (3)当 ， 在 内的极值点的个数为 1；当 时 , 在 内的极值点的个数为 0. 试题分析： (1)切点的导函数值，等于过这点的切线的斜率，由直线方程的点斜式即得所求 . (2)由题意 : ,转化成 ，只需确定 的最大值 . 设 ,利用导数研究其最大值 . (3)极值点处的导函数值为零 . 问题可转化成研究 在 内零点的个数 . 注
15、意到 ， ，因此，讨论 ， 时，在 内零点的个数，使问题得解 . 本题主要考查导数的应用，方法比较明确，分类讨论、转化与化归思想的应用，是解决问题的关键 . 试题： (1) 由题意知 ,所以 又 ， 所以曲线 在点 的切线方程为 4分 (2)由题意 : ,即 设 ,则 当 时 , ；当 时 , 所以当 时， 取得最大值 故实数 的取值范围为 . 9分 (3) ， ， 当 时 , 存在 使得 因为 开口向上，所以在 内 ,在 内即 在 内是增函数 , 在 内是减函数 故 时， 在 内有且只有一个极值点 , 且是极大值点 . 11分 当 时 ,因 又因为 开口向上 所以在 内 则 在 内为减函数，故没有极值点 13分 综上可知：当 ， 在 内的极值点的个数为 1；当 时 , 相关试题 2014届山东省青岛市高三统一质量检测考试文科数学试卷（带）
