1、2014届广东省佛山市石门中学高三第二次月考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集为 ，集合 ， ，则 等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， ， ，选 C. 考点：集合的交集与补集运算 . 半径不等的两定圆 、 无公共点（ 、 是两个不同的点），动圆 与圆 、 都内切，则圆心 轨迹是（ ） A双曲线的一支 B椭圆或圆 C双曲线的一支或椭圆或圆 D双曲线一支或椭圆 答案： D 试题分析：设定圆 、 的半径分别为 、 ，不妨设 ，由于两定圆 、无公共点，则圆 、 相离或内含，设动圆 的半径为 ，则 ， 若定圆 、 相离，则 ，则定圆 、 同时内切于动圆 ，则， ，则 ， ，
2、则 ，此时动点的轨迹是双曲线的一支； 若定圆 内含于圆 ，则 ，此时动圆 内切于定圆 ，定圆 内切于动圆 ，则 ， 则 ， ，此时动点 的轨迹是椭圆，故选 D. 考点： 1.两圆内切； 2.椭圆与双曲线的定义 在 中， ， ， ，则 的大小为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ，即 ，而， ，解得 ， ， ， ，故选 B. 考点： 1.平面向量的坐标运算； 2.平面向量的数量积 直线 被圆 截得的弦长为 （ ） A BC D 答案： D 试题分析：将圆的方程化为标准式得 ，圆心坐标为 ，半径长为 ，故圆心到直线 的距离 ，故直线 被圆截得的弦长为 ，选 D. 考点： 1.点到
3、直线的距离； 2.勾股定理 等差数列 的公差不为零，首项 ， 是 和 的等比中项，则数列的前 项之和是 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：设等差数列 的公差为 ，则 ，由于 是 和 的等比中项，则 ，即 ，整理得 ，由于 ，所以 ，故数列 的 前 项之和为，选 B. 考点： 1.等比中项； 2.等差数列求和 “ ”方程 “ 表示双曲线 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C既不充分也不必要条件 D充分必要条件 答案： A 试题分析：方程 “ 表示双曲线，则 ，即，解得 或 ，故 “ ”方程 “ 表示双曲线 ”的充分不必要条件，选 A. 考点： 1.双曲线的方程； 2.充
4、分必要条件 下列四类函数中，具有性质 “对任意的 ， ，函数 满足” 的是（ ） A幂函数 B对数函数 C指数函数 D余弦函数 答案： C 试题分析：对于 A选项，取 ，则 ，则 与 不一定相等；对于 B选项，取，则 ，而 ，则；对于 C选项，设 （ 且 ），则，故 C选项符合条件；对于 D选项， ， ，则 与不一定相等，故选 C. 考点：函数的基本运算 复数 ， 是 的共轭复数，则 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： C 试题分析： ， ，所对应的点的坐标为 ，位于第三象限，故选 C. 考点： 1.共轭复数； 2.复数的除法； 3.复数的几何意义 已知函
5、数 ，下面结论错误的是（ ） A函数 的最小正周期为 B函数 在区间 上是增函数 C函数 的图象关于直线 对称 D函数 是奇函数 答案： D 试题分析： ，故函数 的最小正周期为 ，且函数 在区间 上是增函数，函数 是偶函数，它的图象关于直线对称，故选 D. 考点： 1.诱导公式； 2.三角函数的基本性质 过点 且与直线 垂直的直线方程是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据垂直直线系的直线的方程的特点，不妨设所求直线的方程为，由于该直线过点 ，则有 ，故过点且与直线 垂直的直线方程是 ，选 C. 考点：垂直直线系的方程 填空题 如图，四边形 是圆 的内接四边形，延长 和 相交于点
