1、2014届广东省汕头四中高三第二次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， ，故 C选项正确 . 考点： 1.集合间的包含关系； 2.集合间的基本运算 对于任意两个正整数、 ，定义某种运算 “ ”如下：当、 都为正偶数或正奇数时， ；当、 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， .则在此定义下，集合 中的元素个数是（ ） A个 B 个 C 个 D 个 答案： B 试题分析：当 、 都是正偶数或正奇数时， ，则 的可能值为 、 、 ，共 个；当 、 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， ，则 的可能值为 、 、 、 ，共 个，故选
2、 B. 考点：新定义 已知函数 ，若过点且与曲线 相切的切线方程为 ，则实数 的值是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：设切点坐标为 ， ， ，故，曲线 在点 处的切线方程为，由于该切线过点 ，则有 ，解得 ，故 ，故选 D. 考点：利用导数求切线方程 不等式组 表 示的平面区域的面积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：在平面直角坐标系中作出不等式组 所表示的可行域如下图中的阴影部分区域所表示， 该区域为直角三角形，且 ， ，故选 A. 考点：二元一次方程组与可行域 对于平面 、 、 和直线 、 、 、 ,下列命题中真命题是（ ） A若 ， ，则 B若 ， ，则 C若 ，
3、 ， ，则 D若， ， ， ，则 答案： C 试题分析：由直线与平面垂直的判定定理知， A选项中缺少直线与直线 相交，故不能得到 ； B选项中缺少 ，故因此不能得到 ； C选项刚好是对 这一条件应用直线与平面平行的性质定理， C选项正确； D选项中缺少直线 与直线相交，因而不能得到 ，故选 C. 考点： 1.直线与平面垂直的判定定理； 2.直线与平面平行的判定定理； 3.直线与平面平行的性质定理； 4.平面与平面平行的判定定理 已知直线 与直线 平行且与圆 相切，则直线 的方程为（ ） A B 或 C D 或 答案： D 试题分析：设直线 的方程为 ，将圆的方程 化为标准式为 ，圆心坐标为 ，
4、半径长为 ，由于直线 与圆相切，则有 ，整理得 ，解得 或 ，故直线 的方程为 或 ，故选 D. 考点： 1.两直线的位置关系； 2.直线与圆 的位置关系 已知平面向量 ， ，且 ，则向量 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ，且 ， ，解得 ， 故 ，故选 A. 考点： 1.平面向量垂直； 2.平面向量的坐标运算 复数 在复平面上对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 试题分析：，对应的点的坐标为 ，位于第二象限，故选 B. 考点： 1.复数的除法运算； 2.复数的几何意义 填空题 如图， 为圆 直径， 切圆 于点 ， ， ， ， ，
5、则 等于 . 答案： . 试题分析：连接 ，则 ，由于 ， ，且 ， ，故四边形 为直角梯形，且 为 的中点，故 为梯形 为中位线，所以 . 考点：梯形的中位线 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆 的圆心到直线的距离是 . 答案： . 试题分析：化圆 的方程为直角坐标方程为 ，化为标准方程为，圆心坐标为 ，直线 的直角坐标方程为 ，它的一般方程为，故圆 的圆心到直线 的距离是. 考点： 1.极坐标方程与 直角坐标方程之间的转化； 2.点到直线的距离 一物体在力 （单位： ）的作用下沿与力 相同的方向，从处运动到 （单位：）处，则力 做的功为 焦 . 答案： . 试题分析：设 处运动到
