1、2014届广东省韶关市高三调研测试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 , ， ,则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，所以 ，选 C 考点：二次不等式 交集 设实数 x、 y满足 ，则 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：作出可行域如图，当平行直线系 在直 线 BC 与点 A间运动时， ，此时 ，平行直线线 在点 O 与 BC 之间运动时， ，此时， . .选 B 考点：线性规划 已知向量 与 的夹角为 ,且 ,若 ,且 ,则实数 的值为 ( ） A B C D答案： D 试题分析： 得 , 选 D 考点：向量内积 垂直 已知某几何体的三视图如
2、图所示，则该几何体的体积为 ( ) A B CD 答案： C 试题分析：由三视图易知，该几何体是底面积为 ，高为 3的三棱锥，由锥体的体积公式得 .选 C 考点：三视图 三棱锥体积 函数 是（ ） A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数 答案： A 试题分析： ，所以 是最小正周期为 的奇函数，选 A 考点：余弦倍角公式 诱导公式 周期 奇偶性 已知椭圆与双曲线 的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 ，那么椭圆的离心率等于 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为双曲线的焦点在 x轴上 ,所以设椭圆的方程为,
3、因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 ,所以根据椭圆的定义可得 ,则 , ,选 B 考点：椭圆定义 离心率 若 ，则有（ ） . A B C D 答案： A 试题分析： ， ， ，选 A. 考点：指数 对数 单调性 已知 是实数， 是纯虚数，则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 是纯虚数，则 ； ，选 A 考点：复数除法 纯虚数 填空题 在极坐标系中 ,圆 的圆心到直线 的距离是 答案： 试题分析：如下图 , 设圆心到直线距离为 ，因为圆的半径为 ，考点：参数方程 极坐标 点线距离 如图 , 是圆 的直径 ,点 在圆 上 ,延长 到 使 ,过 作圆的切线交 于 .若 , 则
4、 _. 答案： 试题分析：利用已知条件和切割线定理可得 ， 考点：相似三角形 切割线定理 已知函数 ，且关于 x的方程 有且只有一个实根，则实数 a的取值范围是 _. 答案： 试题分析：如图，在同一坐标系中分别作出 与 的图象，其中a表示直线在 y轴上截距，由图可知，当 时，直线 与 只有一个交点 . 考点：分段函数图像 数形结合 不等式 解集是 _. 答案： 试题分析：设 ，则 .由，解得 ，所以解集为 考点：分段函数图像 不等式 已知实数 ，执行如图所示的程序框图，则输出的 不小于 47的概率为 答案： 试题分析：由几何概型得到输出的 x不小于 47的概率为 P= = 考点：程序框图 几何
5、概型 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为_. 答案： 试题分析： ， ， 切线方程 ，即考点：导数 切线 等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 答案： 试题分析：因为 为等差数列 ,所以根据等差数列的性质 (下脚标之和相等对应项之和相等 )可得 ,再根据等差数列的前 n项和公式可得,故填 6. 考点：等差数列 前 n项和 解答题 如图，在 中， ， , 点 是 的中点 , 求 （ 1）边 的长； （ 2） 的值和中线 的长 答案：（ 1） 2 （ 2） 试题分析： （ 1）利用角 C的余弦值通过正余弦之间的关系可以求的 C角的正弦值，已知角 B的大小可以计算角 B的正弦值 ,在三角形 AB
