1、2014届江苏省南京市高三 9月学情调研文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知函数 ，若存在实数 、 、 、 ，满足，其中 ，则 的取值范围是 . 答案： . 试题分析：如下图所示， 由图形易知 ， ，则 ， ， ， ，令 ，即 ，解得 或 ，而二次函数 的图象的对称轴为直线 ，由图象知， ， ，点 和点 均在二次函数 的图象上，故有 ， ，由于，当 时， ， ， ， ， ，由于函数 在 上单调递减，且 ， ， ， ， ，即 . 考点：函数的图象、对数函数、二次函数的单调性 填空题 已知集合 ，集合 ，则 . 答案： 或 . 试题分析： ， ，. 考点：集合的交集运算 如图，某小区拟在空地
2、上建一个占地面积为 2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为 2米怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积 . 答案：当休闲广场的长为 米，宽为 米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为 平方米 . 试题分析：先将休闲广场的长度设为 米，并将宽度也用 进行表示，并将绿化区域的面积 表示成 的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件 . 试题：设休闲广场的长为 米，则宽为 米，绿化区域的总面积为 平方米， 6分 ，
3、8分 因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号 12分 此时 取得最大值，最大值为 . 答：当休闲广场的长为 米，宽为 米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为 平方米 . 14分 考点：矩形的面积、基本不等式 如图，已知过椭圆 的左顶点 作直线 交 轴于点 ，交椭圆于点 ，若 是等腰三角形，且 ，则椭圆的离心率为 . 答案： . 试题分析：由于 为等腰三角形，且 ，故有 ，则点 的坐标为 ，设点 的坐标为 ， ， ，则有 ，解得，即点 的坐标为 ，将点 的坐标代入椭圆的方程得，解得 ，即 ， ，. 考点：共线向量、椭圆的离心率 已知四边形 是矩形， ， ， 是线段 上的动点，是 的中点若 为
4、钝角，则线段 长度的取值范围是 . 答案： . 试题分析：法一：如下图所示，设 ，则 ，由勾股定理易得， ， ，由于 为钝角，则 ，则有 ，即 ，即，解得 ； 法二：如下图所示， 设 ，则 ，以点 为坐标原点， 、 所在的直线分别为 轴、轴建立平面直角坐标系 ，则 ， ， ， ， 是钝角，则，即 ，整理得 ，解得 ，且、 、 三点不共线，故有 ，解得 . 考点：余弦定理、勾股定理、平面向量的数量积 设函数 是定义在 上的偶函数，当 时， .若 ，则实数 的值为 . 答案： . 试题分析：当 时， ，解得 ；当 时， ，由于函数 是偶函数， ，解得 ，综上所述， . 考点：函数的奇偶性 如图，在
5、 中， 、 分别为边 、 的中点 . 为边 上的点，且 ，若 ， ，则 的值为 . 答案： . 试题分析： 为 的中点， ， ， ， . 考点：平面向量的基底表示 在等差数列 中， ，则数列 的前 项和 . 答案： . 试题分析：设等差数列 的首项 与公差 的方程组，则有 ，解得 ，故 . 考点：等差数列的前 项和 曲线 在点 处的切线方程是 . 答案： 或 . 试题分析： , ，当 时， ，故曲线在点 处的切线方程是 ，即 或 . 考点：利用导数求函数图象的切线方程 已知点 在不等式 表示的平面区域上运动，则 的最大值是 . 答案： . 试题分析：如下图所示，不等式组 所表示的可行域如下图中
6、的阴影部分表示，在直线方程 ，令 ，解得 ，得点 的坐标为 ，作直线 ，其中 可视为直线 在 轴上的截距，当直线 经过区域中的点 时，直线 在 轴上的截距最大，此时 取最大值，即 . 考点：线性规划 若一个圆柱的侧面展开图是边长为 2的正方形，则此圆柱的体积为 . 答案： . 试题分析：设圆柱的底面半径为 ，高为 ，底面积为 ，体积为 ，则有，故底面面积 ，故圆柱的体积. 考点：圆柱的体积 口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为 1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于 5的概率为 . 答案： . 试题分析：利用 、 表示第一次和第二次从袋子中抽取的球的
7、编号，用表示其中一个基本事件，则事件总体所包含的基本事件有： ， ， ， ， ，共 个；事件 “取出的两个球的编号大于 ”所包含的基本事件有： ， ，共 个，所以事件 “取出的两个球的编号大于”发生的概率 . 考点：古典概型 下图是某算法的流程图，其输出值 是 . 答案： . 试题分析：第一次循环， ， 不成立，执行第二次循环；， 不成立，执行第三次循环；第三次循环， 不成立，执行第四次循环；第四次循环， 成立，跳出循环体，输出的 值为 . 考点：算法与程序框图 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 . 答案： . 试题分析： ， ， . 考点：复数的除法运算、复数的模 命题 “ ”的否定是
8、. 答案： . 试题分析：由全称命题的否定知，命题 “ ”的否定是“ ”. 考点：命题的否定 解答题 已知函数 （ 为常数） （ 1）当 时，求 的单调递减区间； （ 2）若 ，且对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1）函数 的单调递减区间为 ；（ 2）实数 的取值范围是. 试题分析：（ 1）将 代入函数式并求出相应的导数，利用导数并结合函数的定义域便可求出函数的单调递减区间；（ 2）构造新函数，将问题转化为 “对任意 时， 恒成立 ”，进而转化为 ，围绕 这个核心问题结合分类讨论的思想求出参数 的取值范围 . 试题：（ 1） 的定义域为 ， ， 当 时， ， 2分 由 及