6、（单位：）处所做的功为 焦，则. 考点：定积分 设 是 上的奇函数， . 当 时，有 ，则. 答案： . 试题分析：由题意知， . 考点： 1.函数的周期性； 2.函数的奇偶性 已知直线与直线 垂直，则直线的倾斜角 . 答案： 或 . 试题分析：由于直线 的斜率为 ，由于两条直线相互垂直，两条直线的斜率的乘积为 ，故所求直线的斜率为 ，所以 . 考点： 1.直线垂直； 2.直线的倾斜角与斜率 已知等差数列 满足 ， ，则此数列的前 项的和 . 答案： . 试题分析：法一：由于数列 是等差数列， ，；法二：设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，. 考点： 1.等差数列的基本性质； 2.等差数列求
7、和 下图是某高三学生进入高中三年来第次到 次的数学考试成绩茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数为 . 答案： . 试题分析：将上述茎叶图中的数据按照由小到大排列的顺序依次是 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个数，故该组数据的中位数为 . 考点： 1.茎叶图； 2.中位数 解答题 已知函数 ， . （ 1）求 的最大值和最小正周期； （ 2）若 ， 是第二象限的角，求 . 答案：（ 1）函数 的最大值为 ，最小正周期为 ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先利用辅助角公式将函数 的式化简为的形式，进而求出函数 的最大值与最小正周期 ；（ 2）先利用已知条件求出 的值，再结合角
8、的取值范围，求出 的值，最后利用二倍角公式求出 的值 . 试题：（ 1）， ， ， 即 函数 的最大值为 ，最小正周期为 ； （ 2） ， ， 为第二象限角， ，因此， . 考点： 1.辅助角公式； 2.三角函数的最值； 3.三角函数的周期性； 4.同角三角函数的基本关系； 5.二倍角 某社团组织名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动，活动内容是： 1.到各社区宣传慰问，倡导文明新风； 2.到指定的医院、福利院做义工，帮助那些需要帮助的人 .各位志愿者根据各自的实际情况，选择了不同的活动项目，相关的数据如下表所示： 宣传慰问 义工 总计 岁至 岁 大于 岁 总计 （ 1）分层抽样方法在做义工
9、的志愿者中随机抽取 名，年龄大于 岁的应该抽取几名？ （ 2）上述抽取的 名志愿者中任取 名，求选到的志愿者年龄大于 岁的人数的数学期望 . 答案：（ 1）在年龄大于 岁的应该抽取 名；（ 2）选到的志愿者年龄大于 岁的人数的数学期望为 . 试题分析：（ 1）先设抽取的人数为 ，利用分层抽样中总体的抽样比与各层中的抽样比相等这一特点列 式求解 的值；（ 2）将随机变量的可能取值列举值，利用超几何分布以及排列组合的思想求出随机变量在相应的可能取值时的概率，并列举出随机变量的分布列，最后利用公式求出随机变量的数学期望 . 试题：（ 1）利用分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取 名，设年龄大于 岁
10、的应该抽取 名， 则 ，即在年龄大于 岁的应该抽取 名； （ 2）在上述抽取的 名志愿者中任取 名，设选到的志愿者年龄大于 岁的人数为， 则随机变量的可能取值有 、 、 ， ， ， ， 故随机变量的分布列如下表所示： 故 随机变量的数学期望 . 考点： 1.分层抽样； 2.随机变量的分布列与数学期望 如图，已知三棱锥 的侧棱 、 、两两垂直，且， ， 是的中点 . （ 1）求 点到面 的距离； （ 2）求二面角 的正弦值 . 答案：（ 1）；（ 2） . 试题分析：（ 1）解法一是利用等体积法求出点 到平面 的距离，具体做法是：先利用 、 、两两垂直以及它们的长度计算出三棱锥 的体积，然后将此
11、三棱锥转换成以点 为顶点，以 所在平面为底面的三棱锥通过体积来计算点 到平面 的距离；解法二是直接利用空间向量法求点 到平面 的距离；（ 2）解法一是通过三垂线法求二面角 的正弦值，即 在平面 内作，垂足为点 ，连接 、 ，证明 ， ，从而得到为二面角 的平面角，再选择合适的三角形求出 的正弦值；解法二是直接利用空间向量法求二面角 的余弦值，进而求出它的正弦值 . 试题：解法一：（ 1）如下图所示，取 的中点 ，连接、 ， 由于 ， ，且， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， ， 为 的中点， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， ，且 ， ， 为 的中点， ， 平面 ，