6、C 中 ,已知角 c,角 B的正弦值与b边的大小 ,则可以根据三角形 ABC的正弦定理即可求的 AB长 . （ 2）从（ 1）和已知可以求的 B,C两个角的正余弦值，由于三角形内角和 180度，故 A角的余弦值可以通过诱导公式和余弦的和差角公式转化为 B,C两角正余弦值来表示，从而得到 A角的余弦值 ,在三角形 ADC 中利用 A角的余弦定理即可求的 CD的长度 . 试题： （ 1）由 可知， 是锐角， 所以， .2分 由正弦定理 5分 (2) 8分 由余弦定理 : 12分 考点：正余弦和差角公式 三角形正余弦定理 某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成
7、频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为 ， ， ， ， . （ 1）求直方图中 的值； （ 2）如果上学路上所需时间不少于 60分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校 1000名新生中有多少名学生可以申请住宿； （ 3）现有名上学路上时间小于 分钟的新生，其中人上学路上时间小 于分钟 . 从这人中任选人，设这人中上学路上时间小于 分钟人数为 ,求 的分布列和数学期望 答案：（ 1） 0.025 （ 2） 120 （ 3） 试题分析： （ 1）根据频率分布直方图可以得到组距，而频率分布直方图的纵坐标与组距之积为频率，各组频率之和为 1即可得到 x的值 . （ 2）
8、根据频率分布直方图求出上学路上所需时间不少于 60 分钟的学生的频率，频率乘以总人数即可得到可以留宿学生的人数 . （ 3）根据题意可得 X的取值为 0， 1， 2，首先利用组合数计算 6选 2人无序的基本事件数，再利用组合数求的 X分别为 0， 1， 2，时的基本事件数，根据古典概型的概率计算公式即可得到相应的概率，从而得到分布列， X的值与对应的概率乘积之和即为期望 . 试题： （ 1）由直方图可得： . 所以 . 2分 （ 2）新生上学所需时间不少于 60分钟的频率为： 4分 因为 所以 名新生中有 名学生可以申请住宿 . 6分 （ 3） 的可能取值为 0， 1， 2. 7分 所以 的可
9、能取值为 分 所以 的分布列为： 0来源 :学 |科 |网 1 2 11分 12分 考点：古典概型 频率分布直方图 频率 分布列 期望 如图所示的多面体中， 是菱形， 是矩形， 平面 ， (1) 求证：平面 平面 ； (2) 若二面角 为直二面角，求直线 与平面 所成的角 的正弦值 答案：（ 1）见 （ 2） 试题分析： （ 1）根据面面平行的判断，要证明平面 平面 AED，只需要证明面 FCB内两条相交的直线 FB,BC 与面 AED 平行，而 BF 与 ED平行， BC 与 AD平行，即可得到两相交直线都与面 AED平行，进而得到面面平行 . （ 2）该题方法比较多，可以利用几何法和坐标法
10、，在此重点几何法，延长到 ，使 ,由已知可得， 是平行四边形，又 矩形，所以是平行四边形， 共面，由上证可知， ，, 相交于 ， 平面 ， 为所求 . 试题： （ 1）矩形 中， 1分 平面 ， 平面 , 平面 ， 2分 同理 平面 , 3分 又 平面 平面 4分 （ 2）取 的中点 . 由于 面 , , 又 是菱形， 是矩形， 所以， 是全等三角形， 所以 ， 就是二面角 的平面角 8分 解法 1（几何方法）： 延长 到 ，使 ,由已知可得， 是平行四边形，又 矩形，所以 是平行四边形， 共面，由上证可知， ， , 相交于 ， 平面 ， 为所求 . 由 已知函数 （ 1）当 时，求 的单调区
11、间； （ 2）若 在 的最大值为 ，求 的值 . 答案：（ 1） 在 上是增函数 （ 2） 试题分析： （ 1）对函数求导，求导函数大于 0和小于 0的解集，该函数的导函数为二次函数，且含有参数，可以通过判断该二次函数的图像的开口零点个数等确定导函数大于 0和小于 0的解集，进而得到单调区间 . （ 2）通过 (1)可以得到 时，函数在区间 1,3的单调性得到最大值求出 8(并判断是否符合 )， a1时，继续通过讨论 f(x)的导函数，通过对导函数 (为二次函数 )的开口 根 的个数 根的大小与是否在区间 1,3来确定原函数在区间 1,3上的最值，进而得到 a的值 . 试题： (1) .1分
