1、2014届江苏省南京市高三 9月学情调研理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 ，集合 ，则 . 答案： 或 试题分析： ， ，. 考点：集合的交集运算 已知函数 ，若存在实数 、 、 、 ，满足，其中 ，则 的取值范围是 . 答案： 试题分析：如下图所示， 由图形易知 ， ，则 ， ， ， ，令 ，即 ，解得 或 ，而二次函数 的图象的对称轴为直线 ，由图象知， ， ，点 和点 均在二次函数 的图象上，故有 ， ，由于，当 时， ， ， ， ， ，由于函数 在 上单调递减，且 ， ， ， ，即 . 考点：函数的图象、对数函数、二次函数的单调性 如图，已知过椭圆 的左顶点 作直线 交
2、轴于点 ，交椭圆于点 ，若 是等腰三角形，且 ，则椭圆的离心率为 . 答案： 试题分析：由于 为等腰三角形，且 ，故有 ，则点 的坐标为 ，设点 的坐标为 ， ， ，则有 ，解得 ，即点 的坐标为 ，将点的坐标代入椭圆的方程得 ，解得 ，即， ， . 考点：共线向量、椭圆的离心率 已知四边形 是矩形， ， ， 是线段 上的动点，是 的中点若 为钝角，则线段 长度的取值范围是 . 答案： 试题分析：法一：如下图所示，设 ，则 ，由勾股定理易得， ， ，由于 为钝角，则 ，则有 ，即 ，即，解得 ； 法二：如下图所示，设 ，则 ，以点 为坐标原点， 、 所在的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系
3、 ，则 ， ， ， ， 是钝角，则 ，即 ，整理得 ，解得，且 、 、 三点不共线，故有 ，解得 . 考点：余弦定理、勾股定理、平面向量的数量积 设函数 是定义在 上的偶函数，当 时， .若 ，则实数 的值为 . 答案： 试题分析：当 时， ，解得 ；当 时， ，由于函数 是偶函数， ，解得 ，综上所述， . 考点：函数的奇偶性 如图，在 中， 、 分别为边 、 的中点 . 为边 上的点，且 ，若 ， ，则 的值为 . 答案： 试题分析： 为 的中点， ， ， ， . 考点：平面向量的基底表示 在等差数列 中， ，则数列 的前 项和 . 答案： 试题分析：设等差数列 的首项 与公差 的方程组，
4、则有 ，解得 ，故 . 考点：等差数列的前 项和 曲线 在点 处的切线方程是 . 答案： 或 试题分析： , ，当 时， ，故曲线在点 处的切线方程是 ，即 或 . 考点：利用导数求函数图象的切线方程 已知点 在不等式 表示的平面区域上运动，则 的最大值是 . 答案： 试题分析：如下图所示，不等式组 所表示的可行域如下图中的阴影部分表示，在直线方程 ，令 ，解得 ，得点 的坐标为 ，作直线 ，其中 可视为直线 在 轴上的截距，当直线 经过区域中的点 时，直线 在 轴上的截距最大，此时 取最大值，即 . 考点：线性规划 命题 “ ”的否定是 . 答案： 试题分析：由全称命题的否定知，命题 “ ”
5、的否定是“ ”. 考点：命题的否定 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 . 答案： . 试题分析： ， ， . 考点：复数的除法运算、复数的模 下图是某算法的流程图，其输出值 是 . 答案： 试题分析：第一次循环， ， 不成立，执行第二次循环；， 不成立，执行第三次循环；第三次循环， 不成立，执行第四次循环；第四次循环， 成立，跳出循环体，输出的 值为 . 考点：算法与程序框图 口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为 1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于 5的概率为 . 答案： 试题分析：利用 、 表示第一次和第二次从袋子中抽取的球的编号，用表示其
6、中一个基本事件，则事件总体所包含的基本事件有： ， ， ， ， ，共 个；事件 “取出的两个球的编号大于 ”所包含的基本事件有： ， ，共 个，所以事件 “取出的两个球的编号大于”发生的概率 . 考点：古典概型 若一个圆柱的侧面展开图是边长为 2的正方形，则此圆柱的体积为 . 答案： 试题分析：设圆柱的底面半径为 ，高为 ，底面积为 ，体积为 ，则有，故底面面积 ，故圆柱的体积. 考点：圆柱的体积 解答题 在底面边长为 2，高为 1的正四梭柱 ABCD=A1B1C1D1中， E， F分别为 BC，C1D1的中点 （ 1）求异面直线 A1E， CF所成的角； （ 2）求平面 A1EF与平面 AD