6、 ，若， ，则 的值为 _. 答案： . 试题分析：由于四边形 是圆 的内接四边形，且 、 的延长线交于点 ，则 ， ， ， ，由于， ，由割线定理得 ，即， . 考点： 1.相似三角形； 2.割线定理 在同一平面坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线 变为曲线，则曲线 的参数方程是 . 答案： （ 为参数） . 试题分析：将 代入方程 得， ，化简得，故曲线 的参数方程为 （ 为参数） . 考点： 1.坐标变换； 2.圆的参数方程 椭圆 的离心率 ；该命题类比到双曲线中，一个真命题是： 双曲线 的离心率 . 答案： . 试题分析：双曲线的离心率 . 考点： 1.双曲线的离心率； 2.类比推理 已知
7、 ，则函数 的最小值为 _. 答案： . 试题分析：由于 ， ，当且仅当 时，上式取等号，由于 ，解得 ，即当 时，函数取最小值 . 考点：基本不等式 函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则. 答案： . 试题分析：由反函数的定义知，函数 （ 且 ）与函数（ 且 ）的图象关于直线 对称，则 . 考点：反函数的定义 解答题 在锐角 内角 、 、 所对的边分别为 、 、 .已知 ，. 求：（ 1） 外接圆半径； （ 2）当 时，求 的大小 . 答案：（ 1） 外接圆的半径为 ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先利用同角三角函数的平方关系算出 的值，并结合角的范围求出角 的值，最后利用正弦定理
8、求出 的外接圆半径；（ 2）由角、 的值结合三角形的内角和定理求出角 ，然后利用正弦定理求出 的值 . 试题：（ 1） ，即 ， 因为 为锐角，则 ，所以 ， ， 设 的外接圆半径为 ，由正弦定理得 ，解得， 故 外接圆的半径为 ； （ 2）当 ， ， 由正弦定理得 . 考点： 1.正弦定理； 2.三角形的内角和定理 已知函数 ， . （ 1）当 时，求 在 处的切线方程； （ 2）若 在 内单调递增，求 的取值范围 . 答案：（ 1）曲线 在 处的切线方程为 ； （ 2）实数 的取值范围是 . 试题分析：（ 1）先将 代入函数 的式，求出 ，从而求出和 的值，最后利用点斜式写出曲线 在 处的
9、切线方程；（ 2）将 在 内单调递增等价转化为 进行求解，进而求出参数的取值范围 . 试题：（ 1）当 时， ，则 ， ， ， 故曲线 在 处的切线方程为 ，即 ； （ 2）由于函数 在 内单调递增，则不等式 在区间 上恒成立， ， ，则不等式 在区间 上恒成立， 即 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立， 而函数 在 处取得最大值 ，于是有 ，解得 或 ， 故实数 的取值范围是 . 考点： 1.利用导数求函数的切线方程； 2.函数的单调性； 3.不等式恒成立； 4.参数分离法 已知二次函数 同时满足： 不等式 的解集有且只有一个元素； 在定义域内存在 ，使得不等式 成立 . 数列 的通项公
10、式为 . （ 1）求函数 的表达式； （ 2）求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）首先根据二次函数 的开口方向以及不等式 的解集只有一个元素这些条件得到 ，结合函数 在区间 上的单调性得出 的值，进而求出函数 的式；（ 2）先求出数列 的通项公式，利用裂项相消法求数列 的前 项和 . 试题：（ 1） ，且不等式 的解集有且只有一个元素， 则 ，解得 或 ， 又由于定义域内存在 ，有 ，则函数 在区间上不是增函数， 因此 ，所以 ， ； （ 2） ， 所以. 考点： 1.二次函数的式； 2.裂项相消法求和 椭圆以坐标轴为对称轴，且经过点 、 .记其上顶点为
11、，右顶点为 . （ 1）求圆心在线段 上，且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程； （ 2）在椭圆位于第一象限的弧 上求一点 ，使 的面积最大 . 答案：（ 1）圆的方程为 ； （ 2）当点 的坐标为 ， 的面积最大 . 试题分析：（ 1）先将椭圆的方程为 ，利用待定系数法求出椭圆的方程，并求出椭圆的焦点坐标，利用圆与坐标轴相切于焦点，且圆心在线段上，从而求出圆心的坐标以及圆的半径，进而求出圆的方程；（ 2）法一是根据参数方程法假设点 的坐标，并计算出点 到线段 的距离 和 线段的长度，然后以 为底边， 为 的高计算 的面积的代数式，并根据代数式求出 的面积的最大值并确定点 的坐标；法二是利用的面
