1、2014届广东省梅州市高三 3月总复习质检理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：求解二次不等式可得到 ,所以 ,故选 D 考点：二次不等式 交集 在实数集 R中定义一种运算 “ ”，对任意 , 为唯一确定的实数，且具有性质： （ 1）对任意 ， （ 2）对任意的 ， ； （ 4）对任意 ， 关于函数 的性质，有如下说法： 1函数 f(x)的最小值为 3 2函数 f(x)为奇函数 3函数 f(x)的单调递增区间为，其中所有正确说法的个数 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案： B 试题分析：在（ 3）中，令 c=0，则 容易知道
2、、 不正确，而 易知函数 的单调递增区间为 ，选 B 考点：新概念 奇偶性 单调性 最值 如图，设 D是图中边长为 2的正方形区域 .， E是函数 的图像与 x轴及围成的阴影区域，项 D中随机投一点 ,则该点落入 E中的概率为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：该问题是关于面积的几何概型，所有基本事件的面积为正方形面积4，根据定积分的意义，阴影部分面积 ,所以根据几何概型概率计算公式得 P= ,故选 B. 考点：几何概型 定积分 已知某几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：根据三视图可以判断该几何体为三棱柱，且根据俯视图可知该三
3、棱柱底面为等腰直角三角形，面积为 ，根据主视图得该三棱柱高为 1，所以三棱柱的体积为 ，故选 A 考点：三视图 三棱柱体积 阅读右图的程序框图，则输出 S=( ) A 14 B 20 C 30 D 55 答案： C 试题分析：运行程序框图如下 : 故选 C 考点：程序框图 已知向量 若 ，则 m=( ) A B 2 C D 3 答案： C 试题分析：根据向量加法的坐标运算得 ,因为 ，所以，故选 C 考点：向量加法 向量共线 下列命题中的假命题是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为指数函数的值域为 (0, ),所以 A为真命题 .因为当 x=1时， (x-1)2=0,所以 B为
4、假命题，故选 B 考点：命题真假的判断 全称命题 特称命题 在复平面内，复数 的对应点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限角 D第四象限 答案： B 试题分析：根据复数除法 (分子分母同时乘以分母的共轭复数 )得,则 z所对应点的坐标为 (-1,2),在第二象限 ,故选 B 考点：复数 复数除法 填空题 如右图，从圆外一点 P引圆 O的割线 PAB和 PCD， PCD过圆心，已知PA=1,AB=2,PO=3,则圆 O的半径等于 _. 答案： 试题分析：设半径为 ，则 , .根据割线定理可得 ，即 ，所以 ，所以 . 考点：割线定理 (坐标系与参数方程选讲选做题 )在平面直角坐标系下
5、 xoy中，直线 l的参数方程是 (参数 t R).圆的参数方程为 (参数 )，则圆 C的圆心到直线 l的距离为 _. 答案： 试题分析：消参得到直线 l的普通方程为 x+y-6=0，圆的普通方程为 x2+y2=4，则圆心 (0,2)到直线 x+y-6=0的距离为 ，故填 考点：点到直线的距离参数方程 已知函数 f(x)=x-x,其中 x表示不超过实数 x的最大整数，若关于 x的方程f(x)=kx+k有三个不同的实根，则实数 k的取值范围是 _. 答案： 试题分析：关于 的方程 有三个不同的实数根，转化为 ，两个函数图像有三个不同的交点，函数 的图像如图，函数 恒过定点为 ，观察图像易得： .
6、 考点：新概念数形结合 已知集合 ， B=x/ax2+bx+c 0,若则 的最小值 _. 答案： 试题分析：解二次不等式得 ，因为所以 B=-1,4,则不等式 ax2+bx+c 0的解集为 -1,4,即 a0,且 ax2+bx+c=0的根为 -1， 4，则根据根与系数的关系得带入 得 ，由于 a0，则由基本不等式得 ，当且仅当 时，不等式取得等号，所以 的最小值为 ，故填 . 考点：不等式集合交集与并集二次不等式根与系数的关系 已知双曲线 C的焦点、实轴端点恰好是椭圆 的长轴的端点、焦点，则双曲线 C的方程为 _. 答案： 试题分析：椭圆 的焦点在 x轴上，且长轴端点坐标为 ，焦点为,所以双曲
7、线 C的焦点、实轴端点分别为 ， ，所以双曲线的方程为 ，故填 . 考点：双曲线几何性质与标准方差椭圆几何性质 (2x-1)5的展开式 x3项的系数是 _.(用数字作答 ) 答案： 试题分析：根据二项式定理可得 (2x-1)5的第 项展开式为 ,则n=3时，得到展开式 x3项为 ,所以系数为 80，故填 80 考点：二项式定理 函数 ，则 f(f(0)的值为 _. 答案： 试题分析：因为 ，所以 ,则 f(f(0)=f(1)=1. 考点：分段函数 解答题 已知函数 的部分图像如图所示 . （ 1）求函数 f(x)的式，并写出 f(x)的单调减区间； （ 2） 的内角分别是 A,B,C.若 f(
