1、2014届广东省惠州市高三第一次调研考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： N 集合是要求在 范围内取整数 ,所以 ，然后集合 N和 M求交集 . 考点：集合的运算 . 设函数 有三个零点 ，且 则下列结论正确的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：先求导数 ，令 ，解得 故 + 0 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 又因为 ， ， ， ，综合以上信息可得示意图如右，由图可知， . 考点：考查函数的零点 . 圆 与直线 相切于第三象限，则 的值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：先由直线与圆相切，
2、求出 a的值 ，但是得到的 a的值是 2个，再由圆与直线相切于第三象限由图可知， ，进行取舍 . 考点：考查直线与圆相切问题 . 执行如图所示程序框图若输入 ，则输出的 值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：通过程序循环计算，知道得到的 x大于 23就结束， 即 . 考点：考查程序框图 . 若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由三视图可知，三棱柱的高为 1，底面正三角形的高为 ，所以正三角形的边长为 2，所以三棱柱的侧面积为 ，两底面积为，所以表面积为 . 考点：考查三视图 . 已知平面向量 的夹角为 ，且 ， ，则 等于（
3、） A B C D 答案： C 试题分析：先用向量的点乘将 展开，再把已知条件代入 , ,所以求出 . 考点：考查向量的点乘 . 下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：画出函数的图像，通过函数图像就可以判断奇偶性和单调性 ,不是偶函数， 是周期函数，在区间 上不是单调递减， 在区间 上单调递增 . 考点：考查函数的奇偶性和单调性 . 某城市修建经济适用房已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭 360户、 270 户、 180 户，若首批经济适用房中有 90 套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中
4、抽取低收入家庭的户数为（ ） A 40 B 36 C 30 D 20 答案： C 试题分析：利用分层抽样的比例关系 ,设从乙社区抽取 户，则，解得 . 考点：考查分层抽样 . 在数列 中， ，公比 ，则 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 16 答案： B 试题分析：直接用等比数列的通项公式将 展开 , 代入已知条件 , 即 . 考点：考查等比数列的通项公式 . 复数 等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析：运用复数的除法运算法则计算 . 考点：复数的运算 . 填空题 如图示， 是半圆周上的两个三等分点，直径 ， ，垂足为 ，则 的长为 答案： 试题分析：先利用直角三角形中的正
5、弦余弦求出 BC,AC边长 ,依题意知,则 , ,再根据面积相等求 CE ,代入解得 . 考点：考查平面几何的证明 . 在极坐标系中， 为极点，直线过圆 ： 的圆心 ，且与直线 垂直，则直线的极坐标方程为 答案： 试题分析：先把极坐标方程 转化为直角坐标的方程，找到圆心 ，过圆心且与 OC垂直的直线为 ，再转化为极坐标的形式 . 考点：考查参数方程 . 定义映射 ，其中 ， ，已知对所有的有序正整数对 满足下述条件 : ， 若 ， ； ，则 . 答案： 不等式组 表示的平面区域的面积是 . 答案： 试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，故面积为 . 考点：考查线性规划 . 在 中，若 ，则
6、= . 答案： 试题分析：用余弦定理展开，将已知条件代入，即可以解出 . 考点：考查余弦定理 . 解答题 已知函数 .（ 1）求函数 的最小正周期和最小值；（ 2）若 ， ，求 的值 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先用二倍角正弦公式将式子化简，再求最值和周期；（ 2）先利用第一问的式将 求出来，所以下面的关键是求出 ，利用已知和 ，求出 ，但是得进行正负的取舍，得到的准确值后，代入到 的表达式中 . 试题：（ 1）已知函数即 ， 2分 3分 当 时，即 ， 4分 6分 （ 2） 8分 由 ， ，解得： 10分 ， 11分 所以 12分 . 考点： 1.二倍角正弦公式