7、D1A1所成锐二面角的余弦值 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）以 D为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出异面直线 A1E， CF的方向向量，代入向量夹角公式，可得求异面直线 A1E， CF所成的角； （ 2）求平面 A1EF与平面 ADD1A1的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角的余弦值 以 D为原点建立空间直角坐标系 （ 1） A1（ 2， 0， 1）， E（ 1， 2， 0）， C（ 0， 2， 0）， F（ 0， 1， 1）， 设异面直线 A1E， CF所成的角为 ，则 ， 即 3= cos 解得 cos= 解 ， 所以，所求异面直线的夹角为 （ 2） ，设平面
8、 A1EF的法向量为 ，则 ， 令 x=1，则平面 A1EF的一个法向量为 ， 平面 ADD1A1的一个法向量为 ， 设平面 A1EF与平面 ADD1A1所成锐二面角为 ，则 由 ， 即 2= 1 cos 解得： 故平面 A1EF与平面 ADD1A1所成锐二面角的余弦值为 考点：用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离 点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，用空间向量求直线间的夹角，建立空间坐标系，将空间异面直线夹角问题及二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键 解不等式 . 答案： 试题分析：先构造函数 ，去绝对值，将函数的式利用分段函数的形式求出，将问题转化为分
9、段不等式进行求解 . 试题分析：令 ， 当 时， ， ，则 ， 此时 恒成立； 3分 当 时， ， ，则 ， 令 ，即 ，解得 ，由于 ，则有 ； 6分 当 时， ， ，则 ， 此时 不成立， 9分 综上所述，不等式 的解集为 . 10分 考点：含绝对值不等式的解法、分段函数 在极坐标系中，求圆 上的点到直线 的距离的最大值 答案： 试题分析：将极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离 并判断直线与圆的位置关系，在直线与圆相离的前提下，利用结论：圆上一点到直线的距离的最大值为 （其中 为圆的半径长）求解该问题 . 试题：在圆的极坐标方程两边同时乘以 得 ， 化为直角坐标方程为 ，即 ，
10、 3分 故圆的圆心坐标为 ，半径为 ， 4分 将直线的极坐标方程 化为直角坐标方程为 ， 6分 所以圆的圆心到直线的距离为 ，故直线与圆相离， 8分 于是圆 上的点到直线 的距离的最大值为 10分 考点：极坐标与直角坐标的转化、点到直线的距离 在平面直角坐标系 中，直线 在矩阵 对应的变换作用下得到直线 ，求实数 、 的值 答案： ， . 试题分析：确定变换前的坐标 个变换后的坐标 之间的关系，然后用坐标 来表示坐标 ，并将上一步的结果代入直线 便可以得到一条直线方程，根据两者的系数关系求出 、 的值 . 试题：设坐标 在矩阵 的变换后的坐标为 ， 则有 ，于是有 ，解得 ， 4分 将上述结果
11、代 入直线 的方程得 ， 化简得 ，（ *） 6分 于是有 ，解得 或 ， 8分 当 ， 时，代入（ *）式得 ，不合乎题意，舍去！ 9分 综上所述 ， . 10分 考点：矩阵变换 如图， 、 是圆 的半径，且 ， 是半径 上一点：延长交圆 于点 ，过 作圆 的切线交 的延长线于点 .求证：. 答案：详见 试题分析：连接 ，先利用题中条件求出 ，然后利用弦切角定理证明 . 试题：如下图所示，连接 ，由于 ， ， 又 ，故 为等腰直角三角形，且 ， 4分 因为 切圆 于点 ，由弦切角定理知 ， 6分 . 10分 考点：等腰三角形、弦切角定理 已知无穷数列 中， 、 、 、 构成首项为 2，公差为
12、 -2的等差数列， 、 、 、 ，构成首项为 ，公比为 的等比数列，其中 ，. （ 1）当 ， ，时，求数列 的通项公式； （ 2）若对任意的 ，都有 成立 当 时，求 的值； 记数列 的前 项和为 判断是否存在 ，使得 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1）数列 的通项公式为 ； （ 2） 的值为 或 ； 详见 . 试题分析：（ 1）根据数列的定义求出当 时数列 的通项公式，注意根据 的取值利用分段数列的形式表示数列 的通项；（ 2） 先确定是等差数列部分还是等比数列部分中的项，然后根据相应的通项公式以及数列的周期性求出 的值； 在（ 1）的基础上，先将数列 的前
