1、2014届广东省广州市高三年级调研测试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 函数 的定义域是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：自变量 满足 ，解得 ，故函数 的定义域为，故选 B. 考点：函数的定义域 函数 在区间 内（ ） A没有零点 B有且仅有 个零点 C有且仅有 个零点 D有且仅有 个零点 答案： B 试题分析： ，当 时， ， ，此时 ；当时， ，即 ，故函数 在区间 内有且只有一个零点 ，故选 B. 考点：函数的零点 若点 和点 到直线 的距离依次为 和 ，则这样的直线有（ ） A 条 B 条 C 条 D 条 答案： C 试题分析：以点 为圆心，以 为半径长的圆的方程为
2、，以点为圆心，且以 为半径的圆的方程为 ，则直线 为两圆的公切线，即圆 与圆 外切，因此两圆的公切线有 条，即直线 有三条，故选 C. 考点： 1.两圆的位置关系； 2.两圆的公切线 某几何体的三视图（如图所示）均为边长为 的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由三视图还原成实物图得，则 和 都是以 为直角腰长的等腰三角形，则 ，易知 ，且 ，所以 ，同理可得 ，故该几何体的表面积为，故选 A. 考点： 1.三视图； 2.空间几何体的表面积 执行如图的程序框图，如果输入的 的值是 ，那么输出的 的值是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：第
3、一次循环， ， 成立； 执行第二次循环， ， ， 成立； 执行第三次循环， ， ， 成立； 执行第四次循环， ， ， 不成立，跳出循环体，输出 ，故选 B. 考点：算法与程序框图 若实数 、 满足不等式组 ，则 的最大值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：作不等式组 所表示的可行域如下图所示，联立得 ，即点 ，作直线作直线 ，则 为直线在 轴上的截距，当直线 经过可行域上的点 时，直线 在 轴上的截距最大，此时 取最大值，即 ，故选 D. 考点：线性规划 若集合 、 满足 ， ，则 不可能是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，且 ， C选项中，不合乎题意，故选 C.
4、考点：集合的交集运算 设 （ 是虚数单位），则复数 的虚部是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，所以 ，故复数的虚部是 ，故选 D. 考点： 1.复数的四则运算； 2.复数的概念 如图 1是 2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 答案： A 试题分析：由茎叶图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，剩下的数为 、 、 、 ，众数为 ，平均数 ，故选 A. 考点： 1.茎叶图； 2.平均数与众数 命题 “若 ，则 ”的逆否命题是（ ） A若 ，则 B若
5、 ，则 C若 或 ，则 D若 或 ，则 答案： D 试题分析：由逆否命题的变换可知，命题 “若 ，则 ” 的逆否命题是 “若 或 ，则 ”，故选 D. 考点：四种命题 填空题 若点 在曲线 （ 为参数， ）上，则 的取值范围是 . 答案： . 试题分析：曲线 （ 为参数， ）表示的是以点 为圆心，以 为半径长的圆，令 ，即 ，即点 既在直线 上，也在圆上，则圆心到直线的距离 ，解得 ，即 的取值范围是 . 考点： 1.圆的参数方程； 2.直线与圆的位置关系 如图， 为 的直径， ，弦 交 于点 .若 ，则 的长为 . 答案： . 试题分析：易知圆 的半径长为 ，则 ，由于 ，且 ，由勾股定理得
6、 ，而 ，由于圆 的两条弦 、 相交于点 ，由相交弦定理得 ，所以 . 考点： 1.勾股定理； 2.相交弦定理 在边长为 的正方形 内部任取一点 ，则满足 的概率为_. 答案： . 试题分析：以 为直径作圆，则圆在正方形 内的区域为半圆，其面积，且满足条件 的点 在半圆内，故满足的概率为 . 考点：古典概型 在等比数列 中，若 ，则 . 答案： . 试题分析：由于数列 为公比数列，所以 ，由于 ，所以 . 考点：等比数列的性质 若向量 ， 满足 ，则 _. 答案： . 试题分析： ， 且 ，所以，所以 ，因此. 考点： 1.平面向量的垂直； 2.平面向量的模 解答题 在 中，角 、 、 所对的
7、边分别为 、 、 ，且 . （ 1）求 的值； （ 2）若 ， ，求 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先利用二倍角公式得到 的值，再结合三角形的内角和定理 与诱导公式得到 ，进而求出 的值；（ 2）对角 利用余弦定理，得到以 为未知数的一元二次方程，进而求解 的值 . 试题：（ 1）在 中， . 所以 . 所以 ； （ 2）因为 ， ， ， 由余弦定理 ， 得 ，解得 . 考点： 1.二倍角公式； 2.诱导公式； 3.余弦定理 某单位 名员工参加 “社区低碳你我他 ”活动 .他们的年龄在 岁至 岁 之间 .按年龄分组：第 1组 ，第 组 ，第 3组 ，第 组，第 组
8、 ，得到的频率分布直方图如图所示 .下表是年龄的频率分布表 . 区间 人数 （ 1）求正整数 、 、 的值； （ 2）现要从年龄较小的第 、 、 组中用分层抽样的方法抽取 人，则年龄在第 、 、 组的人数分别 是多少？ （ 3）在（ 2）的条件下，从这 人中随机抽取 人参加社区宣传交流活动，求恰有 人在第 组的概率 . 答案：（ 1） ， ， ；（ 2） 、 、 ；（ 3） . 试题分析：（ 1）先利用频率分布直方图的特点得到第一组和第二组的人数相同，从而得到 的值，然后利用分层抽样中各层的入样比相等求出 的值，最后利用频率、频数以及样本容量三者之间的关系求出 的值；（ 2）先确定 、 、组的