7、； 2.同名三角函数的商数关系、平方关系 . 为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的 60名候车乘客中随机抽取 15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成 5组，如下表所示： （ 1）估计这 60名乘客中候车时间少于 10分钟的人数； （ 2）若从上表第三、四组的 6人中随机抽取 2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率 组别 候车时间 人数 一 2 二 6 三 4 四 2 五 1 答案：（ 1） 32 ;（ 2） . 试题分析：（ 1）利用比例关系求第一问；（ 2）详细找出所有事件的情况，在所有情况中找到符合题意的情况，再求概率 . 试题：（ 1）由频率分布表可知：
8、这 15名乘客中候车时间少于 10分钟的人数为8， 所以，这 60名乘客中候车时间少于 10分钟的人数大约等于 人 . 4分 （ 2）设第三组的乘客为 , , , ,，第四组的乘客为 1， 2； “抽到的两个人恰好来自不同的组 ”为事件 . 5分 所得基本事件共有 15种，即： 8分 其中事件 包含基本事件，共 8种， 10分 由古典概型可得 ， 12分 . 考点： 1.频率分布表； 2.概率 . 在正方体 中，棱长为 2， 是棱 上中点， 是棱 中点，（ 1）求证： 面 ；（ 2）求三棱锥 的体积 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）先证 ，再证 ， ，所以四边形PQDE为平
9、行四边形，得到线线平行，得到线面平行 ;（ 2）三棱锥 换成三棱锥 ，即 . 试题 :（ 1）取 中点 Q，连接 PQ， 则 PQ为中位线， ， 2分 而正方体 ， E是棱 CD上中点， 故 ， 4分 ，所以四边形 PQDE为平行四边形。 PD/QE， 6分 而 面 ， 面 ， 故 面 8分 （ 2）正方体 中， 面 ABE，故 为高， 10分 CD/AB 12分 故 14分 . 考点：考查线面平行的判定定理，三棱锥换顶点求体积 . 设数列 的前 项和为 ，点 在直线 上，（ 1）证明数列 为等比数列，并求出其通项；（ 2）设，记 ，求数列 的前 和 答案：（ 1）证明略， ；（ 2） . 试
10、题分析：（ 1）要证明数列是等比数列，只需证明数列中的项后一项除以前一项是常数；（ 2）先利用已知条件把 的通项公式找到，再利用错位相减法求出 . 试题：（ 1） 1分 时， 2分 时， ， 3分 两式相减得： ， ， 5分 是以 为首项， 为公比的等比数列 . 6分 7分 （ 2） ，则 ， 9分 10分 - 得： 11分 13分 14分 . 考点： 1.等比数列的证明； 2.错位相减法求和 . 如图， A,B是椭圆 的两个顶点 , ，直线 AB的斜率为 求椭圆的方程；（ 2）设直线 平行于 AB，与 x,y轴分别交于点 M、N，与椭圆相交于 C、 D， 证明： 的面积等于 的面积 答案：（
11、 1） ;（ 2）证明略 . 试题分析：（ 1）根据条件表示 A、 B两点，得到 ， ，联立即可求出 a,b；（ 2）先设出直线 的方程，与椭圆联立，消 y，得到关于 x的一元二次方程，根据根与系数的关系得到 ，而 ，由直线 ： ，求 ，得 ，所以. 试题：（ 1）解：依题意， ， ， 整理得 2分 解得 ， 3分 所以 椭圆的方程为 4分 （ 2）证明：由于 / ，设直线 的方程为 ，将其代入 ，消去 ， 整理得 6分 设 ， 所以 8分 证法一：记 的面积是 ， 的面积是 由 ， ， 则 10分 因为 ，所以 ， 13分 从而 14分 证法二：记 的面积是 ， 的面积是 则 线段 的中点重
12、合 10分 因为 ，所以 ， 故线段 的中点为 因为 ， ，所以 线段 的中点坐标亦为 13分 从而 14分 考点： 1.斜率公式； 2.直线与曲线的位置关系； 3.韦达定理 . 已知函数 ， ，（ 1）若 ，求函数 的极值； （ 2）若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围； （ 3）在函数 的图象上是否存在不同的两点 ，使线段的中点的横坐标 与直线 的斜率 之间满足 ？若存在，求出；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1）极大值为 0，无极小值 ;（ 2） ;（ 3）不存在 . 试题分析：（ 1）先求函数定义域，然后求导，判断单调性，根据单调性求极值；（ 2）因为函数 在 上单调递减，所
13、以 对恒成立，得到 ，下面只需求出 的最大值就行；（ 3）先假设存在，设出点得到 ，判断方程无根，所以不存在两点 . 试题：（ 1） 的定义域为 1分 ， 2分 故 ， 单调递增； ， 单调递减， 3分 时， 取得极大值 ，无极小值。 4分 （ 2） ， ， 若函数 在 上单调递减， 则 对 恒成立 5分 ，只需 6分 时， ，则 ， ， 7分 故 ， 的取值范围为 8分 （ 3）假设存在，不妨设 ， 9分 10分 由 得 ，整理得 11分 令 ， ， 12分， 在 上单调递增， 13分 ，故 不存在符合题意的两点。 14分 . 考点： 1.极值的求法； 2.恒成立问题的求法； 3.利用导数判断方程无解 .
