1、2014届广东省中山市实验高中高三 11月阶段考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ， ， ，则 等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， ，所以 ，故，选 D. 考点：集合的基本运算 已知 、 是圆 上的两个点， 是 线段上的动点，当的面积最大时，则 的最大值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，故当 时，的面积取最大值， ，故 为等腰三角形，且，由于点 在线段 上，则存在 ，使得 ， ，故当 时， 取最大值 . 考点： 1.平面向量的数量积； 2.平面向量的线性表示； 3.二次函数的最值 如图所示，直线 垂直于 所在的平面， 内接于 ，且 为 的直径
2、，点 为线段 的中点 .现有结论： ； 平面； 点 到平面 的距离等于线段 的长 .其中正确的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：对于结论 ，由于 是以 为直径的圆 上一点，所以 ，因为 平面 ，于是可以得到 ，结合直线与平面垂直的判定定理可以得到 平面 ，因此 ，所以结论 正确；对于结论 ，由于 、 分别为 、 的中点，由中位线原理可知 ，利用直线与平面平行的判定定理可以得到 平面 ，所以结论 正确；对于结论 ，由结论 知， 平面 ，所以结论 正确，故选 B. 考点： 1.直线与平面垂直； 2.直线与平面平行 数列 的首项为 ， 为等差数列且 .若 ， ，则 （ ） A B C
3、D 答案： B 试题分析：设等差数列 的公差为 ，则 ， ，所以 ，选 B. 考点：累加法求数列通项 已知 ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，平方得， ，所以 ，选 C. 考点：平面向量的数量积 函数 的图象与 轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意知，函数 的图象与 轴所围成的封闭图形的面积为，故选 A. 考点： 1.分段函数； 2.定积分 如图所示，该程序运行后输出的结果为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：第一次循环， ， ， 不成立； 第二次循环， ， ， 不成立； 第三次循环， ， ， 不成立； 第七
4、次循环， ， ， 成立，跳出循环体，输出，故选 A. 考点：算法与程序框图 复数 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，选 A. 考点：复数的乘法运算 填空题 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 _. 答案： . 试题分析：由题意知 ， 所以 ， 下式减上式得 . 考点：错位相减求和 在 中， ， ， ，则 的值为 _. 答案： . 试题分析：由余弦定理得 ，即，整理得 ，由于 ，解得 ，由正弦定理得. 考点： 1.余弦定理； 2.正弦定理 下列命题中所有真命题的序号是 _. “ ”是 “ ”的充分条件； “ ”是 “ ”的必要条件； “ ”是 “ ”的充要条件 . 答案： 试题分
5、析：对于命题 ，取 ， ，则 ，且 ， ，则“ ”不是 “ ”的充分条件；对于命题 ，由 ，可得 ，故有 ，故 “ ”是 “ ”的必要条件，命题 正确；对于命题 ，在不等式 两边同时加上 得 ，另一方面，在不等式 两边同时减去 得 ，故 “ ”是 “ ”的充要条件，命题 正确，故真命题的序号是 . 考点： 1.不等式的性质； 2.充分必要条件 曲线 在点 处的切线方程为 _. 答案： 或 . 试题分析： ，所以 ，当 时， ，故曲线 在点处的切线方程为 ，即 或 . 考点： 1.复合函数的导数； 2.利用导数求函数的切线方程 一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图都是半径为 的圆，
6、且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为 _. 答案： . 试题分析：由三视图知，该几何体是一个球体中切去 部分所形成的几何体，该几何体的表面由两个球的大圆的一半和原来球的表面的 组成，故该几何体的表面积 . 考点： 1.三视图； 2.空间几何体的表面积 某社区有 个家庭，其中高收入家庭 户，中等收入家庭 户，低收入家庭 户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 . 答案： . 试题分析：设在中等收入家庭应抽取的户数为 ，则. 考点：分层抽样 解答题 设 ，其中 ，曲线 在点 处的切线垂直于 轴 . （ 1）求 的值； （
7、 2）求函数 的极值 . 答案：（ 1） ；（ 2） 在 处取得极大值 . 试题分析：（ 1）求出函数 的导数，将题中的条件 “曲线 在点处的切线垂直于 轴 ”转化得到 ，从而求出参数 的值；（ 2）在（ 1）的基础上求出函数 的式，利用导数求出函数 的极值即可 . 试题：（ 1） ， ， 由于曲线 在点 处的切线垂直于 轴，故该切线斜率为 ，即， ； （ 2）由（ 1）知， ， ， 令 ，故 在 上为增函数； 令 ，故 在 上为减函数； 故 在 处取得极大值 . 考点： 1.导数的几何意义； 2.函数的极值 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 为侧棱 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如
