1、2014届广东省广州市执信、广雅、六中高三 9月三校联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ,集合 , ,则集合 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意知 ，因为 ，所以. 考点：集合的基本运算 已知函数 在点（ 1,2）处的切线与 的图像有三个公共点，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 时 , ,所以 ， .所以点（ 1,2）处的切线斜率为 2.切线方程为 ,它与 部分的 的图像仅一个公共点 .又切线与 的图像有三个公共点，所以 时，切线与 有两个公共点 .当时， ，设 ， ，两边平方，移项得 .即 时， 的图像是以 为圆心， 2为半径的
2、上半圆 .设该半圆左端点为 ，右端点为 ，则.作出其大致图像 . 易知，当切线 过点 时，此时 有最大值，代入得 ，时切线与半圆最多有一个交点 .当半圆与直线相切时，圆心 到切线的距离等于半径 2. , ,因为是上半圆，只能在切线 下方， ，此时切线与半圆只有一个交点 . 时切线与半圆无交点 .故 的取值范围是. 考点：导数的几何意义、直线与圆的位置关系 在平面直角坐标系中 ，若不等式组 （ 为常数）所表示平面区域的面积等于 2， 则 的值为（ ） A -5 B 1 C 2 D 3 答案： D 试题分析：设直线 与 轴、 轴分别交于点 ，则.直线 过点 且与 轴垂直，直线 的过定点.依题意，该
3、不等式组表示的平面区域即直线 右上方、直线左方以及直线 下方的区域，设直线 与直线交于点 C，则点 C必在点 A上方，又该平面区域的面积等于 2，点 B到AC的距离为 1，所以 AC=4，即 C（ 1， 4），代入直线方程 中，得的值为 3. 考点：简单的线性规划 函数 的图像大致是 ( ) 答案： A 试题分析：函数 定义域为 ，令 ，得 .所以函数只有一个零点 .当 时， ，所以 ；当 时， ，所以 .结合图中四个选项，可知选 A. 考点：函数的零点、函数的图像 若 是 2和 8的等比中项，则圆锥曲线 的离心率是（ ） A B C 或 D 答案： C 试题分析： 是 2和 8的等比中项，所
4、以 .当 时，圆锥曲线，表示焦点在 轴上的椭圆，其中 ，所以 .离心率 ；当 时，圆锥曲线 ，表示焦点在 轴上的双曲线，其中 ，所以 .离心率 .所以离心率为或 . 考点：椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质 如图 ,三棱柱的棱长为 2,底面是边长为 2的正三角形 , ,正视图是边长为 2的正 方形 ,俯视图为正三角形 ,则左视图的面积为（ ） A 4 B C D 2 答案： C 试题分析：由俯视图为正三角形可知该三棱柱为正三棱柱，其底面为正三角形 .又其正视图是边长为 2的正方形，故底面正三角形的边长及该三棱柱的高均为2.所以可知其左视图是一个矩形，其高为 2，宽为底面正三角形边 上的高，即
5、 .所以左视图的面积为 . 考点：三视图 设 是两条不同直线 , 是两个不同的平面 ,下列命题正确的是（ ） A 且 则 B 且 ,则 C 则 D 则 答案： B 试题分析： A 中， ， 与 平行、异面、相交皆有可能 .B 中， ，则 或 ，又因为 ，所以 ，故 B正确 .C中， 则 与 可能垂直，当 时有 ，所以 C错误 .D中，由面面平行的判定定理，必须要 与 相交，才能得到 .所以 D错误 .故本题选 B. 考点：空间直线、平面平行或垂直的判定与性质 对某商店一个月 30天内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ） A 46， 4
6、5， 56 B 46， 45， 53 C 47， 45， 56 D 45， 47， 53 答案： A 试题分析：由图可知，从小到大排列第 15和 16位数分别是 45、 47，所以中位数是 46.图中出现最多的数是 45，出现 3次 .图中最大的数是 68，最小的数是 12，所以极差是 56. 考点：茎叶图 为假命题 ,则 的取值范围为（ ） A B CD答案： A 试题分析： 为假命题，即对 ，设，则 是二次函数，其图像是开口向上的抛物线，因为，所以图像与 轴无交点 .即 ，所以,解得 ，故 的取值范围为 . 考点：对含一个量词的命题进行否定、一元二次不等式 如果复数 为纯虚数 ,则实数 的
