1、2014届广东省惠州市高三第一次调研考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： N集合是要求在 范围内取整数，所以，然后和 M集合求交集故 . 考点：集合的运算 . 对于任意两个正整数 m, n , 定义某种运算 “ ”如下：当 m ,n都为正偶数或正奇数时 , = 当 中一个为正偶数 ,另一个为正奇数时 , = .则在此定义下 ,集合 中的元素个数是 ( ) A 10个 B 15个 C 16个 D 18个 答案： B 试题分析：从定义出发 ,抓住 的奇偶性对 12实行分拆是解决本题的关键 ,当同奇偶时 ,根据 = 将 12分拆两个同
2、奇偶数的和 ,当 一奇一偶时 ,根据 = 将 12分拆一个奇数与一个偶数的积 ,再算其组数即可 . 若 同奇偶 ,有 ,前面的每种可以交换位置 ,最后一种只有 1个点 ,这时有 ; 若 一奇一偶 ,有 ,每种可以交换位置 ,这时有 ; 共有 个 . 考点：考查分析问题的能力以及集合中元素的性质 . 已知函数 ，若过点 且与曲线 相切的切线方程为 ，则实数 的值是 ( ) A B C 6 D 9 答案： D 试题分析：先设切点为 ，则切点在曲线上 ， 求导数得到切线的斜率 ，又切线 过 A、 M两点，所以则 ， 联立 、 可解得 ， ，从而实数 的值为 . 考点：考查导数，过点求切线方程 . 不
3、等式组 表示的平面区域的面积是 ( ) A B 0 C D答案： A 试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，故面积为 . 考点：考查线性规划知识 . 对于平面 、 、 和直线 、 、 、 ,下列命题中真命题是 ( ) A若 ,则 B若 ,则 C若 则 D若 ,则 答案： C 试题分析：对于平面 、 、 和直线 、 ,真命题是 “若 ， ，则 ”. 考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系 . 已知直线 与直线 平行且与圆： 相切 ,则直线 的方程是 ( ) A B 或 C D 或 答案： D 试题分析：先求出圆的圆心和半径，圆 的圆心为 ,半径为，通过两条直线平行设出直线方程为
4、 ，再根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径列出表达式求出 c的值，即或 . 考点：两条直线平行，直线与圆相切 . 已知平面向量 ， ，且 ，则向量 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：先用向量的乘积展开 ，再代入求 的坐标，即 . 考点：向量的乘积运算 . 复数 在复平面上对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 试题分析：运用复数的除法运算法则计算 ，得出实部和虚部，即得到点的坐标 ，所以点位于第二象限 . 考点：复数的运算 . 填空题 如图 , 为圆 直径 , 切圆 于点 , , ,则 等于 . 答案： 试题分析：连接 ,因为 切圆
5、于点 ,所以 .又因为 ， 是 中点， 所以 .所以 . 考点：考查平面几何证明 . （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中 ,圆 的圆心到直线的距离是 . 答案： 试题分析：先把极坐标的方程 转化为直角坐标的方程 ，找到圆的圆心 和直线 得方程 ，通过点到直线的距离公式得到点 到直线 的距离是 . 考点：考查极坐标和直角坐标的转化以及点到直线的距离公式 . 一物体在力 (单位： )的作用下沿与力 相同的方向 ,从 处运动到 (单位： )处 ,则力 做的功为 焦 . 答案： 试题分析：把 0到 4的积分根据题意分成 2段，再分别求积分，即. 考点：考查积分的运算 . 设 是 上的奇函数 , .