13、 项和求出，然后利用周期性即可求出 ，构造 ，利用定义法求出 的最大值，从而确定 和 的最大值，进而可以确定是否存在，使得 . 试题：（ 1）当 时，由题意得 ， 2分 当 时，由题意得 ， 4分 故数列 的通项公式为 5分 （ 2） 因为 无解，所以 必不在等差数列内， 因为 ，所以 必在等比数列内，且等比数列部分至少有 项， 则数列的一个周期至少有 项， 7分 所以第 项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内， 若 时，则 ，得 ， 若 ，则 ，得 ， 故 的值为 或 9分 因为 ， ， 所以 ， 12分 记 ，则 ， 因为 ，所以 ，即 ， 14分 故 时， 取最大，最大值为 ， 从而
14、的最大值为 ，不可能有 成立，故不存在满足条件的实数 16分 考点：等差数列和等比数列的通项公式及前 项和、数列的周期性、数列的单调性 已知函数 （ 为常数） （ 1）当 时，求 的单调递减区间； （ 2）若 ，且对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1）函数 的单调递减区间为 ；（ 2）实数 的取值范围是. 试题分析：（ 1）将 代入函数式并求出相应的导数，利用导数并结合函数的定义域便可求出函数的单调递减区间；（ 2）构造新函数，将问题转化为 “对任意 时， 恒成立 ”，进而转化为 ，围绕 这个核心问题结合分类讨论的思想求出参数 的取值范围 . 试题：（ 1） 的定义域为
15、， ， 当 时， ， 2分 由 及 ，解得 ，所以函数 的单调递减区间为 4分 （ 2）设 ， 因为对任意的 ， 恒成立，所以 恒成立， ， 因为 ，令 ，得 ， ， 7分 当 ，即 时， 因为 时， ，所以 在 上单调递减， 因为对任意的 ， 恒成立， 所以 时， ，即 ， 解得 ，因为 。所以此时 不存在； 10分 当 ，即 时，因为 时， ，时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 因为对任意的 ， 恒成立，所以 ，且 ， 即 ，解得 ， 因为 ，所以此时 ； 13分 当 ，即 时，因为 时， ， 所以 在 上单调递增，由于 ，符合题意； 15分 综上所述，实数 的取值范围是 1
16、6分 考点：函数的单调区间与导数、不等式恒成立、分类讨论 已知椭圆 的中心在坐标原点，右准线为 ，离心率为 若直线与椭圆 交于不同的两点 、 ，以线段 为直径作圆 . （ 1）求椭圆 的标准方程； （ 2）若圆 与 轴相切，求圆 被直线 截得的线段长 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先根据题中的条件确定 、 的值，然后利用 求出的值，从而确定椭圆 的方程；（ 2）先确定点 的坐标，求出圆 的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长 . 试题：（ 1）设椭圆的 方程为 ，由题意知 ，解得 ， 则 ， ，故椭圆 的标准方程为 5分
17、 （ 2）由题意可知，点 为线段 的中点，且位于 轴正半轴， 又圆 与 轴相切，故点 的坐标为 ， 不妨设点 位于第一象限，因为 ，所以 ， 7分 代入椭圆的方程，可得 ，因为 ，解得 ， 10分 所以圆 的圆心为 ，半径为 ，其方程为 12分 因为圆心 到直线 的距离 14分 故圆 被直线 截得的线段长为 16分 考点：椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理 如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为 2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为 2米怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面