12、积取最大值时，点 处的切线与线段 平行，将切线与椭圆的方程联立，利用 确定切线的方程，进而求出点 的坐标 . 试题：（ 1）设椭圆的方程为 ，则有 ，解得 ， 故椭圆的方程为 ，故上顶点 ，右顶点 ， 则线段 的方程为 ，即 ， 由于圆与坐标轴相切于椭圆的焦点，且椭圆的左焦点为 ，右焦点为， 若圆与坐标轴相切于点 ，则圆心在直线 上，此时直线 与线段无交点， 若圆与坐标轴相切于点 ，则圆心在直线 上，联立 ，解得， 即圆的圆心坐标为 ，半径长为 ， 故圆的方程为 ； （ 2）法一：设点 的坐标为 ，且 ， 点 到线段 的距离， ，则 ，故 ，故， ，而 ， 则 ， 故当 时，即当 时， 的面积
13、取到最大值为 ， 此时点 的坐标为 ； 法二：设与 平行的直线为 ， 当此直线与椭圆相切于第一象限时，切点即所求 点， 由 得： 令 中 ，有： ， 又直线过第一象限，故 ，解得 ， 此时由 有 ， 代入椭圆方程，取 ，解得 .故 . 考点： 1.椭圆的方程； 2.圆的方程； 3.三角形的面积 如图示：已知抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 交抛物线 于、 两点，经过 、 两点分别作抛物线 的切线 、 ，切线 与 相交于点 . （ 1）当点 在第二象限，且到准线距离为 时，求 ； （ 2）证明： . 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）先利用抛物线的定义求出点 的坐标，然后利用
14、直线 过点和点 求出直线 的方程，然后将直线 和抛物线的方程联立，利用韦达定理与抛物线的定义求出弦 的长；（ 2）先求出曲线 在点 和点 的切线方程，并求出两切线的交点 的坐标，验证 进而得到 . 试题：（ 1）抛物线 的方程为 ，则其焦点坐标为 ， 设点 ， ，则有 ， 由于点 在第二象限，则 ，将 代入 得， ，解得 ， 故点 的坐标为 ，故直线 的方程为 ，变形得 ， 代入抛物线的方程并化简得 ，由韦达定理得 ， ； （ 2）设直线 的方程为 ，将 代入抛物线的方程并化简得， 对任意 恒成立， 由韦达定理得 ， ， 将抛物线的方程化为函数式得， ，则 ， 故曲线 在点 处的切线方程为 ，
15、即 ，即 ， 同理可知，曲线 在点 处的切线方程为 ， 联立 得， ，故点 的坐标为 ， 而 ， ，. 考点： 1.抛物线的定义； 2.焦点弦长的计算； 3.切线方程； 4.平面向量的数量积 已知函数 ，且在 时函数取得极值 . （ 1）求 的单调增区间； （ 2）若 ， （ ）证明：当 时， 的图象恒在 的上方； （ ）证明不等式 恒成立 . 答案：（ 1）函数 的单调增区间为 和 ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）先利用函数 在 处取得极值，由 求出 的值，进而求出 的式，解不等式 ，从而得出函数 的单调增区间；（ 2）（ ）构造新函数 ，利用导数证明不等式 在区间 上成立，从而说明当
16、 时， 的图象恒在 的上方； （ ）由（ ）中的结论证明当 时， ，由此得到 ， ， ，结合累加法得到 ，再进行放缩得到 ，从而证明 . 试题：（ 1） ， ，函数 的定义域为 ， 由于函数 在 处取得极值，则 ， ， 解不等式 ，得 或 ， 故函数 的单调增区间为 和 ； （ 2）（ ）构造函数，其中 ， ，故函数 在区间 上单调递减， 则对任意 ，则 ，即 ，即 ， 即当 时， 的图象恒在 的上方； （ ）先证当 时， ，由（ ）知，当 且 时， 故有 ， 由于 ， ， ， ， 上述 个不等式相加得 ，即， 即 ，由于 ， 上述不等式两边同时乘以 得 . 考点： 1.函数的极值与单调区间； 2.函数不等式的证明； 3.累加法； 4.数列不等式的证明 .
