1、2014届江苏省兴化市高三上学期期中调研测试文科数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 ，集合 ，则 答案： 试题分析：集合 中的元素在 中的只有 1，所以 . 考点：交集的概念 . 已知函数 则 的最大值与最小值的乘积为 答案： 试题分析： ，而 ，所以，当 时， ；当 时，因此 .考点：不等式的应用 . 设实数 满足 ，则 的取值范围是 答案： 试题分析：不等式组表示的平面区域为图中 及其内部，其中 ， ， 表示动点 原点连线的斜率，因为 ，所以当取最大（小）值时，同时 取最小（大）值，由图可知当 时，同时 ，所以 ，当 时，同时 ，所以 ，所以 的取值范围是 . 考点：简单的线性规划
2、 . 已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则 答案： 试题分析： 对任意的 ，都有，又可以证明对任意 ，所以 ，所以用倒序相加法可求出结果为. 考点：函数的对称性、对数的运算性质 . 已知在 中， ， ，设 是 的内心，若，则 答案： 试题分析：建立如图所示坐标系， ， ，设 ，则，又 ，所以（ 1），同理， ， ，（ 2），根据（ 1）和（ 2）得 ，所以 ，由 ，得，解得 ，所以 . 考点：平面向量及其运算 . 曲线 和 在它们的交点处的两条切线与 轴所围成的三角形的面积是 答案： 试题分析： 和 联立解得两曲线的交点为（ 1， 1）， 的导函数为 ，所以它在交点处切线的斜率为 -1，它在交
3、点处切线的方程为，它与 轴交点的坐标为（ 2， 0）， 的导函数为 ，所以它在交点处切线的斜率为 2，它在交点处切线的方程为 ，它与 轴交点的坐标为 ，所以两条切线与 轴所围成的三角形的面积为. 考点：曲线的切线、曲线的交点 . 集合 ， ，则集合 的所有元素之和为 答案： 试题分析： ，其元素之和为 ，其元素之和为 ，又 ，所以集合的所有元素之和为 135 105-15 225. 考点：集合的运算 . 已知函数 在 上有三个零点，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析： ，所以 的极大值为，极小值为 ，由函数 在 上有三个零点，知且 ，所以实数 的取值范围 . 考点：三次函数的图象与性质 .
4、 已知函数 ，则函数 的值域为 答案： 试题分析：函数 在 上是减函数，在 上是增函数，且 ， ，所以函数 的值域为 . 考点：函数的单调性和值域 . 在 中，已知 ，则 的大小为 答案： 试题分析：由正弦定理，条件可化为 ，由余弦定理得，又 ，所以 . 考点：正弦定理、余弦定理 . 计算： 答案： 试题分析： . 考点：指数与对数的运算 . 已知函数 是奇函数，且当 时， ，则当 时，的式为 答案： 试题分析：函数 是奇函数，当 时，. 考点：奇函数的概念 . 若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 答案： 试题分析：根据函数 在定义域上是减函数，知 ，而，所以有 .考点：指数函数的单调性
5、. 设向量 a、 b满足： |a| ,|b| , ，则向量 a与 b的夹角为 答案： 试题分析：设 的夹角为 ，则由向量数量积的定义有 ，又 ，所以 . 考点：向量数量积的定义 . 解答题 已知数列 的前 项的和为 ，点 在函数的图象上 （ 1）求数列 的通项公式及 的最大值； （ 2）令 ，求数列 的前 项的和； （ 3）设 ，数列 的前 项的和为 ，求使不等式对一切 都成立的最大正整数 的值 答案：（ 1） ， 取得最大值 12；（ 2） ；（ 3）. 试题分析：（ 1）这是一个已知数列前 的和求数列的通项公式的问题，解题思路非常明显，就是利用 ，本题的易错点就是不进行分类讨论，丢掉了 的
6、情况，求 的最大值既可由 的表达式入手，配方即可，也可从数列的单调性变化放手，求出最大值；（ 2）易知 是一个等比数列，所以就是等差乘等比型数列，可用错位相减法求和；（ 3）根据数列 的特点可用裂项相消法求出其前 项的和为 ，再求出其最小值，根据不等式恒成立易求出结果 . 试题：（ 1）因为点 在函数 的图象上 所以 ， 当 时， 当 时， 满足上式，所以 又 ，且 所以当 或 4时， 取得最大值 12 （ 2）由题意知 所以数列 的前 项的和为 所以 ， 相减得 ， 所以 （ 3）由（ 1）得 所以 易知 在 上单调递增，所以 的最小值为 不等式 对一切 都成立，则 ，即 所以最大正整数 的
7、值为 18 考点：等差数列、等比数列、错位相减法和裂项相消法 . 设函数 . （ 1）当 时，证明：函数 不是奇函数； （ 2）设函数 是奇函数，求 与 的值； （ 3）在（ 2）条件下，判断并证明函数 的单调性，并求不等式的解集 . 答案：（ 1）详见；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：（ 1）当 时， ，函数的定义域为 ，要证明函数不是奇函数，从奇函数的定义出发，可考虑选一个特殊值 ，满足，若 最简单；（ 2）由函数是奇函数，则有对函数定义域内的任意一个 ，都满足 ，由此等式恒成立可得关于 的等式求出 ，也可先用特殊数值求出 ，再进行检验；（ 3）先判断函数的单调性，再用定义法或导数法证
