1、2014届广东省执信中学高三上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ，集合 ，集合 ，则下图中阴影部分表示的集合为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由于 ，图中所表示的集合为，选 A. 考点： 1.集合的表示法； 2.集合的基本运算 已知函数 ， ，若 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， ，使得 ，则有， ， 而函数 在区间 上的最大值为 ，函数 在区间上的最小值为 ，由于 ，函数 在区间上单调递增，则 ， ，于是有 且 ，解得 ，故选 D. 考点： 1.存在命题与全称命题； 2.函数的值域 若直线 与曲线 有公共点
2、，则 的取值范围是（ ） AB C D 答案： D 试题分析：对于曲线 得 ，所以 ，等式两边平方得 ，即 ，即 ，故曲线表示圆 的下半圆，如下图所示，当直线与圆 相切时，则有 ，即 ，解得 或 ，结合图象知 ， 为直线 在轴上的截距，当直线 与 轴的交点位于点 之上时，则此时直线与曲线无公共点，当直线 经过点 时， ，因此实数 的取值范围是 ，故选 D. 考点： 1.函数图象； 2.直线与圆的位置关系 从如图所示的正方形 区域内任取一个点 ，则点 取自阴影部分的概率为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：阴影部分的面积 ，而正方形的面积 ，故点 取自阴影部分的概率为 ，故选 B. 考
3、点： 1.定积分； 2.几何概型 已知函数 ，且 ，则 的值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，所以 ，于是有，整理得 ，所以 ，因此，选 C. 考点： 1.导数； 2.同角三角函数的商数关系； 3.二倍角的正切 一个正三棱柱的正视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：该三棱柱的侧视图为一个矩形，由 “长对正，高平齐，宽相等 ”的原理知，其侧视图的底边长为俯视图正三角形的高 ，侧视图的高为 ，故其侧视图的面积为 ，故选 A. 考点： 1.三视图； 2.侧视图的面积 当 时，下列大小关系正确的是 （ ） A B C D 答案
4、： B 试题分析：当 时， ， ， ，所以 ，选 B. 考点：利用中间值法比较大小 在复平面内 为坐标原点，复数 与 分别对应向量 和 ，则（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由复数的几何意义知， ， ，则，所以 ，故选 B. 考点： 1.复数的几何意义； 2.平面向量的坐标运算； 3.平面向量的模 填空题 如图所示，过 外一点 作一条直线与 交于 、 两点， 切 于 ，弦 过 的中点 已知 ， ，则 . 答案： . 试题分析：由切割线定理得 ，所以，由于点 是 的中点，则 ，由相交弦定理得 . 考点： 1.切割线定理； 2.相交弦定理 直线 与曲线 相交，截得的弦长为 _ 答案：
5、. 试题分析：曲线 的直角坐标方程为 ，标准方程为，表示以点 为圆心，半径长为 的圆，直线 的一般式方程为 ，则圆心到直线的距离为 ，因此直线与圆相交所得的弦长为 . 考点： 1.圆的极坐标方程与普通方程之间的转化； 2.直线的参数方程为一般方程之间的转化； 3.点到直线的距离； 4.勾股定理 某公司租赁甲、乙两种设备生产 、 两类产品，甲种设备每天能生产类产品 件和 类产品 件，乙种设备每天能生产 类产品 件和 类产品件 .已知设备甲每天的租赁费为 元，设备乙每天的租赁费为 元，现该公司至少要生产 类产品 件， 类产品 件，所需租赁费最少为 _元 . 答案： . 试题分析：设该公司需租赁甲设