6、 当 时有 ,则. 答案： 试题分析：利用函数的周期性将数 8.5变小，再利用奇偶性将 -0.5变成正数，再代入函数式中 .，即. 考点：考查函数的奇偶性和周期性 . 已知直线 与直线 垂直，则直线 的倾斜角 . 答案： （或 ） 试题分析：因为直线 与直线 垂直，得到斜率 ，所以解得 . 考点：考查两条直线垂直斜率的关系以及斜率和倾斜角的关系 . 已知等差数列 ,满足 ,则此数列的前 项的和 . 答案： 试题分析：因为 ，所以先用求和公式展开，再将等式代入. 考点：考查等差数列的求和公式和等差数列的性质 . 右图是某高三学生进入高中三年来第 次到 次的数学考试成绩茎叶图 , 根据茎叶图计算数
7、据的中位数为 . 答案： .5 试题分析：从茎叶图中可知 14个数据排序为： 79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位数为 94与 95的平均数 94.5 .先从茎叶图中读出所有的数，按照从小到大的顺序排好，找到中间的一个数，即为中位数，若中间是两个数，算其平均数，即为中位数 . 考点：考查茎叶图和中位数 . 解答题 已知函数 .(1)求 的最大值和最小正周期； (2) 若 ， 是第二象限的角，求 . 答案：（ 1） ;（ 2） . 试题分析：（ 1）先利用特殊角三角函数值将 化成 和 ，根据两角和的正弦公式化简表达式，化简成 的形式，然后再
8、求周期和最大值 .（ 2）先利用 得到 的值，再利用二倍角正弦公式得到 的值 . 试题： (1) 4分 的最大值为 2, 5分， 最小正周期为 6分 (2)由 (1)知 , 所以 ,即 8分 又 是第二象限的角 ,所以 10分 所以 12分 考点： 1.两角和的正弦公式； 2.最大值； 3.周期； 4.二倍角公式 . 某社团组织 名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动 ,活动内容是：1、到各社区宣传慰问 ,倡导文明新风； 2、到指定的医院、福利院做义工 ,帮助那些需要帮助的人 .各位志愿者根据各自的实际情况 ,选择了不同的活动项目 ,相关的数据如下表所示： 宣传慰问 义工 总计 20至 40
9、岁 11 16 27 大于 40岁 15 8 23 总计 26 24 50 (1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取 6名 ,年龄大于 40岁的应该抽取几名 (2) 上述抽取的 6名志愿者中任取 2名 ,求选到的志愿者年龄大于 40岁的人数的数学期望 . 答案：（ 1） 2人 ;（ 2） . 试题分析： (1)根据分层抽样中的比例关系得到第一问的结论（ 2）利用概率得到每种情况下的概率，列出分布列，利用期望的公式求出答案： . 试题： (1)若在做义工的志愿者中随机抽取 6名 ,则抽取比例为 2分 年龄大于 40岁的应该抽取 人 . 4分 (2)在上述抽取的 6名志愿者中任取 2名 ,假
10、设选到年龄大于 40岁的人数为 , 6名志愿者中有 2人的年龄大于 40岁 ,其余 4人的年龄在 20到 40岁之间 , 可能的取值为 . 5分 则 , , 8分 的分布列为 10分 的数学期望为 12分 考点： 1.分层抽样； 2.数学期望 . 如图 ,已知三棱锥 的侧棱 两两垂直 ,且 , 是 的中点 .(1)求 点到面 的距离； (2)求二面角的正弦值 . 答案： (1) ;(2) . 试题分析：（ 1）先建系写出各点坐标，求面 ABC的法向量 ，然后求；（ 2）先求面 EAB的法向量 ，再求，然后结合图形判断二面角 E-AB-C的范围，得其余弦值的正负 . 试题： (1)取 的中点 ,
11、连 、 ，则 、 面 .过点 O作 于 H， 则 面 , 的长就是所要求的距离 . 3分 、 , 平面 ，则 . ,在直角三角形 中 ,有 6分 （另解 :由 知， ） (2)连结 并延长交 于 ,连结 、 . 面 OAB， .又 面 ABC， ， ， 则 就是所求二面角的平面角 . 9分 作 于 ,则 在直角三角形 中 , 在直角三角形 中 , 12分 ,故所求的正弦值是 14分 方法二 : (1)以 为原点 , 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 . 则有 、 、 、 2分 设平面 的法向量为 则由 知： ； 由 知： .取 , 4分 则点 相关试题 2014届广东省惠州市高三第