12、其判别式 ， 因为 ， 所以， ，对任意实数， 恒成立， 所以， 在 上是增函数 .4分 （ 2）当 时，由（ 1）可知， 在 上是增函数，所以 在的最大值为 ，由 ，解得 （不符合，舍去） 6分 当 时 ， ，方程 的两根为 ， ， 8分 图象的对称轴 因为 （或 ） , 所以 由 解得 当 ， ，因为 ，所以 时， ,在 是函数， 在 的最大值 ，由 ，解得 （不符合，舍去） . 12分 当 ， ， ， ， 在 是减函数， 当时， ， 在 是增函数 .所以 在 的最大值或 ，由 ， ，解得 （不符合，舍去）， 14分 综上所述 考点：导数 最值 单调性 二次函数 已知 为公差不为零的等差数
13、列，首项 ， 的部分项 、 、 、恰为等比数列，且 ， ， . （ 1）求数列 的通项公式 （用 表示）； （ 2）设数列 的前 项和为 , 求证： （ 是正整数 答案：（ 1） （ 2）见 试题分析： （ 1）由题得 a1,a5,a17是成等比数列的，所以 ，则可以利用公差 d和首项 a来表示 ，进而得到 d的值，得到 an的通项公式 . （ 2）利用第一问可以求的等比数列 、 、 、 中的前三项，得到该等比数列的通项公式，进而得到 的通项公式，再利用分组求和法可得到 Sn的表达式，可以发现 为不可求和数列，所以需要把 放缩成为可求和数列，考虑利用 的二项式定理放缩证明 ，即 ，故求和即可证
14、明原不等式 . 试题： （ 1）设数列 的公差为 ， 由已知得 ， ， 成等比数列， ，且 2分 得 或 已知 为公差不为零 ， 3分 . 4分 （ 2）由（ 1）知 5分 而等比数列 的公比 . 6分 因此 ， 7分 9分 当 时， （或用数学归纳法证明此不等式） 11分 当 时， ，不等式成立； 当 时， 综上得不等式 成立 . 14分 法二 当 时， 设抛物线 的焦点为 ，点 ，线段 的中点在抛物线上 .设动直线 与抛物线相切于点 ，且与抛物线的准线相交于点 ，以 为直径的圆记为圆 （ 1）求 的值； （ 2）试判断圆 与 轴的位置关系； （ 3）在坐标平面上是否存在定点 ，使得圆 恒过
15、点 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由 答案：（ 1） （ 2）见 （ 3）存在 试题分析： （ 1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到 FA的中点坐标带入抛物线即可求的 P的值 . （ 2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为 0即可得到 k,m之间的关系，可以用 k来替代 m，得到 P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q 点的坐标，利用中点坐标公式可得到 PQ中点坐标，通过讨论 k的取值范围得到中点到 x轴距离与圆半径 (PQ 为直径 )的大小比较即可判断圆与 x轴的位置关系 . （ 3）由 (2)可以得到 PQ 的坐标 (用 k 表示 )，根据抛
16、物线对称性知点 在 轴上，设点 坐标为 ，则 M点需满足 ，即向量内积为 0，即可得到 M点的坐标， M点的坐标如果为常数 (不含 k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在 . 试题： 解：（ 1）利用抛物线的定义得 ，故线段 的中点的坐标为 ，代入方程得 ，解得 。 2分 （ 2）由（ 1）得抛物线的方程为 ，从而抛物线的准线方程为 3分 由 得方程 ， 由直线与抛物线相切，得 4分 且 ，从而 ，即 ， 5分 由 ，解得 ， 6分 的中点 的坐标为 圆心 到 轴距离 ， 8分 ， 当 时， ，圆 与 轴相切； 当 时， ，圆 与 轴相交； 9分 (或，以线段 为直径圆的方程为 : 令 得 当 时， ，圆 与 轴相切； 当 时， ，圆 与 轴相交； 9分 （ 3）方法一：假设平面内存在定点 满足条件，由抛物线对称性知点 在轴上，设点 坐
