1、2014届江苏省启东市高三上学期第一次检测理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 ， ，则 . 答案： 试题分析：在数轴上表示集合 ，根据并集的定义有 . 考点：集合的运算 . 已知平面上的线段 及点 ，任取 上的一点 ，线段 长度的最小值称为点 到线段 的距离，记为 设 ， ， ， ，, ，若 满足 ，则 关于 的函数式为 . 答案： 试题分析：如图，当 时， ，所以点 在 轴上，此时 ；当 ， ， 分别是点 到直线 和 的距离，所以点 仍在在 轴上，此时 ；当 ， ， 为点 到直线 的距离，根据抛物线的定义知，点 在以 为准线， 为焦点的抛物线的上，此时 ；当 时， ，点 在线段的
2、垂直平分线上，此时 .综上， 考点：函数的综合应用 . 正实数 及 满足 ，且 ，则的最小值等于 答案： 试题分析：由 得 ，当且仅当 ，即 ， 时取得最小值 . 考点：指数的运算性质、基本不等式 . 曲线 在点 处的切线方程为 _ 答案： 试题分析：显然 ，对 求导得 ，在此式中令 ，得 ，解得 ，所以 ，得 所以所求的曲线在点 处的切线方程为，即 . 考点：函数的导数、曲线的切线 . 设 是定义在 上的奇函数，且 的图像关于直线 对称，则= 答案： 试题分析： 的图像关于直线 对称，所以 ，又是定义在 上的奇函数，所以 ， ，所以. 考点：函数图象的中心对称和轴对称 . 若函数 在区间 (
3、2,3)上有零点，则 = 答案： 试题分析：显然 是单调递增函数，又它在区间 (2,3)上有零点，所以且 ，即 且 ，得 ，而，又 ，所以 . 考点：函数的零点 . 定义在 上的函数 ，对任意 都有 ，当 时，则 答案： 试题分析：因为对任意 都有 ，所以函数 是以 3为周期的周期函数，所以 . 考点：周期函数 . 已知 ，则满足 的角 所在的象限为 答案：二或四 试题分析：根据指数函数的单调性和 ，得 ，即 和异号，所以角 是第二象限或第四象限的角 . 考点：指数函数的单调性、各象限三角函数的符号 . 已知命题 ： “正数 的平方不等于 0”，命题 ： “若 不是正数，则它的平方等于 0”，
4、则 是 的 （从 “逆命题、否命题、逆否命题、否定 ”中选一个填空） . 答案：否命题 . 试题分析：命题 可改为： “若 是正数，则它的平方不等于 0”，所以由否命题的概念知 是 的否命题 . 考点：四种命题 . 化简 的结果是 . 答案： 试题分析： . 考点：三角函数的诱导公式 . 集合 ,集合 ,集合 的真子集有 个 答案： 试题分析：根据交集的定义有 ，它的真子集有 ， ， ， ， ， ，共 7个 .一般地，一个集合有 个元素，它的子集有 个，它的非空真子集有 个 . 考点：交集、非空真子集 . 已知 为钝角，且 ，则与角 终边相同的角 的集合为 答案： 试题分析：由 为钝角，且 ，
5、得 ，所以与角 终边相同的角的集合为 ，当然也可写成 ，但注意制度要统一，不要丢掉 . 考点：特殊角的三角函数、终边相同角的集合 . 已知扇形的周长是 8cm，圆心角为 2 rad，则扇形的弧长为 cm 答案： 试题分析：设扇形的弧长，半径，圆心角分别为 ，则 ，又由 即 ，得 . 考点：扇形的弧长公式 . 命题 “若 ，则 （ R） ”否命题的真假性为 （从 “真 ”、 “假 ”中选填一个） 答案：真 试题分析：原命题的否命题是 “若 ，则 ”，显然在 “ ”的两边同时乘以非负数 ，不等式仍成立，所以原命题的否命题为真命题 . 考点：否命题、不等式的性质 . 解答题 设 是同时符合以下性质的
6、函数 组成的集合： ，都有 ； 在 上是减函数 （ 1）判断函数 和 ( )是否属于集合 ，并简要说明理由； （ 2）把（ 1）中你认为是集合 中的一个函数记为 ,若不等式对任意的 总成立，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）对 和 分别判断其单调性，然后再求出其值域即可得到答案：；（ 2） 对任意的 总成立，则可得，问题转化为求函数 的最大值，通过判断其单调性即可得到最大值 . 试题：（ 1） 在 时是减函数， 的值域为 ， 不在集合 中 3分 又 时， ， , ， 5分 且 在 上是减函数， 在集合 中 7分 （ 2） ， ， 9分 在 上是减函数，
7、， 11分 又由已知 对任意的 总成立， ，因此所求的实数 的取值范围是 16分 考点：函数的单调性、值域，不等式恒成立问题 . （ 1）设扇形的周长是定值为 ，中心角 求证：当 时该扇形面积最大； （ 2）设 求证： 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系 (定值 )，而扇形面积 ，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数 (见下面详解 )，也可考虑利用基本不等式， 求出最值，并判断等号成立 条件，从而得解；（ 2）这是一个双变元 ( 和 )的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值 (含