8、图所示 . （ 1）证明： 平面 ； （ 2）在 的平分线上确定一点 ，使得 平面 ，并求此时 的长 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）先利用三视图将几何体进行还原，证明 平面 ，要证明 垂直于平面 内的两条相交直线，由正视图可以知道 为等腰三角形，且 为底边 的中点，利用三线合一可以得到 ，再利用， 结合直线与平面垂直的判定定理证明 平面 ，于是得到 ，最终利用直线与平面垂直的判定定理得到 平面 ；（ 2）注意到点 为 的中点，因此可以以 、 为邻边构造平行四边形，连接 交 于点 ，利用中位线证明 ，再结合直线与平面平行的判定定理可以得到 平面 ，最终利用勾股定理求
9、 的长度 . 试题：（ 1）因为 平面 ，所以 ， 又 ，所以 平面 ，所以 由三视图得，在 中， ， 为 中点，所以 ，平面 ； （ 2）取 的中点 ，连接 并延长至 ，使得 ，点 即为所求 因为 为 中点，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 连接 、 ，四边形 的对角线互相平分， 所以 为平行四边形，所以 ， 又 平面 ，所以在直角 中， 考点： 1.直线与平面垂直； 2直线与平面平行； 3.勾股定理 已知向量 ， ，函数 .将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的 ，把所得到的图象再向左平移 个单位，得到函数 的图象 . （ 1）求函数 的单调递增区间； （
10、 2）若 ，求 的值 . 答案：（ 1）函数 的单调递增区间为 ；（ 2）. 试题分析：（ 1）先利用平面向量数量积的运算求出函数 的式，结合辅助角公式将函数 的式化简为 ，在 ， 的前提下，解不等式 得到函数 的单调递增区间；（ 2）先利用 得到 的值，然后利用函数图象变换求出函数 的式，并利用二倍角公式求出的值 . 试题：（ 1） ， ， 解得： ，所以 的单调递增区间为； （ 2） ， 由（ 1）得 ， ， ，将函数 的图象上各点的纵坐标保持不变，横 坐标先缩短到原来的 ，得： ， 再向左平移 个单位， ， 得 . 考点： 1.平面向量的数量积； 2.三角函数的单调区间； 3.三角函数图
11、象变换； 4.二倍角公式 在三棱锥 中，侧棱长均为 ，底边 ， ， 、 分别为 、 的中点 . （ 1）求三棱锥 的体积； （ 2）求二面角 的平面角 . 答案：（ 1）三棱锥 的体积为 ；（ 2）二面角 的平面角的大小为.http:/ 试题分析：（ 1）由于三棱锥 的侧棱长都相等，可以得到点 在平面内的射影点为 的外心，而由于 的三条底边满足勾股定理，可知 为直角三角形 的斜边，从而可以知道 的中点 即为直角三角形的外心，然后利用勾股定理求出 ，并且计算出直角三角形 的面积，最后利用锥体的体积公式计算此三棱锥的体积；（ 2）解法一是在（ 1）中的基础上，利用 平面 ，得到平面 平面 ，然后在
12、平面 内作 于点 ，利用平面与平面垂直的性质定理得到 平面 ，从而得到 ，再从点 在平面 内作 于点 ，并连接 ，利用三垂线法得到 为二面角 的平面角，最后在直角三角形中计算 的大小；解法二是以 为原点，以 为 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角 的平面角的大小 . 试题：（ 1）取 的中点 ，连接 ， 易得： ， ， , . . 又 平面 ， （ 2）法一：作 ， 于 点，连接 平面 , 平面 , 又 平面 . ， 又 平面 ， ， ， http:/ 已知数列 ， ， ， ， ， 为数列的前 项和， 为数列 的前 项和 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）求数列 的前 项和
13、； （ 3）求证： . 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）解法一是根据数列 递推式的结构选择累加法求数列 的通项公式；解法二是在数列 的递推式两边同时除以 ，然后利用待定系数法求数列 的通项公式，进而求出数列 的通项公式；（ 2）先求出数列 的通项公式，然后根据数列 的通项结构，选择裂项相消法求数列的前 项和 ；（ 3）对数列 中的项利用放缩法，然后利用累加法即可证明所要证的不等式 . 试题：（ 1）法一： ， 法二： （ 2） （ 3）证明： ， . 考点： 1.累加法求数列的通项公式； 2.待定系数法求数列的通项公式； 3.裂项相消法求数列的和； 4.利用放
14、缩法证明数列不等式 已知函数 ， . （ 1）若 ，是否存在 、 ，使 为偶函数，如果存在，请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由； （ 2）若 ， ，求 在 上的单调区间； （ 3）已知 ， 对 ，有 成立，求的取值范围 . 答案：（ 1）存在，如 ， ；（ 2）函数 的增区间为 ，减区间为 ； （ 3）实数 的取值范围是 . 试题分析：（ 1）直接举例并利用定义进行验证即可；（ 2）将 ， 代入函数 的式，去绝对值符号，将函数 的式利用分段函数的形式表示出来，然后利用导数求出函数 在相应区间上的单调区间；（ 3）先将绝对值符号去掉，得到 ，并根据题中的意思将问题转化为，然后利用导数进行求解，从而求出参数的取值范围 . 试题：（ 1）存在 使 为偶函数，证明如下： 此时： ， ， 为偶函数， （注：也可以 （ 2） ， 当 时 ， ， 在 上为增函数， 当 时 ， ，令 则 ， 当 时 ， 在 上为减函数， 当 时 ， 在 上为增函数， 综上所述： 的增区间为 ，减区间为 ； （ 3） ， ， 成立。 即： 当 时， 为增函数或常数函数， 综上所述： . 考点： 1.函数的奇偶性； 2.函数的单调区间； 3.全称命题与特称命题
