1、2014届广东省深圳市宝安区高三上学期调研考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，所以 ，因此，选 D. 考点：集合的基本运算 给出下列关于互不相同的直线 和平面 的四个命题： 若 ， ，点 ，则 与 不共面； 若 、 是异面直线， ， ，且 ， ，则 ； 若 ，则 ； 若 ， ， ， ， ，则 . 其中为假命题的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：对于命题 ，假设 与 共面，则直线 与 平行或相交，由于， ，则点 和直线 确定平面 ，又直线 与 共面，则直线 与确定平面 ，则直线 为平面 与平面 的交线，由于
2、 而 ，所以，由公理 可知， ，这与 矛盾，故假设不成立，故 与 不共面，命题 为真命题；对于命题 ，因为 ，则在平面 存在直线 ，使得 ，同理，在平面内存在直线 ，使得 ，由于直线 与直线 为异面直线，则 与 相交， 且 ，所以 且 ，由于 ，所以 ；对于命题 ，如 ， ，当 时， ， ，但是直线 与 无交点，则直线 与 平行或异面，故命题 错误；对于命题 ，由平面与平面平行的判定定理可知命题 正确，故选 D. 考点：空间中点、线、面的位置关系 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序 .若输入 的值为 ，则输出的结果为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：第一次循环， ， ， ，
3、不成立； 第二次循环， ， ， ， 不成立； 第三次循环， ， ， ， 不成立； 第四次循环， ， ， ， 成立，跳出循环体，输出 . 考点：算法与程序框图 椭圆 的离心率大于 的充分必要条件是（ ） A B C D 或答案： D 试题分析：设椭圆的离心率为 ，当 时，焦点落在 轴上， ，解得 ；当 时，焦点落在 轴上，则 ，综上所示，实数 的取值范围是 ，故选 D. 考点： 1.椭圆的离心率； 2.充分必要条件 将函数 的图像向右平移 个单位长度后，所得到的图像关于 轴对称，则 的最小值为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得到的函数式为 ，
4、此函数的图象关于 轴对称，则 ，解得 ，由于 ，当 ， 取最小值 ，故选C. 考点： 1.三角函数的图象平移； 2.三角函数的对称性 若点 位于曲线 与 所围成的封闭区域，则 的最小值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：作由曲线 与直线 所围成的封闭区域如下图所示，对于函数 而言，当 ， ，联立 ，解得 ，即点 ，作直线，则 为直线 在 轴上截距的两倍，当直线 经过区域上的点 时，直线 在 轴上的截距最小，此时 取最小值，即 ，故选 A. 考点：线性规划 已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ） . A 或 B C D 答案： A 试题分析： ，解得 ，故选 A. 考点：平面向量的数量
5、积 等差数列 中， ， ，则此数列 前 项和等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由于数列 是等差数列，所以 ，解得 ，所以 ，因此，故选 C. 考点： 1.等差数列的性质； 2.等差数列求和 设 是虚数单位，若复数 是实数，则 的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 为实数，则，解得 ，故选 D. 考点： 1.复数的四则运算； 2.复数的概念 下列函数中，既是偶函数又在区间 上是单调递减函数的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：对于 A选项，函数 为奇函数，且在区间 上单调递减，不合乎题意；对于 B选项， 是偶函数，且在区间 上是单调递减函数，合乎题意；
6、对于 C选项， ，该函数为非奇非偶函数，且在区间 上单调递减，不合乎题意；对于 D选项， 为偶函数，当 时， ，则函数在区间 上单调递增，不合乎题意，故选 B. 考点： 1.函数的奇偶性； 2.函数的单调性 填空题 在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （参数 ），圆的参数方程为 （参数 ），则圆心到直线 的距离为 _. 答案： . 试题分析：直线 的一般方程为 ，圆心坐标为 ，故圆心到直线的距离为 . 考点： 1.参数方程与直角坐标方程之间的转化； 2.点到直线的距离 如图，在 中， ， 圆 经过 、 ，且与 、分别相交于 、 .若 ，则圆 的半径 _. 答案： . 试题分析：连接 ，由于
