1、2014届广东省深圳市宝安区高三上学期调研考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，集合 ， ，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， ， ，所以，选 D. 考点：集合的基本运算 给出下列关于互不相同的直线 和平面 的四个命题： 若 ， ，点 ，则 与 不共面； 若 、 是异面直线， ， ，且 ， ，则 ； 若 ，则 ； 若 ， ， ， ， ，则 . 其中为假命题的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：对于命题 ，假设 与 共面，则直线 与 平行或相交，由于， ，则点 和直线 确定平面 ，又直线 与 共面，则直线 与确定平面 ，则直线 为平面 与平面 的交线
2、，由于 而 ，所以，由公理 可知， ，这与 矛盾，故假设不成立，故 与 不共面，命题 为真命题；对于命题 ，因为 ，则在平面 存在直线 ，使得 ，同理，在平面内存在直线 ，使得 ，由于直线 与直线 为异面直线，则 与 相交， 且 ，所以 且 ，由于 ，所以 ；对于命题 ，如 ， ，当 时， ， ，但是直线 与 无交点，则直线 与 平行或异面，故命题 错误；对于命题 ，由平面与平面平行的判定定理可知命题 正确，故选 D. 考点：空间中点、线、面的位置关系 函数 是（ ） A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的偶函数 答案： D 试题分析：
3、 ，故函数 是最小正周期为的偶函数，选 D. 考点： 1.诱导公式； 2.二倍角公式； 3.三角函数的周期性； 4.三角函数的奇偶性 运行下图框图输出的 是 254，则 应为（ ） . A B C D 答案： C 试题分析：假设填入的条件为 ，第一次循环， 成立， ，； 第二次循环， 成立， ， ； 第三次循环， 成立， ， ； 依次类推，第 次循环， 成立， ， 不成立，跳出循环体，输出 ，解得 ，故选C. 考点： 1.算法与程序框图； 2.等比数列求和 下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：对于 A选项，函数 的定义域为 ，函数 是
4、非奇非偶函数， A选项不合乎题意；对于 B选项，函数 的定义域为， ，函数 为奇函数，且函数 在 上为减函数， B选项符合题意；对于 C选项，函数 为奇函数，但是函数 在其定义域上不是减函数， C 选项不合乎题意；对于 D选项，函数 是奇函数，函数 在区间 和 上都是递减的，但是函数 在定义域上不是递减的， D选项不合乎题意，选 B. 考点： 1.函数的奇偶性； 2.函数的单调性 为了了解深圳市高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 100名年龄为17.518 岁的男生体重（ kg） ,得到频率分布直方图如下： 根据上图可得这 100名学生中，体重在 56.5,64.5的学生人数是（ ） A B
5、 C D 答案： C 试题分析：由频率分布直方图知，体重在 的学生所占的比率为，故体重在 的学生人数为 ，选 C. 考点：频率分布直方图 已知平面向量 ， ，则向量 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ，故选 B. 考点：平面向量的坐标运算 复数 其中 是虚数单位） （ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，故选 A. 考点：复数的四则运算 填空题 在极坐标系中，经过点 作圆 的切线，则切线的极坐标方程为 _. 答案： . 试题分析：圆 的直角坐标方程为 ，化成标准方程得，表示以点 为圆心，以 为半径长的圆，点 的直角坐标为 ，由于 ，即点 在圆上，故过点且与圆相切的直线的
6、方程为 ，其极坐标方程为 . 考点： 1.极坐标与直角坐标的转化； 2.圆的切线方程 如图， 的割线 交 于 、 两点，割线 经过圆心 ，已知， ， ，则 的半径是 _. 答案： . 试题分析：设圆 的半径为 ，则 ， ，由割线定理得 ，届 ，即 ， 解得 . 考点：割线定理 实数 、 满足 ，若目标函数 取得最大值 ，则实数的值为 _. 答案： . 试题分析：作不等式组 所表示的可行域如下图所示，联立，解得 ，即点 ，作直线 ，则 为直线 在 轴上的截距，当直线 经过可行域上的点 时，直线 在 轴上的截距最大，此时 取最大值，即 . 考点：线性规划 以抛物线 的焦点为圆心，且与双曲线 的两条