8、A)=1, ,求 sinC的值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）根据函数的图像可以得到函数 f(x)的周期与最大值，则可以求的 A, 的值，在带入函数的一个最值点坐标即可求出 的值 (注意范围 )，就可以得到函数 f(x)式，再根据正弦函数 sinx的单调区间和复合函数单调性的判断(同增异减 )，即可得到函数 f(x)的单调区间 . （ 2）把 f(A)=1带入函数式即可求的 A角的大小，在根据三角形内角和为 1800和正弦的和差角公式就可以求出 sinC的值 . 试题： （ 1）由图象最高点得 A=1， 1分 由周期 . 2分 当 时， ，可得 ， 因为 ，所以 . 4分 由
9、图象可得 的单调减区间为 . 6分 （ 2）由（ I）可知， , ， ， . 8分 . 9分 10分 . 12分 考点：三角函数图像特殊角度的三角函数值正弦和差角公式 某班共有学生 40人，将以此数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示 . （ 1）请根据图中所给的数据，求 a的值； （ 2）从成绩在 50,70)内的学生中随机选 3名学生，求这 3名学生的成绩都在60,70)内的概率； （ 3）为了了解学生这次考试的失分情况，从成绩在 50,70)内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用 X表示所选学生成绩在 60,70)内的人数，求 X的分布列和数学期望 . 答案：（ 1）
10、（ 2） （ 3） 试题分析： （ 1）频率分布直方图的纵坐标为频率与组距之比，故可以求的每组的频率，根据每个组的概率之和为 1可以求的 a的值 . （ 2）从频率分布直方图中可以得到 50,70)被分为两组 50,60)与 60,70)和两组的频率，频率乘以总数 40人就可以得到各组的人数，在两组中无序的抽 3人可以用组合数算得总的基本事件数，再用组合数可以求的在 60,70)内抽取 3人的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式，即可得到该事件的概率 . （ 3）由第二问可知 X的可能取值为 1， 2， 3，再采用与第二问相同的方法可以算的 X取 1， 2， 3时，的概率得到分布列，进而得
11、到期望 . 试题： （ 1）根据频率分布直方图中的数据，可得 ， 所以 2分 （ 2）学生成绩在 内的共有 400.05=2人，在 内的 共有400.225=9人， 成绩在 内的学生共有 11人 4分 设 “从成绩在 的学生中随机选 3名，且他们的成绩都在 内 ”为事件A， 则 所以选取的 3名学生成绩都在 内的概率为 6分 （ 3）依题意， 的可能取值是 1， 2， 3 7分 ； ； 10分 所以 的分布列为 1 2 3 12分 考点：古典概型分布列期望频率分布直方图 如图，在四棱锥 P-ABCD中， ABCD为平行四边形， 平面 PAB, .M为 PB的中点 . （ 1）求证： PD/平面
12、 AMC； （ 2）求锐二面角 B-AC-M的余弦值 . 答案： (1)证明过程详见 ;（ 2） . 试题分析： （ 1）连接 ，设 与 相交于点 ，连接 ，要证明线面平行，只需要在面 AMC中找到一条直线 OM与 PD平行即可，该问考虑构造三角形的中位线来证明，来证明线面平行，即 OM为三角形 PBD是边 PD的中位线，线线平行就可以得到线面平行 . （ 2）求二面角的关键是找到二面角的平面角，根据角 BPA为 30度且 AB为PB的一半利用三角形正弦定理即可证明三角形 ABP是以角 PAB为直角的直角三角形，即可以得到 PA与 AB垂直，由 BC与面 PAB垂直可以 得到 BC与 PA垂直
13、，进而有 PA垂直于面 ABCD中的两条相交的线段，则有 PA垂直与底面ABCD.为作出得到二面角的平面角，作 ，垂足为 ，连接 ，则有 MF为三角形 PAB的中位线，得到 MF也垂直于底面，即PA与 AC垂直，又 AC与 GF垂直，则有角 MGF就是所求二面角的平面角，利用中位线求出 MF，利用勾股定理求出 GF长度，得到二面角的平面角 MGF的三角函数值，就得到求出二面角的角度 . 试题： （ 1）证明：连接 ，设 与 相交于点 ，连接 ， 四边形 是平行四边形， 点 为 的中点 2分 为 的中点 ， 为 的中位线， / . 4分 ， / 6分 （ 2）不妨设 则 . 在 中 , , 得
14、, 即 ,且 . 8分 平面 ， 平面 , 故 ， 且 , . 取 的中点 ，连接 ，则 / ，且 10分 平面 , . 作 ，垂足为 ，连接 ， ， ， 为二面角 的平面角 12分 在 中 , ,得 . 在 相关试题 2014届广东省梅州市高三 3月总复习质检理科数学试卷（带） 设等比数列 an的前 n项和为 Sn.已知 an+1=2Sn+2( ) （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）在 an与 an+1之间插入 n个数，使这 n+2个数组成一个公差为 dn的等差数列， 在数列 dn中是否存在三项 dm， dk， dp（其中 m,k,p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这 样的三项