12、 平面 ， ， ， 而 ， ， 设点 到平面 的距离为 ，由等体积法知， ， 即 相关试题 2014届广东省汕头四中高三第二次月考理科数学试卷（带） 已知等差数列 的公差 ，它的前 项和为 ，若 ，且 、 、 成等比数列 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设数列 的前 项和为，求证： . 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）先利用基本量法列二元一次方程组求出 和 ，然后利用等差数列的通项公式求出数列 的通项公式；（ 2）先利用等差数列的求和公式求出 ，并利用裂项求和法求出数列 的前 项和，从而证明 ，再利用作差法得出数列 的单调性，从而得出数列 中的最小项为 ，从而证
13、明 ，进而证明所得不等式 . 试题：（ 1）由题意知 ， 且 ，整理得 ，由于 ， 于是有 ， ， ； （ 2） ， ， ， 由于 ，所以数列 单调递增，故 最小， 即 ，综上所述 . 考点： 1.等差数列的通项公式； 2.等差数列求和； 3.裂项求和法 在平面直角坐标系 中，点 为动点， 、 分别为椭圆的左、右焦点已知 为等腰三角形 . （ 1）求椭圆的离心率 ； （ 2）设直线 与椭圆 相交于 、 两点， 是直线 上的点，满足，求点 的轨迹 方程 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先利用平面向量的数量积确定 为钝角，从而得到当时，必有 ，根据两点间的距离公式列有关 、
14、、 的方程，求出 与之间的等量关系，从而求出离心率的值；（ 2）先求出直线 的方程，与椭圆方程联立求出交点 、 的坐标，利用 以及 、 、 三点共线列方程组消去 ，从而得出点 的轨迹方程 . 试题：（ 1）设椭圆 的焦距为 ，则 ， ， ， ， ，所以 为钝角， 由于 为等腰三角形， ， ，即， 即 ，整理得 ，即 ， 由于 ，故有 ，即椭圆的离心率为 ； （ 2）易知点 的坐标为 ，则直线 的斜率为 ， 故直线 的方程为 ，由于 ， ， 故椭圆的方程为 ，即 ， 将直线 的方程代入椭圆方程并化简得 ，解得 或 ， 于是得到点 ， ， （ 2）设点 的坐标为 ，由于点 在直线 上，所以， ，
15、， ， 即 ， 整理得 ，即点 的轨迹方程为 . 考点： 1.椭圆的方程； 2.两点间的距离； 3.平面向量的数量积； 4.动点的轨迹方程 已知二次函数，且不等式 的解集为 . （ 1）方程 有两个相等的实根，求 的式； （ 2） 的最小值不大于 ，求实数 的取值范围； （ 3） 如何取值时，函数 存在零点，并求出零点 . 答案：（ 1） ；（ 2）实数 的取值范围是 ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）根据不等式 的解集为 得到、 为方程 的实根，结合韦达定理确定 、 、 之间的等量关系以及 这一条件，然后利用有两个相等的实根得到 ，从而求出 、 、 的值，最终得到函数 的式；（ 2）在
16、的条件下，利用二次函数的最值公式求二次函数 的最小值，然后利用已知条件列有关参数 的不等式，进而求解实数 ；（ 3）先求出函数 的式，对首项系数为零与不为零进行两种情况的 分类讨论，在首项系数为零的前提下，直接将 代入函数式，求处对应的零点；在首项系数不为零的前提下，求出 ， 对 的符号进行三中情况讨论，从而确定函数 的零点个数，并求出相应的零点 . 试题：（ 1）由于不等式的解集为 ， 即不等式 的解集为 ， 故、 为方程 的两根，且 ， 由韦达定理得 ， ， 由于方程 有两个相等的实根，即方程 有两个相等的实根， 则 ， 由于 ，解得 ， ， ， 所以 ； （ 2）由题意知， ， ，由于 ，则有， 解得 ，由于 ，所以 ，即实数 的取值范围是 ； （ 3）（ ） 当 时，方程为 ，方程有唯一实根 ， 即函数 有唯一零点 ； 当 时， ， 方程（ ）有一解 ，令 ， 得 或 ， ，即 或 ， （ i）当 时， （ （负根舍去）， 函数 有唯一零点 ； （ ii）当 时， 的两根都是正数， 所以当 或 时， 函数 有唯一零点 相关试题 2014届广东省汕头四中高三第二次月考 理科数学试卷（带）