8、有另一变元 )，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法 . 试题：（ 1）证明：设弧长为 ，半径为 ，则 ， 2分 所以，当 时， 5分 此时 ，而 所以当 时该扇形面积最大 7分 （ 2）证明： 9分 ， ， 11分 当 时， 14分 又 ，所以 ，当 时取等号， 即 16分 法二： 9分 ， , 11分 当 时， ， 14分 又 ， 当 时取等号 即 16分 考点：扇形的周长和面积、三角函数、二次函数 . 已知定义域为 的函数 是奇函数 （ 1）求 的值； （ 2）判断函数 的单调性，并证明 . 答案：（ 1） ；（ 2）减函数，证明详见； 试题分析：（ 1）因为 是奇函数，且定
9、义域为 ，可由 和列式求出 的值，但要注意 和 只是本题中的 是奇函数的必要条件，然后还要验证充分性；（ 2）判断函数的单调性在解答题中一般利用增函数或减函数的定义，或利用导函数的符号判断 . 试题：（ 1）因为 是奇函数，且定义域为 ，所以 ， 2分 所以 ，所以 4分 又 ，知 经验证，当 时， 是奇函数，所以 7分 （ 2）函数 在 上为减函数 9分 证明：法一：由（ 1）知 ， 令 ，则 ， 12分 ， 即 ， 函数 在 上为减函数 14分 法二：由（ 1）知 ， ， 12分 ， 即 函数 在 上为减函数 14分 考点：函数的奇偶性、函数的单调性 . 已知集合 ， （ 1）存在 ，使得
10、 ，求 的取值范围； （ 2）若 ，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）集合 ， 即为 在上有零点，利用二次函数的图象判断即得结果或转化为求函数在 上的值域更为简单；（ 2） 即 ，或 的零点 (一个或两个 )都在 内，结合二次函数的图象判断即得结果，数形结合的思想在解题中起到了重要的作用 . 试题：（ 1）由题意得 ，故 ，解得 2分 令 ，对称轴为 ， ，又 ， ，解得 5分 由上 得 的取值范围为 7分 （ 2） ， 当 ，即 时， 是空集，这时满足 9分 当 ，即 令 ，对称轴为 ， ， ，解得 由 得 , 12分 综上得 的取值范围为 14分 考点：一元
11、二次方程、一元二次不等式和二次函数 . （ 1）设 ，求 的值； （ 2）已知 ，且 ，求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）将所求式分子 1换成 ，然后分子分母同除以，将其转化为关于 的式子再进行计算即可，本题若由 ，去求出 ，则需要讨论，若想不到用 代替 1，则可原式分子分母同除以 ，然后再考虑求出 ，显然这两种方法较为麻烦；（ 2）此类给三角函数值求三角函数值的问题一般是通过 考察条件中的角和问题中的角的关系，然后通过诱导公式、同角三角函数关系式、和差角公式进行计算 .注意到 ，由诱导公式知 ，结合条件由同角三角函数关系式可求出 ，注意公式使用时要考察角的范围从而确
12、定三角函数值的符号 . 试题：（ 1）原式 = 3分 7分 （ 2）由 ，得 ， 故 10分 而 所以 14分 考点：同角三角函数的关系、三角函数的诱导公式 . 已知函数 ，设曲线 在与 轴交点处的切线为 ， 为 的导函数，满足 （ 1）求 ； （ 2）设 ， ，求函数 在 上的最大值； （ 3）设 ，若对于一切 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2）；（ 3） 试题分析：（ 1）三次函数的导数是二次函数，由 ，知其对称轴，曲线的切线问题，可利用导数的几何意义 (切点处切线的斜率 )列出方程组求解；（ 2） ，画出函数图象考察其单调性，根据其单调区间对的值分类讨论求出其最大值；（ 3）对不等式 进行化简，得 恒成立，即 ，且 ，对任意的 成立，然后又转化为求函数的最值问题，要注意 ，从而有 . 试题：（ 1） ， ， 函数 的图象关于直线 对称， ， 2分 曲线 在与 轴交点处的切线为 ， 切点为 ， ，解得 ，则 5分 （ 2） ， ，其图象如图 7分 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 综上 10分 （ 3） ， ， 当 时， ，所以不等式等价于 恒成立， 解得 ，且 ， 13分 由 ，得 ， ，所以 ， 又 ， ， 所求的实数 的的取值范围是 16分 考点：函数与导数、曲线的切线、不等式恒成立问题 .