7、值 ( ) A等于 1 B等于 2 C等于 1或 2 D不存在 答案： B 试题分析：复数 为纯虚数，则实部 ，所以或 2，又 时， 不为纯虚数，所以 . 考点：纯虚数的定义 填空题 已知曲线 的极坐标方程为 ,曲线 的极坐标方程为（ ，曲线 、曲线 的交点为 ，则弦 长为 . 答案： 试题分析：由 、 将曲线 与曲线 的极坐标方程转化为直角坐标方程 .因为 ，所以 ， ，即，所以曲线 表示一个圆 .由 ，得 ，即 ，其中.易知在直角坐标系中，曲线 、曲线 的交点 分别为（ 0,0）与（ 3,3），所以弦 长为 . 考点：极坐标方程与直角坐标方程互化 如图所示， 是 的两条切线， 是圆上一点，
8、已知 ，则= . 答案： 试题分析：连 BO、 CO， 是 的两条切线，所以，四边形 OBDC内角和为 ， .又同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以 = . 考点：圆周角定理、圆的切线的性质定理 数列 满足 表示 前 n项之积 ,则=_. 答案： -1 试题分析：因为 ， ，再代入得 ， .所以数列 是以 3为周期的周期数列 .又 2013=3671，所以. 考点：数列的递推公式 在 中，角 的对边为 ，若 ，则角 = . 答案： 或 试题分析：由正弦定理， ， ， .角= 或 . 考点：正弦定理 已知向量 . 答案： -3 试题分析：依题意， ，又易知 ， ，. 考点：数量积的坐标表示 解答
9、题 已知向量 ，函数 ，且最小正周期为 （ 1）求 的值； （ 2）设 ，求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先由向量数量积的坐标表示，得 ，再由公式 （其中 ）简化得：，从而由最小正周期为 定出 的值；（ 2）由与 分别得到 与 的值 .再由 的范围及公式 得到 与 的值 .最后代入公式得到本题答案： .在解题时注意由 所在象限确定三角函数值的正负 ,而不能误以为有多种解 . 试题 :（ 1）由已知，易得 3分 的最小正周期为 ，即 ，解得 4分 （ 2）由（ 1），知 ，则5分 ，又 ， 7分 又 9分 ，又 ， 10分 12分 考点： 1.平面向量的坐标运算； 2
10、.三角恒等变换； 3.三角函数的基本运算 . 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者 .现从符合条件的志愿者中随机抽取 100名按年龄分组：第 1组 ，第 2组 ，第 3组 ，第 4组 ，第 5组 ，得到的频率分布直方图如图所示 . （ 1）若从第 3， 4， 5组中用分层抽样的方法抽取 6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第 3， 4， 5组各抽取多少名志愿者？ （ 2）在（ 1）的条件下，该县决定在这 6名志愿者中随机抽取 2名志愿者介绍宣传经验，求第 4组至少有一名志愿者被抽中的概率 . 答案：（ 1） 3,2,1；（ 2） . 试题分析： (1)先由频率分布直方图得到第
11、 3， 4， 5组的概率，从而得到这三组中各组的人数以及三组总人数，所以易知这三组人数的比例关系，从而由分层抽样的定义确定在各组中应抽取多少人；（ 2）先确定在这 6名志愿者中随机抽取 2名志愿者共有多少种抽取方法 ,在确定第 4组至少有一名志愿者被抽中时的抽取方法有多少种，用后者比前者即为所求 . 试题： (1)第 3组的人数为 0.3100=30, 第 4组的人数为 0.2100=20, 第 5组的人数为 0.1100=10. 3分 因为第 3,4,5组共有 60名志愿者 ,所以利用分层抽样的方法在 60名志愿者中抽取6名志愿者 ,每组抽取的人数分 别为 :第 3组 : 6=3; 第 4组
12、 : 6=2; 第 5组 :6=1. 所以应从第 3,4,5组中分别抽取 3人 ,2人 ,1人 . 6分 (2)记第 3组的 3名志愿者为 A1,A2,A3,第 4组的 2名志愿者为 B1,B2,第 5组的 1名志愿者为 C1. 则从 6名志愿者中抽取 2名志愿者有 : (A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15种 . 8分 其中第 4组的 2名志愿者 B1,B2至少有一名志愿者被抽中
13、的有 : (A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有 9种 , 10分 所以第 4组至少有一名志愿者被抽中的概率为 12分 考点： 1.分层抽样； 2.频率分布直方图； 3.随机事件的概率 . 如图，在多面体 中，四边形 是矩形， ，平面 . （ 1）若 点是 中点，求证： . （ 2）求证： . （ 3）若 求 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见；（ 3） . 试题分析：（ 1）证明线面平行即证明这条直线与平面内某条直线平行 .本题中，四边形 是矩形， ， 以及 点是