6、备 台，乙设备 台，则 、 所满足的约束条件为 ，目标函数为 ，作出不等式组 所表示的平面区域如下图所示，作直线 ，则 为直线 在 轴上截距的 倍，联立 ，解得 ，即点，当直线 经过可行域上的点 时，此时直线 在 轴上的截距最小，此时 取最小值，即 . 考点：线性规划应用 已知命题 方程 的两实数根的符号相反；命题 ，使，若命题 “ ”是假命题，则实数 的取值范围是 _. 答案： . 试题分析：设方程 的两根分别为 、 ，则 ，故命题为真命题；由于命题 “ ”为假命题，则命题 为假命题，则 ，成立，则 ，解得 或 ，故实数 的取值范围是 . 考点： 1.复合命题； 2.不等式恒成立 设 ，则的
7、值为 _. 答案： . 试题分析：令 ，即令 得. 考点：二项式系数 若数列 中， ， ，则 _. 答案： . 试题分析：由题意知 ，可得 ，两式相减得，因此数列 中序数为奇数的项相等，所以. 考点：数列的周期性 从一堆苹果中任取 5只，称得它们的质量如下（单位：克） 125 124 121 123 127则该样本标准差 （克）（用数字作答） . 答案： . 试题分析：样本的平均数为 ，故该样本的标准差为. 考点：样本数据的标准差 解答题 已知 中，三条边 所对的角分别为 、 、 ，且. （ 1）求角 的大小； （ 2）若 ，求 的最大值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）
8、在已知条件中，利用边角互化将条件 转化为，于此得到 的值，从而求出角 的大小；（ 2）先利用二倍角的降幂公式与辅助角公式将函数 的式化简为，在（ 1）的条件下，得到 的取值范围是 ，问题转化为求函数 在区间 上取最大值，只需先求 的取值范围，结合正弦曲线确定函数 的最大值 . 试题：（ 1）由正弦定理， ，由 ； （ 2） ，所以 由（ 1），. 考点： 1.边化角； 2.二倍角公式； 3.辅助角公式； 4.三角函数的最值 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 的函数：， ， ， ， ， . （ 1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率
9、； （ 2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）利用性质 “奇函数 +奇函数 =奇函数 ”这一性质得到所抽取的两个函数都是奇函数，然后再用排列组合结合古典概型的概率公式计算相应事件的概率；（ 2）先列举出随机变量 的全部可能取值，利用条件概率的计算公式计算随机变量子在相应的取值下对应的概率，从而列举出随机变量的分布列，最终计算出随机变量的数学期望 . 试题：（ 1）六个函数中是奇函数的有 ， ， ， 由这 3个奇函数中的任意两个函数相加均可得一
10、个新的奇函数 记事件 A为 “任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数 ”， 由题意知 ； （ 2） 可取 1,2,3,4 ， , , ， 故 的分布列为 1 2 3 4 答： 的数学期望为 . 考点： 1.排列组合； 2.条件概率； 3.随机变量的概率分布列与数学期望 已知数列 、 中， ，且当 时， ，.记 的阶乘 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）求证：数列 为等差数列； （ 3）若 ，求 的前 项和 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见；（ 3）数列 的前 项和为. 试题分析：（ 1）根据数列 的通项公式的结构特点选择迭代法求数列 的通项公式；（ 2）在数列 的递推式
11、的两边同时除以 得到，于是得到 ，从而利用定义证明数列 为等差数列；（ 3）在（ 2）的基础上求出数列 的通项公式，并分别求出数列和数列 的通项公式，然后根据数列 的通项结构选择分组求和法，分别对数列 和数列 进行求和，利用裂项法对数列 进行求和，利用错位相减法对数列 进行求和，然后再将两个和相加即可 . 试题：（ 1） ， ， ， ； 又 ，所以 ； （ 2）由 ，两边同时除以 得 ，即 ， 所以数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， ，故 ； （ 3）因为 ， ， 记 ， 记 的前 项和为 ， 则 ， 由 得， ， = . 考点： 1.迭代法求数列的通项； 2.构造法求数列通项； 3.