9、总人数，然后利用入样比算出每组所抽取的人数；（ 3）先将各组所抽取的人进行编号，然后列举法找出样本空间以及题中涉及的事件所包含的基本事件及数目，最后利用古典概型的概率计算公式计算事件发生的概率 . 试题：（ 1）由频率分布直方图可知， 与 两组的人数相同，所以人 . 且 人总人数 人 . （ 2）因为第 、 、 组共有 人，利用分层抽样在 名员工中抽取 人，每组抽取的 人数分别为： 第 组的人数为 ，第 组的人数为 ， 第 组的人数为， 所以第 、 、 组分别抽取 人， 人， 人； （ 3）由（ 2）可设第 组的 人为 ，第 组的 人为 ，第 组的 人分别为 、 、 ，则从 人中抽取 人的所有
10、可能结果为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共有种 . 其中恰有 人年龄在第 组的所有结果为： ， ， ， ， ， ， ， ，共有 种 所以恰有 人年龄在第 组的概率为 . 考点： 1.频率分布直方图； 2.分层抽样； 3.古典概型 如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点，为 的中点，且 为正三角形 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）若 ， ，求点 到平面 的距离 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）由等腰三角形三线合一得到 ，由中位线得到，从而得到 ，利用 并结合直线与平面垂直的判定定理证明 平面 ，从而得到 ，再结合 以及直线与平面垂直的判定定
11、理证明 平面 ；（ 2）解法一是利用（ 1）中的条件得到平面 ，以点 为顶点， 为底面计算三棱锥 的体积，然后更换顶点，变成以点 为顶点， 为底面来计算三棱锥 ，利用等体积法 从而计算三棱锥 的高，即点 到平面的距离；解法二是作 或其延长线于点 ，然后证明 平面，从而得到 的长度为点 到平面 的距离，进而计算 的长度即可 . 试题：（ 1）证明：在正 中， 是 的中点，所以 因为 是 的中点， 是 的中点，所以 ，故 又 ， ， 、 平面 ， 所以 平面 因为 平面 ，所以 ， 又 ， ， 、 平面 ， 所以 平面 ； （ 2）解法 1：设点 到平面 的距离为 ， 因为 ， 是 的中点，所以
12、， 因为 为正三角形，所以 ， 因为 ， ，所以 ， 所以 ， 因为 ， 由（ 1）知 ，所以 ， 在 中， ， 所以 . 因为 设数列 满足 ， . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先令 求出 的值，然后令 时，在原式中用 得到一个新的等式，并将该等式与原等式作差，求出数列 在 时的通项公式，并对 的值是否符合上述通项公式进行检验，从而最终确定数列 的通项公式；（ 2）先求出数列 的通项公式 ，并根据数列 的通项公式结构选择裂项法求和 . 试题：（ 1）因为 ， ， 所以当 时， 当 时， ， ， - 得，
13、 ，所以 因为 ，适合上式，所以 ； （ 2）由（ 1）得 ， 所以 ， 所以. 考点： 1.定义法求数列的通项公式； 2.裂项法求和 在圆 上任取一点 ，设点 在 轴上的正投影为点 当点 在圆上运动时，动点 满足 ，动点 形成的轨迹为曲线 . （ 1）求曲线 的方程； （ 2）已知点 ，若 、 是曲线 上的两个动点，且满足 ，求的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）解法一是从条件 得到点 为线段 的中点，设点，从而得到点 的坐标为 ，利用点 在圆 上，其坐标满足圆的方程，代入化简得到曲线 的方程；解法二是利用相关点法，设点，点 ，通过条件 确定点 与点 的坐标之间
14、的关系，并利用点 的坐标表示点 的坐标，再借助点 在圆上，其坐标满足圆的方程，代入化简得到曲线 的方程；（ 2）先利用条件 将 化简为 ，并设点 ，从而得到的坐标表达式，结合点 ，将 的代数式化为以 的二次函数，结合 的取值范围，求出 的取值范围 . 试题：（ 1）解法 1：由 知点 为线段 的中点 . 设点 的坐标是 ，则点 的坐标是 . 因为点 在圆 上，所以 . 所以曲线 的方程为 ； 解法 2：设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ， 由 得， ， 因为点 在圆 上， 所以 把 ， 代入方程 ，得 所以曲线 的方程为 ； （ 2）解：因为 ，所以 所以 设点 ，则 ，即 所以， 因为点 在曲
15、线 上，所以 所以 所以 的取值范围为 . 考点： 1.相关点法求轨迹方程； 2.平面向量的数量积； 3.二次函数的最值 已知函数 . （ 1）若 在 处取得极值，求实数 的值； （ 2）求函数 在区间 上的最大值 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）利用函数 在 处取得极值，得到 求出 的值，并对此时函数 能否在 处取得极值进行检验，从而确定 的值；（ 2）先求出导数 ，由条件 得到 的取值范围 ，从而得到导数 的符号与 相同，从而对 是否在区间 内进行分类讨论，并确定函数 在区间 上的单调性，从而确定函数 在区间 上的最大值 . 试题：（ 1）因为 ， 所以函数 的定义域为 ，且 ， 因为 在 处取得极值，所以 . 解得 当 时， ， 当 时， ；当 时， ；当 时， ， 所以 是函数 的极小值点，故 ； （ 2）因为 ，所以 ， 由（ 1）知 ， 因为 ，所以 ， 当 时， ；当 时， 所以函数 在 上单调递增；在 上单调递减 当 时， 在 上单调递增， 所以 当 即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ； 当 ，即 时， 在 上单调递减， 所以 综上所述： 当 时，函数 在 上的最大值是