14、中点可以得：四边形 为平行四边形 .从而得到 ，最后由线线平行得到线面平行；（ 2）证明面面垂直问题转化为证明线面垂直问题，即某一个平面中的某条直线垂直于另一个平面 .在本题中可以选择通过 平面 而得 .平面 可通过条件平面 ，因为四边形 是矩形， ，而 是交线，平面 即平面 ,所以本小题得证 .；（ 3）本小题由三棱锥体积公式可得 .但 到平面 不好算， 由于三棱锥中每一个面都可当成底面，每一个点都可当成顶点，所以可选择 为顶点，因为 到平面 的距离较易得到 . 试题：（ 1） 若 点是 中点， ， 且 四边形 为平行四边形 2分 又 面 ， 面 面 4分 （ 2） 平面 平面 ，平面 平面
15、 = ， ， 平面 平面 6分 又 面 相关试题 2014届广东省广州市执信、广雅、六中高三 9月三校联考文科数学试卷（带） 设 是正数组成的数列 , .若点 在函数的导函数 图像上 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ,是否存在最小的正数 ,使得对任意 都有成立？请说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2）存在最小的正数 . 试题分析：（ 1）由点 在函数 的导函数 图像上可得 的递推公式，然后由递推公式整理得 ，再由 是正数数列得 ，从而知其为等差数列而得到通项公式；（ 2）数列的通项公式代入，得到 ，即可通过裂项相消法解决 问题 .注意凡是类似于通项公 式为基本都可用裂项相消法予以解
16、决 . 试题：（ 1） 1分 由点 在 图像上，得 2分 整理得： 4分 ， 5分 是首项为 =3，公差为 2的等差数列 . 6分 （ 2） 9分 10分 = 12分 存在最小的正数 ,使得不等式成立 . 14分 考点： 1.常见函数的导数公式； 2.等差数列的通项公式； 3.裂项相消法 . 已知 （ 1）若 时，求函数 在点 处的切线方程； （ 2）若函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围； （ 3）令 是否存在实数 ，当 是自然对数的底）时，函数 的最小值是 3， 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）存在， . 试题分析：（ 1） 时，利用求
17、导法则得到 的导函数，计算知 ，即切线斜率为 1，再得到 ，从而通过直线的点斜式方程得到所求切线方程；（ 2）函数 在 上是减函数，即导函数 在 上是恒小于或等于 0. ,在 上分母 恒为正，所以分子，令 ，则 为开口向上的二次函数 .所以本题转化为二次函数在闭区间的最值问题 . ，故两个可能的最大值，得实数 的取值范围 ；（ 3）对 求导，讨论 的范围，研究导数的正负从而确定 在 上的单调性，得到其最小值，由条件最小值是 3得到 的值，注意此时还要判断 是否在所讨论的范围内，若不在则要予以舍去 . 试题：（ 1）当 时， 1分 函数 在点 处的切线方程为 3分 （ 2）函数 在 上是减函数
18、在 上恒成立 4分 令 ，有 得 6分 7分 （ 3）假设存在实数 ，使 在 上的最小值是 3 8分 当 时， ， 在 上单调递减， （舍去） 10分 当 且 时，即 ， 在 上恒成立， 在 相关试题 2014届广东省广州市执信、广雅、六中高三 9月三校联考文科数学试卷（带） 已知椭圆 方程为 ，过右焦点斜率为 1的直线到原点的距离为. (1)求椭圆方程 . (2)已知 为椭圆的左右两个顶点， 为椭圆在第一象限内的一点， 为过点且垂直 轴的直线，点 为直线 与直线 的交点，点 为以 为直径的圆与直线 的一个交点，求证： 三点共线 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析： (1)由过右
19、焦点斜率为 1的直线到原点的距离为 可以得到右焦点坐标，即 的值 .再由公式 可得椭圆方程 .此处注意因为是右焦点，即焦点在 轴上，从而得到 对应的分母 1即为 ；（ 2）由 点坐标设出直线的点斜式方程，联立椭圆方程求出 的坐标 .易知直线 的方程，所以易求得点坐标，由圆的性质知 ，则只要 就有直线 、 重合，即 三点共线 .因为点的坐标已求得， 可通过向量数量积予以证明 .注意本题如选择求 点坐标则将较为繁琐，增加了解题的计算量，这里合理利用圆的直径对应的圆周角是直角这一性 质，简化了运算 . 试题：（ 1）设右焦点为 ，则过右焦点斜率为 1的直线方程为： 1分 则原点到直线的距离 3分 方程 4分 （ 2） 点坐标为 5分 设直线 方程为： ，设点 坐标为 得： 6分 7分 9分 10分 由圆的性质得： 又 点的横坐标为 点的坐标为 11分 11分 13分 即 ，又 三点共线 14分 考点： 1.直线与圆锥曲线的位置关系； 2.直线的方程； 3.平面向量的应用 .