12、分组求和法； 4.裂项求和法； 5.错位相减法 如图，长方体 中 ， 为 中点 . （ 1）求证： ； （ 2）在棱上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求 的长；若不存在，说明理由； （ 3）若二面角 的大小为 ，求 的长 . 答案：（ 1）详见；（ 2）存在，且 ；（ 3） 的长为 . 试题分析：（ 1）以 为原点， 、 、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，并设 ，利用空间向量法证明 ，从而达到证明 ；（ 2）设点 ，求出 平面 ，利用 平面 转化为 ，利用向量坐标运算求出 知，从而确定点 的坐标，最终得到 的长；（ 3）设 ，利用空间向量法求出二面角 的余弦值的表达
13、式，再结合二面角 为 这一条件求出 的值，从而确定的长度 . 试题：（ 1）以 为原点， 、 、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系， 设 ，则 ， ， ， ， ， 故 ， ， ， ， ， ； （ 2）假设在棱 上存在一点 ，使得 平面 ，此时， 有设平面 的法向量为 ， 平面 ， ， ，得 ， 取 ，得平面 的一个法向量为 ， 要使 平面 ，只要 ，即有 ，由此得 ，解得，即 ， 又 平面 ， 存在点 ，满足 平面 ，此时 ； （ 3）连接 、 ，由长方体 及 ，得， ， 相关试题 2014届广东省执信中学高三上学期期中考试理科数学试卷（带） 设函数 . （ 1）研究函数 的
14、极值点； （ 2）当 时，若对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围； （ 3）证明： . 答案：（ 1）详见；（ 2）实数 的取值范围是 ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）先求出函数 的导数 ，对 的符号进行分类讨论，即对函数 是否存在极值点进行分类讨论，结合函数的单调性或导数符号确定函数的极大值或极小值；（ 2）利用（ 1）中的结论，将问题转化为 ，结合（ 1）中的结论列不等式解参数 的取值范围；（ 3）在（ 2）中，令 ，得到不等式 在 上恒成立，然后令 得到 ，两边同除以 得到 ，结合放缩法得到 ，最后；利用累加法即可得到所证明的不等式 . 试题：（ 1） ， 当 上无极值点 当 p0时
15、，令 的变化情况如下表： x (0， )+ 0 - 极大值 从上表可以看出：当 p0 时， 有唯一的极大值点 （ 2）当 时在 处取得极大值 ， 此极大值也是最大值，要使 恒成立，只需 ， ，即 p的取值范围为 1， + ； （ 3）令 ，由（ 2）知， ， ， , 结论成立 另解：设函数 ，则 ，令 ，解得 ，则 ， 相关试题 2014届广东省执信中学高三上学期期中考试理科数学试卷（带） 已知点 （ ， 是常数），且动点 到 轴的距离比到点 的距离小 . （ 1）求动点 的轨迹 的方程； （ 2）（ i）已知点 ，若曲线 上存在不同两点 、 满足 ，求实数 的取值范围； （ ii）当 时，抛
16、物线 上是否存在异于 、 的点 ，使得经过 、 、三点的圆和抛物线 在点 处有相同的切线，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1）动点 的轨迹 的方程为 ；（ 2）（ i）实数 的取值范围是 ； （ ii）详见 . 试题分析：（ 1）首先由题意得到动点 到直线 和动点 到点 的距离相等，从而得到动点 的轨迹是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，从而求出轨迹 的方程；（ 2）（ i）先由 得到点 为线段 的中点，并设点 ，从而得到 ，并设直线 的方程为，与抛物线的方程联立，结合 与韦达定理在 中消去 ，从而求解参数 的取值范围；（ ii）先假设点 存在，先利用（ i）中
17、的条件求出点、 两点的坐标，并设点 的坐标为 ，设圆的圆心坐标为 ，利用 、 、 三点为圆 上的点，得到 及 ，利用两点间的距离公式得到方程组，在方程组得到 、 与 的关系式，然后利用导数求出抛物线 在点 的切线的斜率，利用切线与圆 的半径 垂直，得到两直线斜率之间的关系，进而求出 的值，从而求出点 的坐标 . 试题：（ 1） ； （ 2）（ i）设 ， 两点的坐标为 ，且 ， ，可得 为 的中点，即 显然直线 与 轴不垂直，设直线 的方程为 ，即， 将 代入 中，得 2分 故 的取值范围为 （ ii）当 时，由（ i）求得 ， 的坐标分别为 假设抛物线 上存在点 （ 且 ），使得经过 、 、三点的圆和抛物线 在点 处有相同的切线设圆的圆心坐标为