8、明，再解不等式，解不等式时可直接求解，也可利用函数单调性求解 . 试题：（ 1）当 时， 由 ，知函数 不是奇函数 . （ 2）由函数 是奇函数，得 ， 即 对定义域内任意实数 都成立，化简整理得 对定义域内任意实数 都成立 所以 ，所以 或 经检验 符合题意 . （ 3）由（ 2）可知 易判断 为 R上的减函数，证明如下： 因为 ，所以 为 R上的减函数； 由 ，不等式 即为 ，由 在 R上的减函数可得， 所以不等式的解集为 . 另解：由 得，即 ，解得 ，所以 . （注：若没有证明 的单调性，直接解不等式，正确的给 3分） 考点：函数的的单调性和奇偶性 . 已知某公司生产品牌服装的年固定成
9、本为 10万元，每生产千件，须另投入2.7万元，设该公司年内共生产品牌服装 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 万元，且 （ 1）写出年利润 （万元）关于年产量 （千 件）的函数式； （ 2）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ 答案：（ 1） ；（ 2） 9. 试题分析：（ 1）年利润销售总收入 -总成本，所以 ，由于是分段函数，所以 也是分段函数；（ 2）这是一个求分段函数最大值的问题，通常要先求出各段中 的最大值，然后再比较这两个值，其中较大的一个即为所求，在各段求最大值时，要根据函数特点，适当选择方法，如利用基本不不等式，配方，导数等 . 试题：（ 1）
10、由题意得 ， 即 （ 2） 当 时， 则 ， 当 时， ，则 递增；当 时， ，则 递减； 当 时， 取最大值 万元 当 时， 当且仅当 ，即 取最大值 38 综上，当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大 考点：函数在实际问题中的应用 . （ 1）解不等式： ； （ 2）已知集合 ， 若 ，求实数 的取值组成的集合 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）本题是一个对数不等式问题的求解问题，解不等式时，先由对数函数的单调性得到真数的取值范围，不要忘记了真数为正的要求，此时就可化为一般的分式不等式解之即可，分式不等式要去分母时，要注意符号的讨论；（ 2） ，
11、由 知 ，要具体化集合 的过程中，要解一个含有参数的不等式，要对参数进行分类讨论，然后对各种情况下的结果利用解决问题，较为简单的做法是，集合 中的元素都在集合 ，都满足不等式，代入即可解决问题 . 试题：（ 1）由 得， 由 解得 或 由 解得 或 从而得原不等式的解集为 （ 2）法一： ， 又 ， ， 当 时， ，满足题意 当 时， ， ，解得 当 时， ， ，解得 综上，实数 的取值组成的集合为 法二： ， 又 ， ， 实数 的取值组成的集合为 考点：对数函数的性质、解不等式、集合的包含关系 . 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 m， n ， m n （ 1）求 的大小； （ 2）若
12、， ，求 的面积 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由 ，结合向量数量积的定义，可得关于 的三角函数关系式，然后对三角函数关系式进行适当变形处理，直到能求出 的某个三角函数即可；（ 2）本题本质上就是一个解三角形的问题，沟通三角形中的边角关系主要是正弦定理和余弦定理，在 中，已知 ，求其面积，可先用余弦定理求出 ，再用面积公式求出面积，也可先用正弦定理求出 ，再得，进而用三角形面积公式求出面积 . 试题：解：（ 1）法一：由题意知 m n 即 ， ，即 ， ， ，即 法二：由题意知 m n 即 ，即 ， ， （ 2）法一：由余弦定理知 ，即 ， ，解得 ，（ 舍去） 的面积为
13、法二：由正弦定理可知 ，所以 ，因为 所以 ， 的面积为 设函数 ， ，其中实数 （ 1）若 ，求函数 的单调区间； （ 2）当函数 与 的图象只有一个公共点且 存在最小值时，记 的最小值为 ，求 的值域； （ 3）若 与 在区间 内均为增函数，求实数 的取值范围 答案：（ 1）详见；（ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）这是一个三次函数求单调区间的问题，此类问题比较熟悉，三次函数的导数为二次函数，它的零点容易求出，但要注意对零点大小的比较，才能准确写出单调区间；（ 2）函数 与 的图象只有一个公共点，知方程 只有一个根（含重根），结合 有最小值，可求出 的取值范围，而 是一个二次函数，易得它提最小值 ，最后可求出 的值域；（ 3）由（ 1）的过程和结果易知 的单调增区间， 应是其子区间，再由 的单调增区间， 也应是其子区间，从而确定 的取值范围，要注意分类讨论思想的应用 . 试题：（ 1） ，又 当 或 时， ；当 时， 的递增区间为 和 ，递减区间为 （ 2）由题意知 即 恰有一根（含重根） ，即 ， 又 ，且 存在最小值，所以 又 ， ， 的值域为 （ 3）当 时， 在 和 内是增函数， 在 内是增函数，由题意得 ，解得 当 时， 在 和 内是增函数， 在 内是增函数，由题意得 ，解得 综上可知，实数 的取值范围为 考点：函数的综合应用 .