7、 ，则 为圆 的直径，在 中， ，在 中，因此 . 考点： 1.锐角三角函数； 2.勾股定理 设常数 ，若 对一切正实数 成立，则 的取值范围为_. 答案： . 试题分析：当 ， 时，由基本不等式得 ，当且仅当 ，即当 时，函数 取最小值，即 . 考点：基本不等式 据统计，高三年级男生人数占该年级学生人数 .在上次考试中，男、女生数学平均分数分别为 、 ，则这次考试该年级学生平均分数为_. 答案： . 试题分析：设高三年级的男学生数为 ，则该校高三年级的女学生人数为 ，则这次考试该年级学生的平均数为 . 考点：样本的平均数 下图中的三个直角三角形是一个体积为 的几何体的三视图，则 . 答案：
8、. 试题分析：由三视图知，该几何体是一个三棱锥，且底面是直角三角形，其底面积 ，故其体积 ，解得 . 考点： 1.三视图； 2.三棱锥的体积 解答题 已知函数 ， . （ 1）当 为何值时， 取得最大值，并求出其最大值； （ 2）若 ， ，求 的值 . 答案：（ 1）当 时，函数 取得最大值，其值为 ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先利用二倍角公式以及辅助角公式将函数 的式进行化简，化简为 的形式，在 的前提下，只需令 ，可以得出函数 的最大值，并且可以解出函数 取最大值时对应的 值；（ 2）先利用已知条件 求出 ，再利用同角三角函数的基本关系求出 的值，最后利用两角差的正弦公式求出 的值
9、. 试题：（ 1） ， 当 ，即当 时，函数 取得最大值，其值为 ； （ 2）由 得 ，化简得 又由 得， ，故 = . 考点： 1.二倍角公式； 2.辅助角公式； 3.三角函数的最值； 4.同角三角函数的基本关系； 5.两角差的正弦公式 随着工业化的发展，环境污染愈来愈严重 .某市环保部门随机抽取 60名市民对本市空气质量满意度打分，把数据分 、 、 、 六段后得到如下频率分布表： 分组 频数 频率 合计 （ 1）求表中数据 、 、 的值； （ 2）用分层抽样的方法在分数 的市民中抽取容量为 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 人在分数段 的概率 . 答案：（ 1） ， ， ；（ 2）
10、. 试题分析：（ 1）利用各组数据的概率之和为 求出 的值，然后根据样本容量、总容量以及频率三者之间的关系求出 和 的值；（ 2）先对所选取的人进行编号，然后将时间空间中的基本事件进行列举，并将事件 “分层抽样的方法在分数60,80）的市民中抽取容量为 6的样本，从中任取 1人在分数段 ”，并确定相应的基本事件数目，然后再利用古典概型的概率计算公式计算相应事件的概率 . 试 题：（ 1） ， ， ； （ 2） 60， 70）共 9人， 70,80)共 18人 . 分层所抽取的 6人中 60， 70）的 2人， 70,80)的 4人，分别编号 a,b,1,2,3,4设事件 A为 “从中任取 2人
11、，至多有 1人在分数段 ”。 从 6人中任取两人的基本事件有 15种：（ ab）（ a1）（ a2）（ a3）（ a4）（ b1）（ b2）（ b3）（ b4）（ 12）（ 13）（ 14）（ 23）（ 24）（ 34） 至多有 1人在分数段 的基本事件有 9种：（ ab）（ a1）（ a2）（ a3）（ a4）（ b1）（ b2）（ b3）（ b4） 考点： 1.样本容量、总容量以及频率三者之间的关系 ;2.古典概型 在如图的多面体中， 平面 ， ， ， ， ， ， 是 的中点 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证： ； （ 3）求三棱锥 的体积 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见；
12、（ 3）三棱锥 的体积为 . 试题分析：（ 1）证明四边形 为平行四边形，进而得到 ，再利用直线与平面平行的判定定理得到 平面 ；（ 2）过点 作 交于点 ，连接 、 、 ，先证明 平面 ，于是得到平面 ，从而得到 ，再证明四边形 为菱形，从而得到 ，利用直线与平面垂直的判定定理得到 平面 ，从而得到；（ 3）由 平面 ，由 ，得到 平面 ，从而将三棱锥 的体积的计算变换成以点 为顶点，以 所在平面为底面的三棱锥来计算体积 . 试题：（ 1） AD EF， EF BC， AD BC 又 BC=2AD， G是 BC的中点， AD/BG， 四边形 ADGB是平行四边形， AB DG AB 平面 D
13、EG， DG 平面 DEG， AB 平面 DEG （ 2）证明： EF 平面 AEB， AE 平面 AEB， EF AE， 又 AE EB， EBEF=E， EB， EF 平面 BCFE， AE 平面 BCFE 过 D作 DH AE交 EF于 H，则 DH 平面 BCFE EG 平面 BCFE， DH EG AD EF， DH AE， 四边形 AEHD平行四边形， EH=AD=2， EH=BG=2，又 EH BG， EH BE， 四边形 BGHE为正方形， BH EG， 又 BHDH=H， BH 平面 BHD， DH 平面 BHD， EG 平面 BHD BD 平面 BHD， BD EG（ 10