18、积最大？并求出其最大面积 . 答案：当休闲广场的长为 米，宽为 米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为 平方米 . 试题分析：先将休闲广场的长度设为 米，并将宽度也用 进行表示，并将绿化区域的面积 表示成 的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件 . 试题：设休闲广场的长为 米，则宽为 米，绿化区域的总面积为 平方米， 6分 ， 8分 因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号 12分 此时 取得最大值，最大值为 . 答：当休闲广场的长为 米，宽为 米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为 平方米 . 14分 考点：矩形的面积、基本不等式 如图，
19、四棱锥 的底面为平行四边形， 平面 ， 为中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）若 ，求证： 平面 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接 ，找到与 的交点 为 的中点，利用三角形的中位线平行于底边证明，最后利用直线与平面平行的判定定理证明 平面 ；（ 2）先证明 平面 ，得到 ，再由已知条件证明 ，最终利用直线与平面垂直的判定定理证明 平面 . 试题：（ 1）连接 交 于点 ，连接 ， 因为底面 是平行四边形，所以点 为 的中点， 又 为 的中点，所以 ， 4分 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 6分 （ 2）因为 平面
20、， 平面 ，所以 ， 8分 因为 ， ， 平面 ， 平面 ，所以平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 10分 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 12分 又因为 ， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 14分 考点：直线与平面平行、直线与平面垂直 在锐角 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 已知向量， ，且 . （ 1）求角 的大小； （ 2）若 ， ，求 的面积 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先根据平面向量垂直的等价条件得到等式 ，再利用弦化切的思想求出 的值，最终在求出角 的值；（ 2）解法一：在角 的大小确定的前提下，利用正弦定理与同角三角函数之间的关系求出和 ，并利用
21、结合和角公式求出 的值，最后利用面积公式 求出 的面积；解法二：利用余弦定理求出 的值，并对 的值进行检验，然后面积公式 求出 的面积 . 试题：（ 1）因为 ，所以 ，则 ， 4分 因为 ，所以 ，则 ，所以 7分 （ 2）解法一：由正弦定理得 ，又 ， ， ， 则 ，因为 为锐角三角形，所以 ， 9分 因为 ， 12分 所以 14分 解法二：因为 ， ， ， 所以由余弦定理可知， ，即 ，解得 或， 当 时， ，所以 ，不合乎题意； 当 时， ，所以 ，合乎题意； 所以 14分 考点：正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式 将编号为 1， 2， 3， 4
22、的四个小球，分别放入编号为 1， 2， 3， 4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球若小球的编号与盒子的编号相同，得 1 分，否则得 0分记 为四个小球得分总和 （ 1）求 时的概率； （ 2）求 的概率分布及数学期望 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）先确定 时对应的事件，然后利用排列组合的相关知识求解；（ 2）将随机变量 的可能取值确定下来，然后将对应的概率计算出来，列出分布列求出 的数学期望与方差 . 试题：（ 1） 时，则编号为 1， 2， 3， 4的四个小球中有且仅有两个小球的编号与盒子的编号相同， 故 ，即 时的概率为 ； 3分 （ 2） 的可能取值有 、 、 、 ， 4分 则 ， ， ， ， 故 的分布列如下表所示 8分 ， 9分 . 10分 考点：排列组合、随机变量的分布列、数学期望与方差