9、 ，解得 ，所以函数 的单调递减区间为 4分 （ 2）设 ， 因为对任意的 ， 恒成立，所以 恒成立， ， 因为 ，令 ，得 ， ， 7分 当 ，即 时， 因为 时， ，所以 在 上单调递减， 因为对任意的 ， 恒成立， 所以 时， ，即 ， 解得 ，因为 。所以此时 不存在； 10分 当 ，即 时，因为 时， ，时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 因为对任意的 ， 恒成立，所以 ，且 ， 即 ，解得 ， 因为 ，所以此时 ； 13分 当 ，即 时，因为 时， ， 所以 在 上单调递增，由于 ，符合题意； 15分 综上所述，实数 的取值范围是 16分 考点：函数的单调区间与导数、
10、不等式恒成立、分类讨论 已知椭圆 的中心在坐标原点，右准线为 ，离心率为 若直线与椭圆 交于不同的两点 、 ，以线段 为直径作圆 . （ 1）求椭圆 的标准方程； （ 2）若圆 与 轴相切，求圆 被直线 截得的线段长 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先根据题中的条件确定 、 的值，然后利用 求出的值，从而确定椭圆 的方程；（ 2）先确定点 的坐标，求出圆 的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长 . 试题：（ 1）设椭圆的方程为 ，由题意知 ，解得 ， 则 ， ，故椭圆 的标准方程为 5分 （ 2）由题意可知，点 为线段 的
11、中点，且位于 轴正半轴， 又圆 与 轴相切，故点 的坐标为 ， 不妨设点 位于第一象限，因为 ，所以 ， 7分 代入椭圆的方程，可得 ，因为 ，解得 ， 10分 所以圆 的圆心为 ，半径为 ，其方程为 12分 因为圆心 到直线 的距离 14分 故圆 被直线 截得的线段长为 16分 考点：椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理 如图，四棱锥 的底面为平行四边形， 平面 ， 为中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）若 ，求证： 平面 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接 ，找到与 的交点 为 的中点，利用三角形的中位线平行于底边证
12、明，最后利用直线与平面平行的判定定理证明 平面 ；（ 2）先证明 平面 ，得到 ，再由已知条件证明 ，最终利用直线与平面垂直的判定定理证明 平面 . 试题：（ 1）连接 交 于点 ，连接 ， 因为底面 是平行四边形，所以点 为 的中点， 又 为 的中点，所以 ， 4分 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 6分 （ 2）因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 8分 因为 ， ， 平面 ， 平面 ，所以平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 10分 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 12分 又因为 ， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 14分 考点：直线与平面平行、直线与平面垂直 在锐角 中， 、 、 所对
13、的边分别为 、 、 已知向量， ，且 . （ 1）求角 的大小； （ 2）若 ， ，求 的面积 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先根据平面向量垂直的等价条件得到等式 ，再利用弦化切的思想求出 的值，最终在求出角 的值；（ 2）解法一：在角 的大小确定的前提下，利用正弦定理与同角三角函数之间的关系求出和 ，并利用 结合和角公式求出 的值，最后利用面积公式 求出 的面积；解法二：利用余弦定理求出 的值，并对 的值进行检验，然后面积公式 求出 的面积 . 试题：（ 1）因为 ，所以 ，则 ， 4分 因为 ，所以 ，则 ，所以 7分 （ 2）解法一：由正弦定理得 ，又 ， ， ， 则
14、 ，因为 为锐角三角形，所以 ， 9分 因为 ， 12分 所以 14分 解法二：因为 ， ， ， 所以由余弦定理可知， ，即 ，解得 或， 当 时， ，所以 ，不合乎题意； 当 时， ，所以 ，合乎题意； 所以 14分 考点：正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式 已知无穷数列 中， 、 、 、 构成首项为 2，公差为 -2的等差数列， 、 、 、 ，构成首项为 ，公比为 的等比数列，其中 ，. （ 1）当 ， ，时，求数列 的通项公式； （ 2）若对任意的 ，都有 成立 当 时，求 的值； 记数列 的前 项和为 判断是否存在 ，使得 成立？若存在，求出 的
15、值；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1）数列 的通项公式为 ； （ 2） 的值为 或 ； 详见 . 试题分析：（ 1）根据数列的定义求出当 时数列 的通项公式，注意根据 的取值利用分段数列的形式表示数列 的通项；（ 2） 先确定是等差数列部分还是等比数列部分中的项，然后根据相应的通项公式以及数列的周期性求出 的值； 在（ 1）的基础上，先将数列 的前 项和求出，然后利用周期性即可求出 ，构造 ，利用定义法求出 的最大值，从而确定 和 的最大值，进而可以确定是否存在，使得 . 试题：（ 1）当 时，由题意得 ， 2分 当 时，由题意得 ， 4分 故数列 的通项公式为 5分 （ 2） 因为 无解，所以 必不在等差数列内， 因为 ，所以 必在等比数列内，且等比数列部分至少有 项， 则数列的一个周期至少有 项， 7分 所以第 项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内， 若 时，则 ，得 ， 若 ，则 ，得 ， 故 的值为 或 9分 因为 ， ， 所以 ， 12分 记 ，则 ， 因为 ，所以 ，即 ， 14分 故 时， 取最大，最大值为 ， 从而 的最大值为 ，不可能有 成立，故不存在满足条件的实数 16分 考点：等差数列和等比数列的通项公式及前 项和、数列的周期性、数列的单调性