14、分） （ 3） 平面 ,EF/AD, AD 平面 ,故三棱锥 A-BED的高为 AD , S AEB = = = S AEB= （ 14分） 考点： 1.直线与平面平行； 2.异面直线垂直； 3.等体积法计算三棱锥的体积 设数列 的前 项和为 ，且 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设 ，求证：. 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）在 和 的关系式中，先利用 这一特点，令 代入式子中求出 的值，然后令 ，由 求出 的表达式，然后就的值是否符合 的通项进行检验，从而最终确定数列 的通项公式；（ 2）先求出数列 的通项公式，根据通项公式的特点利用等差数列求和公式求出 ，
15、然后根据数列 的通项公式的特点选 择裂项法求和 ，从而证明相应不等式 . 试题：（ 1）当 时， 当 时， ，此式对 也成立 （ 2）证明：设 ，则 所以 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， . 考点： 1.定义法求数列通项； 2.等差数列求和； 3.裂项法求和 已知点 直线 ， 为平面上的动点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，且 . （ 1）求动点 的轨迹方程； （ 2） 、 是轨迹 上异于坐标原点 的不同两点，轨迹 在点 、 处的切线分别为 、 ，且 ， 、 相交于点 ，求点 的纵坐标 . 答案：（ 1）动点 的轨迹方程为 ；（ 2）点 的纵坐标为 . 试题分析：（ 1）设动点 的坐标为
16、，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点 的轨迹方程；（ 2）先设点 ，利用导数求出曲线 在点 和点 处的切线方程，并将两切线方程联立，求出交点 的坐标，利用两切线垂直得到 ，从而求出点 的纵坐标 . 试题：（ 1）设 ，则 ， ， 即 ，即 ， 所以动点 的轨迹 M的方程 4分 （ 2）设点 、 的坐标分别为 、 ， 、 分别是抛物线 在点 、 处的切线， 直线 的斜率 ，直线 的斜率 . , , 得 . 、 是抛物线 上的点 , 直线 的方程为 ,直线 的方程为 . 由 解得 点 的纵坐标为 . 考点： 1.动点的轨迹方程； 2.利用导数求切线方程； 3.两直线的位置关系； 4.两直线
17、的交点 已知函数 . （ 1）若曲线 在 和 处的切线相互平行，求 的值； （ 2）试讨论 的单调性； （ 3）设 ，对任意的 ，均存在 ，使得.试求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见；（ 3）实数 的取值范围是 . 试题分析：（ 1）先求出函数 的导数，利用条件 “曲线 在 和处的切线相互平行 ”得到 ，从而在方程中求出 的值；（ 2）对参数 的符号进行分类讨论，以确定方程 的根是否在定义域内，并对 时，就导数方程的根 与 的大小进行三种情况的分类讨论，从而确定函数的单调区间；（ 3）将问题中的不等式等价转化为 ，充分利用（ 2）的结论确定函数 在区间 上的最大值，从而求出
18、参数的取值范围 . 试题：函数 定义域为 ， （ 1） 函数 依题意， ，即 ，解得 ； （ 2） ， 当 时， ， ， 在区间 上， ；在区间 上， ， 故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时， ， 在区间 和 上， ；在区间 上， ， 故函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； 当 时， ，故 的单调递增区间为 ； 当 时， ， 在区间 和 上， ；在区间 上， ， 故函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； （ 3）由已知，在 (0,2上有 f(x)max g(x)max. 由已知， g(x)max 0，由 (2)可知， 当 a 时， f(x)在 (0,2上单调递增， 故 f(x)max f(2) 2a-2(2a 1) 2ln2 -2a-2 2ln2， -2a-2 2ln2 0，解得 a ln2-1， ln2-1 0，故 ln2-1 a . 当 a 时， f(x)在 上单调递增，在 上单调递减， 故 f(x)max f -2- -2lna. 由 a 可知 lna ln ln -1,2lna -2， -2lna 2， -2-2lna 0，即 f(x)max 0，符合题意。 综上所述， a ln2-1. 考点： 1.利用导数求切线方程； 2.函数的单调区间； 3.函数不等式