12、一次调研考试理科数学试卷（带） 已知等差数列 的公差 ，它的前 项和为 ，若 ，且成等比数列 .（ 1） 求数列 的通项公式；（ 2）设数列 的前项和为 ，求证： . 答案：（ 1） ;（ 2） . 试题分析：（ 1）求通项公式的关键是求出 ，所以通过等差数列的求和公式和等比中项将两个已知条件都转化为 的关系式，解出 ，就可以求出等差数列的通项公式了 .(2)先用裂项相消法求出 的值，再通过作差法看出数列 是递增数列，求出最大值和最小值，即得到证明 . 试题 :（ 1） 数列 是等差数列且 ， . 2分 成等比数列， 即 4分 由 ， 解得 或 （舍去） 5分 6分 （ 2）证明 ;由（ 1）
13、可得 ， 7分 所以 . 8分 所以 . 10分 ， . 11分 ， 数列 是递增数列， . 13分 . 14分 考点 ： 1.等差数列的通项公式； 2.裂项相消法求和 . 在平面直角坐标系 中，点 为动点， 分别为椭圆的左右焦点已知 为等腰三角形（ 1）求椭圆的离心率 ；（ 2）设直线 与椭圆相交于 两点， 是直线 上的点，满足，求点 的轨迹方程 答案： (1) ; (2) . 试题分析：（ 1）设出焦点 ，由条件 为等腰三角形，分析出 ，代入两点间距离公式，利用 消去 ，得 a、 c的关系，得出 e的值；（ 2）由 得 ， ，推出椭圆方程 ，由 即 ， ，得，得 ，与椭圆： 联立得交点 A
14、， B的坐标，再表示 ， 代入 中，整理得点 的轨迹方程 . 试题：（ 1）设 ， 由题意 ,可得 ,即 ， 2分 整理得 ，得 (舍 )或 ，所以 . 4分 （ 2）由（ 1）知 ， ,可得椭圆方程为 . 直线 方程为 5分 两点的坐标满足方程组 ,消去 y并整理得 6分 解得 得方程组的解 , 8分 不妨设 , ,设 的坐标为 则 , ， 10分 由 得 . 于是 , 11分 由 得 ， 化简得 ， 13分 将 代入 得 ， 由 得 .因此 ,点 的轨迹方程是 . 14分 考点： 1.两点间距离公式； 2.斜率公式 . 已知二次函数 ，且不等式 的解集为. （ 1）方程 有两个相等的实根，
15、求 的式； （ 2） 的最小值不大于 ，求实数 的取值范围； （ 3） 如何取值时，函数 存在零点，并求出零点 . 答案：（ 1） ；（ 2）实数 的取值范围是 ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）根据不等式 的解集为 得到 、 为方程的实根，结合韦达定理确定 、 、 之间的等量关系以及 这一条件，然后利用 有两个相等的实根得到 ，从而求出 、 、的值，最终得到函数 的式；（ 2）在 的条件下，利用二次函数的最值公式求二次函数 的最小值，然后利用已知条件列有关参数 的不等式，进而求解实数 ；（ 3）先求出函数 的式，对首项系数为零与不为零进行两种情况的分类讨论，在首项系数为零的前提下，直接将
16、 代入函数式，求处对应的零点；在首项系数不为零的前提下，求出 ， 对 的符号进行三中情况讨论，从而确定函数 的零点个数，并求出相应的零点 . 试题：（ 1）由于不等式的解集为 ， 即不等式 的解集为 ， 故 、 为方程 的两根，且 ， 由韦达定理得 ， ， 由于方程 有两个相等的实根，即方程 有两个相等的实根， 则 ， 由于 ，解得 ， ， ， 所以 ； （ 2）由题意知， ， ，由于 ，则有， 解得 ，由于 ，所以 ，即实数 的取值范围是 ； （ 3）（ ） 当 时，方程为 ，方程有唯一实根 ， 即函数 有唯一零点 ； 当 时， ， 方程（ ）有一解 ，令， 得 或 ， ，即 或 ， （ i）当 时， （ （负根舍去）， 函数 有唯一零点 ； （ ii）当 相关试题 2014届广东省惠州市高三第一次调研考试理科数学试卷（带）