7、渐近线都相切的圆的方程为 . 答案： . 试题分析：抛物线 的焦点坐标为 ，双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，所以圆的半径为 ，所以圆的方程为. 考点： 1.抛物线的焦点； 2.双曲线的渐近线； 3.直线的位置关系； 4.圆的标准方程 已知 为等差数列，若 ，则 的值为 _. 答案： . 试题分析：由于数列 为等差数列，所以 ，所以，故 . 考点： 1.等差数列的性质； 2.诱导公式 若函数 ， ，则 的值为 _. 答案： 试题分析：由题意知， ，所以，解得 . 考点： 1.分段函数； 2.定积分 下图中的三个直角三角形是一个体积为 的几何体的三视图，则 . 答案： . 试题分析：由三视图知，该
8、几何体是一个三棱锥，且底面是直角三角形，其底面积 ，故其体积 ，解得 . 考点： 1.三视图； 2.三棱锥的体积 已知函数 . （ 1）若曲线 在 和 处的切线相互平行，求 的值； （ 2）试讨论 的单调性； （ 3）设 ，对任意的 ，均存在 ，使得.试求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见；（ 3）实数 的取值范围是 . 试题分析：（ 1）先求出函数 的导数，利用条件 “曲线 在 和处的切线相互平行 ”得到 ，从而在方程中求出 的值；（ 2）对参数 的符号进行分类讨论，以确定方程 的根是否在定义域内，并对 时，就导数方程的根 与 的大小进行三种情况的分类讨论，从而确定函数的单
9、调区间；（ 3）将问题中的不等式等价转化为 ，充分利用（ 2）的结论确定函数 在区间 上的最大值，从而求出参数的取值范围 . 试题：函数 定义域为 ， （ 1） 函数 依题意， ，即 ，解得 ； （ 2） ， 当 时， ， ， 在区间 上， ；在区间 上， ， 故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时， ， 在区间 和 上， ；在区间 上， ， 故函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； 当 时， ，故 的单调递增区间为 ； 当 时， ， 在区间 和 上， ；在区间 上， ， 故函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； （ 3）由已知，在 (0,2上有 f(x)m
10、ax g(x)max. 由已知， g(x)max 0，由 (2)可知， 当 a 时， f(x)在 (0,2上单调递增， 故 f(x)max f(2) 2a-2(2a 1) 2ln2 -2a-2 2ln2， -2a-2 2ln2 0，解得 a ln2-1， ln2-1 0，故 ln2-1 a . 当 a 时， f(x)在 上单调递增，在 上单调递减， 故 f(x)max f -2- -2lna. 由 a 可知 lna ln ln -1,2lna -2， -2lna 2， -2-2lna 0，即 f(x)max 0，符合题意。 综上所述， a ln2-1. 考点： 1.利用导数求切线方程； 2.函
11、数的单调区间； 3.函数不等式 解答题 已知函数 的部分图像如图所示 . （ 1）求函数 的式； （ 2）若 ， ，求 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先由图象得到函数的最大值为 ，然后由对称轴与相邻的对称点计算出周期 ，进而求出 ，最后将最高点的坐标代入函数式，结合的取值范围求出 ，从而确定函数 的式；（ 2）由 求出的值，再利用同角三角函数的基本关系求出 ，最后利用两角差的余弦公式计算出 的值 . 试题：（ 1）由图象知 的最小正周期 ,故 将点 代入 的式得 ,又 , 故函数 的式为 ； （ 2） ，. 考点： 1.三角函数的图象； 2.同角三角函数的平方关系； 3
