1、2014届江苏省启东市高三上学期第一次检测文科数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 ， ，则 . 答案： 试题分析：在数轴上表示集合 ，根据并集的定义有 . 考点：集合的运算 . 已知平面上的线段 及点 ，任取 上的一点 ，线段 长度的最小值称为点 到线段 的距离，记为 设 ， ， ， ，, ，若 满足 ，则 关于 的函数式为 . 答案： 试题分析：如图，当 时， ，所以点 在 轴上，此时 ；当 ， ， 分别是点 到直线 和 的距离，所以点 仍在在 轴上，此时 ；当 ， ， 为点 到直线 的距离，根据抛物线的定义知，点 在以 为准线， 为焦点的抛物线的上，此时 ；当 时， ，点 在线段的
2、垂直平分线上，此时 .综上， 考点：函数的综合应用 . 正实数 及 满足 ，且 ，则的最小值等于 答案： 试题分析：由 得 ，当且仅当 ，即 ， 时取得最小值 . 考点：指数的运算性质、基本不等式 . 曲线 在点 处的切线方程为 _ 答案： 试题分析：显然 ，对 求导得 ，在此式中令 ，得 ，解得 ，所以 ，得 所以所求的曲线在点 处的切线方程为，即 . 考点：函数的导数、曲线的切线 . 设 是定义在 上的奇函数，且 的图像关于直线 对称，则= 答案： 试题分析： 的图像关于直线 对称，所以 ，又是定义在 上的奇函数，所以 ， ，所以. 考点：函数图象的中心对称和轴对称 . 若函数 在区间 (
3、2,3)上有零点，则 = 答案： 试题分析：显然 是单调递增函数，又它在区间 (2,3)上有零点，所以且 ，即 且 ，得 ，而，又 ，所以 . 考点：函数的零点 . 定义在 上的函数 ，对任意 都有 ，当 时，则 答案： 试题分析：因为对任意 都有 ，所以函数 是以 3为周期的周期函数，所以 . 考点：周期函数 . 已知 ，则满足 的角 所在的象限为 答案：二或四 试题分析：根据指数函数的单调性和 ，得 ，即 和异号，所以角 是第二象限或第四象限的角 . 考点：指数函数的单调性、各象限三角函数的符号 . 已知命题 ： “正数 的平方不等于 0”，命题 ： “若 不是正数，则它的平方等于 0”，
4、 则 是 的 （从 “逆命题、否命题、逆否命题、否定 ”中选一个填空） . 答案：否命题 . 试题分析：命题 可改为： “若 是正数，则它的平方不等于 0”，所以由否命题的概念知 是 的否命题 . 考点：四种命题 . 化简 的结果是 . 答案： 试题分析： . 考点：三角函数的诱导公式 . 集合 ,集合 ,集合 的真子集有 个 答案： 试题分析：根据交集的定义有 ，它的真子集有 ， ， ， ， ， ，共 7个 .一般地，一个集合有 个元素，它的子集有 个，它的非空真子集有 个 . 考点：交集、非空真子集 . 已知 为钝角，且 ，则与角 终边相同的角 的集合为 答案： 试题分析：由 为钝角，且
5、，得 ，所以与角 终边相同的角的集合为 ，当然也可写成 ，但注意制度要统一，不要丢掉 . 考点：特殊角的三角函数、终边相同角的集合 . 已知扇形的周长是 8cm，圆心角为 2 rad，则扇形的弧长为 cm 答案： 试题分析：设扇形的弧长，半径，圆心角分别为 ，则 ，又由 即 ，得 . 考点：扇形的弧长公式 . 命题 “若 ，则 （ R） ”否命题的真假性为 （从 “真 ”、 “假 ”中选填一个） 答案：真 试题分析：原命题的否命题是 “若 ，则 ”，显然在 “ ”的两边同时乘以非负数 ，不等式仍成立，所以原命题的否命题为真命题 . 考点：否命题、不等式的性质 . 解答题 设 是同时符合以下性质
6、的函数 组成的集合： ，都有 ； 在 上是减函数 （ 1）判断函数 和 ( )是否属于集合 ，并简要说明理由； （ 2）把（ 1）中你认为是集合 中的一个函数记为 ,若不等式对任意的 总成立，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）对 和 分别判断其单调性，然后再求出其值域即可得到答案：；（ 2） 对任意的 总成立，则可得，问题转化为求函数 的最大值，通过判断其单调性即可得到最大值 . 试题：（ 1） 在 时是减函数， 的值域为 ， 不在集合 中 3分 又 时， ， , ， 5分 且 在 上是减函数， 在集合 中 7分 （ 2） ， ， 9分 在 上是减函数，
7、 ， 11分 又由已知 对任意的 总成立， ，因此所求的实数 的取值范围是 16分 考点：函数的单调性、值域，不等式恒成立问题 . （ 1）设扇形的周长是定值为 ，中心角 求证：当 时该扇形面积最大； （ 2）设 求证： 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系 (定值 )，而扇形面积 ，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数 (见下面详解 )，也可考虑利用基本不等式， 求出最值，并判断等号成立 条件，从而得解；（ 2）这是一个双变元 ( 和 )的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值 (