15、，若不存在，说明理由； 求证： . 答案：（ 1） （ 2）见 试题分析： （ 1）利用 Sn与 an之间的关系 ,即可得到关于 an+1,an的递推式，证明 an为等比数列，且可以知道公比，当 n=1时，可以得到 a1与 a2之间的关系，在根据 an等比数列，可以消掉 a2得到首项的值，进而得到通项公式 . （ 2）根据等差数列公差与项之间的关系 ( ),可以得到 ，带入 an得到 dn的通项公式 . 假设存在， dm， dk， dp成等比数列，可以得到关于他们的等比中项式子，把 dn的通项公式带入计算可以得到 ，则 m,k,p既成等差数列也是等比数列，所以三者相等，与数列 dn中是否存在三
16、项 dm， dk， dp(不相等 )矛盾 ,所以是不存在的 . 利用 (2)所得求出 的通项公式，再利用错位相减可以求得,利用不等式的性质即可得到 证明原式 . 试题： （ 1）由 , 可得： , 两式相减： . 2分 又 , 因为数列 是等比数列，所以 ，故 . 所以 . 4分 （ 2）由（ 1）可知 ， 因为： ，故： . 6分 假设在数列 中存在三项 （其中 成等差数列）成等比数列， 则： ，即： , （ *） 8分 因为 成等差数列，所以 , （ *）可以化简为 ，故 ，这与题设矛盾 . 所以在数列 中不存在三项 （其中 成等差数列）成等比数列 .10分 令 ， , 11分 两式相减：
17、 13分 . 14分 考点：等比数列错位相减法不等式等差等比中项 如图，椭圆 C： 的左顶点为 A， M是椭圆 C上异于点A的任意一点，点 P与点 A关于点 M对称 . （ 1）若点 P的坐标 ，求 m的值； （ 2）若椭圆 C上存在点 M，使得 ，求 m的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： （ 1）根据 m的取值范围可以判断椭圆 C的焦点，得到点 A的坐标，则根据点与点的中点坐标公式可以用点 P,A的坐标计算得到点 M的坐标，把 M点的坐标带入椭圆即可求的 m的值 . （ 2）从题得 A,P关于 M对称，则可以设出 M点的坐标，得到 P点的坐标 (中点的坐标公式 )，因为 O
18、M与 OP垂直，则根据向量的内积为 0可以得到关于 M点坐标的方程，则把该方程与 M点满足的椭圆方程联立消纵坐标即可求出 m关于M点横坐标的方程，再利用基本不等式就可以求出 m的取值范围 (注意取得等号条件的验证与 m值本身具有正数的范围 ) 试题： （ 1）依题意， 是线段 的中点，因为 ， 所以点 的坐标为 2分 由点 在椭圆 上，所以 ，解得 4分 （ 2）设 ，则 ，且 5分 因为 是线段 的中点，所以 7分 因为 ，所以 9分 由 ， 消去 ，整理得 11分 所以 ， 13分 当且仅当 时，上式等号成立 所以 的取值范围是 14分 考点：椭圆几何性质椭圆标准方程不等式 已知函数 f(
19、x)=ax2+ln(x+1). （ 1）当 a= 时，求函数 f(x)的单调区间； （ 2）当 时，函数 y=f(x)图像上的点都在 所表示的平面区域内，求实数 a的取值范围； （ 3）求证： （其中 ,e是自然数对数的底数） 答案：（ 1） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 （ 2）（ 3）见 试题分析： （ 1）函数 f(x)是二次与对数的结合，求单调性可以利用导数，以此先求定义域，求导，求导函数大于 0与小于 0分别求出单调递增与单调递减区间 . （ 2）要使得函数 图象上的点都在 所表示的平面区域内，则当时， 不等式 恒成立即可，即转化了恒成立问题，则只需要 ,故考虑对 求导求单调性
20、来确定函数在 上的最大值，因为导函数含有参数 a，所以在求解单调性确定最值的过程中需要讨论 a的范围，讨论需从两根的大小和 0的大小进行分 析才能确定 的最值，从而得到 a的取值范围 . （ 3）考虑把不等式两边 同时去对数再证明，即证明 ，利用对数的乘法公式可以把不等式的左边化解成为不可求和数列的和，在利用利用（ 2）得到当 a=0时， ln(1+x) 是恒成立的，把不可求和数列放缩成为可以裂项求和的数列，裂项利用 ，进而证明原不等式 . 试题： （ 1）当 时， （ ）， （ ）， 1分 由 解得 ，由 解得 故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 3分 （ 2）因函数 图象上的点都在 所表示的平面区域内，则当时， 不等式 恒成立，即 恒成立， 设 （ ），只需 即可 4分 由 ， （ ）当 时， ，当 时， ， 函数 在 上单调递减，故 成立 5分 （ ）当 时，由 ，因 ，所以 ， ，即 时，在区间 上， ，则函数 在 上单调递增， 在 上无最大值（或：当 时， ），此时不满足条件； 若 ，即 时，函数 在 上单调递减， 在区间 上单调递增，同样 在 相关试题 2014届广东省梅州市高三 3月总复习质检理科数学试卷（带）