12、.两角差的余弦公式 为了参加 2013年东亚运动会，从四支较强的排球队中选出 18人组成女子排球国家队，队员来源如下表： 对别 北京 上海 天津 广州 人数 4 6 3 5 （ 1）从这 18名对员中随机选出两名，求两人来自同一个队的概率； （ 2）比赛结束后，若要求选出两名队员代表发言，设其中来自北京的人数为 ，求随机变量 的分布列，及数学期望 . 答案：（ 1）两人来自同一个队的概率为 ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）先确定两人来自同一个队有几种情况，然后利用排列组合的思想结合古典概型的概率计算求出相应事件的概率；（ 2）先列出随机变量 的可能取值，按照超几何分布的概率计算方法算出随
13、机变量在相应的取值下对一的概率，然后列出随机变量 的概率分布列，并算出随机变量 的数学期望 . 试题：（ 1） “从这 18 名队员中随机选出两名，两人来自于同一队 ”记作事件 ， 则 . （ 2） 的所有可能取值为 0， 1， 2. ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 P . 考点： 1.古典概型； 2.离散型随机变量的分布列及数学期望 如图，三棱锥 中， 平面 ， ， 为 中点 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求二面角 的正弦值 . 答案：（ 1）详见；（ 2）二面角 的正弦值为 . 试题分析：（ 1）要证直线 平面 ，只需证 垂直于平面 内的两条相交直线，首先在等腰三角形中利用三
14、线合一的原理得到 ，通过证明 平面 ，得到 ，再结合直线与平面垂直的判定定理证明平面 ；（ 2）解法一是利用三垂线法来求二面角 的正弦值，利用 平面 ，从点 作 的中位线 ，得到 平面 ，再过点 作 ，并连接 ，先利用直线 平面 来说明 为二面角的平面角，最后在直角三角形 中来计算 的正弦值；解法二是以点 为原点， 、 的方向分别为 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求二面角 的余弦值，进而求出它的正弦值 . 试题：（ 1） 平面 ， 平面 ， ， ， 平面 ， 平面 ， ， 平面， 又 平面 ， ， ， 为 的中点， ， 平面 ， 平面 ， ， 平面 ； （ 2）方法一：取
15、 的中点 ，连接 ，则 . 由已知得 面 ，过 作 ， 为垂足，连接 ， 由（ 1）知， 平面 ， 平面 ， ， ，且 相关试题 2014届广东省深圳市宝安区高三上学期调研考试理科数学试卷（带） 设数列 的前 项和为 ，且 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设 求证：. 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）在 和 的关系式中，先利用 这一特点，令 代入式子中求出 的值，然后令 ，由 求出 的表达式，然后就的值是否符合 的通项进行检验，从而最终确定数列 的通项公式；（ 2）先求出数列 的通项公式，根据通项公式的特点利用等差数列求和公式求出 ，然后根据数列 的通项公式的特
16、点选择裂项法求和 ，从而证明相应不等式 . 试题：（ 1）当 时， 当 时， ，此式对 也成立 （ 2）证明：设 ，则 所以 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， . 考点： 1.定义法求数列通项； 2.等差数列求和； 3.裂项法求和 已知点 直线 ， 为平面上的动点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，且 . （ 1）求动点 的轨迹方程； （ 2） 、 是轨迹 上异于坐标原点 的不同两点，轨迹 在点 、 处的切线分别为 、 ，且 ， 、 相交于点 ，求点 的纵坐标 . 答案：（ 1）动点 的轨迹方程为 ；（ 2）点 的纵坐标为 . 试题分析：（ 1）设动点 的坐标为 ，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点 的轨迹方程；（ 2）先设点 ，利用导数求出曲线 在点 和点 处的切线方程，并将两切线方程联立，求出交点 的坐标，利用两切线垂直得到 ，从而求出点 的纵坐标 . 试题：（ 1）设 ，则 ， ， 即 ，即 ， 所以动点 的轨迹 M的方程 4分 （ 2）设点 、 的坐标分别为 、 ， 、 分别是抛物线 在点 、 处的切线， 直线 的斜率 ，直线 的斜率 . , , 得 . 、 是抛物线 上的点 , 直线 的方程为 ,直线 的方程为 . 由 解得 点 的纵坐标为 . 考点： 1.动点的轨迹方程； 2.利用导数求切线方程； 3.两直线的位置关系； 4.两直线的交点