8、含有另一变元 )，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法 . 试题：（ 1）证明：设弧长为 ，半径为 ，则 ， 2分 所以，当 时， 5分 此时 ，而 所以当 时该扇形面积最大 7分 （ 2）证明： 9分 ， ， 11分 当 时， 14分 又 ，所以 ，当 时取等号， 即 16分 法二： 9分 ， , 11分 当 时， ， 14分 又 ， 当 时取等号 即 16分 考点：扇形的周长和面积、三角函数、二次函数 . 已知定义域为 的函数 是奇函数 （ 1）求 的值； （ 2）判断函数 的单调性，并证明 . 答案：（ 1） ；（ 2）减函数，证明详见； 试题分析：（ 1）因为 是奇函数，且
9、定义域为 ，可由 和列式求出 的值，但要注意 和 只是本题中的 是奇函数的必要条件，然后还要验证充分性；（ 2）判断函数的单调性在解答题中一般利用增函数或减函数的定义，或利用导函数的符号判断 . 试题：（ 1）因为 是奇函数，且定义域为 ，所以 ， 2分 所以 ，所以 4分 又 ，知 经验证，当 时， 是奇函数，所以 7分 （ 2）函数 在 上为减函数 9分 证明：法一：由（ 1）知 ， 令 ，则 ， 12分 ， 即 ， 函数 在 上为减函数 14分 法二：由（ 1）知 ， ， 12分 ， 即 函数 在 上为减函数 14分 考点：函数的奇偶性、函数的单调性 . 已知集合 ， （ 1）存在 ，使
10、得 ，求 的取值范围； （ 2）若 ，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）集合 ， 即为 在上有零点，利用二次函数的图象判断即得结果或转化为求函数在 上的值域更为简单；（ 2） 即 ，或 的零点 (一个或两个 )都在 内，结合二次函数的图象判断即得结果，数形结合的思想在解题中起到了重要的作用 . 试题：（ 1）由题意得 ，故 ，解得 2分 令 ，对称轴为 ， ，又 ， ，解得 5分 由上 得 的取值范围为 7分 （ 2） ， 当 ，即 时， 是空集，这时满足 9分 当 ，即 令 ，对称轴为 ， ， ，解得 由 得 , 12分 综上得 的取值范围为 14分 考点：一
11、元二次方程、一元二次不等式和二次函数 . （ 1）设 ，求 的值； （ 2）已知 ，且 ，求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）将所求式分子 1换成 ，然后分子分母同除以，将其转化为关于 的式子再进行计算即可，本题若由 ，去求出 ，则需要讨论，若想不到用 代替 1，则可原式分子分母同除以 ，然后再考虑求出 ，显然这两种方法较为麻烦；（ 2）此类给三角函数值求三角函数值的问题一般是通过考察条件中的角和问题中的角的关系，然后通过诱导公式、同角三角函数关系式、和差角公式进行 计算 .注意到 ，由诱导公式知 ，结合条件由同角三角函数关系式可求出 ，注意公式使用时要考察角的范围从而
12、确定三角函数值的符号 . 试题：（ 1）原式 = 3分 7分 （ 2）由 ，得 ， 故 10分 而 所以 14分 考点：同角三角函数的关系、三角函数的诱导公式 . 已知函数 ，设曲线 在与 轴交点处的切线为 ， 为 的导函数，满足 （ 1）求 ； （ 2）设 ， ，求函数 在 上的最大值； （ 3）设 ，若对于一切 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2）；（ 3） 试题分析：（ 1）三次函数的导数是二次函数，由 ，知其对称轴，曲线的切线问题，可利用导数的几何意义 (切点处切线的斜率 )列出方程组求解；（ 2） ，画出函数图象考察其单调性，根据其单调区间对的值分类讨论求出其最大值；（ 3）对不等式 进行化简，得 恒成立，即 ，且 ，对任意的 成立，然后又转化为求函数的最值问题，要注意 ，从而有 . 试题：（ 1） ， ， 函数 的图象关于直线 对称， ， 2分 曲线 在与 轴交点处的切线为 ， 切点为 ， ，解得 ，则 5分 （ 2） ， ，其图象如图 7分 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 综上 10分 （ 3） ， ， 当 时， ，所以不等式等价于 恒成立， 解得 ，且 ， 13分 由 ，得 ， ，所以 ， 又 ， ， 所求的实数 的的取值范围是 16分 考点：函数与导数、曲线的切线、不等式恒成立问题 .
