1、2014届江苏省徐州市高三第一学期期中数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知全集 U R，集合 ，则 答案： 试题分析：集合 就是函数 的定义域，所以 ，. 考点：补集 . 定义在 R上的函数 满足 ， ，且当 时， ，则 答案： 试题分析：在 中令 得 ，令 得 ，再在 中令 得 ，在 中令 ，可得，根据当 时， ，知当 时， ，再由 知 ，而 ，所以 考点：函数的综合运用 . 已知 O 是 ABC的外心， AB = 6， AC = 10，若 ，且，则 答案： 或 试题分析：将 两边同时与向量 作数量积得，(1)将 两边同时与向量 作数量积得，(2)设 ，并将 分别代入 (1)，(2)得 ，
2、 ，联立 ，解得或 ，当 即 时，同理当 时， ， 考点：平面向量的数量积 . 设等比数列 满足公比 ， ，且 中的任意两项之积也是该数列中的一项，若 ，则 的所有可能取值的集合为 答案： 试题分析：任取数列 中两项 和 ，则也是数列 中的项，又 ， ，所以 可能为，即 的值可能为 . 考点：等比数列的通项公式和性质 . 已知函数 ， 若函数 有 3个零点，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析： 画出函数 的图象，则直线 与其有三个公共点，又抛物线顶点从标为 ，从上图可以看出实数 的取值范围 . 考点：函数的零点、函数的图象 . 若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是 答案： 试题分
3、析： 可变形为 ，设 ，则原条件等价于不等式 在 时恒成立，显然 在 时最小值为 6，所以 ，解得 . 考点：不等式恒成立、指数函数、二次函数 . 已知 ABC中， 分别是角 A， B， C的对边， ， A = 45， B = 60，那么 ABC的面积 . 答案： 试题分析：由正弦定理有， ，而，所以. 考点：正弦定理、两角和的三角函数 . 方程 在 内有相异两解 ，则 . 答案： 或 试题分析： 可化为 ，画出函数在 的图象，原条件等价于直线 与函数在 的图象有两个交点，如图直线所在位置的两种情况下，由 图象的对称性知， ，或 . 考点：函数与方程，函数 的图象与性质 . 设 是等差数列 的
4、前 n项和，已知 ， ，则 答案： 试题分析：因为 是等差数列，所以 ，本题也可由数列的已知两项求出首项和公差，再求 . 考点：等差数列的性质与求和 . 曲线 （其中 ）在 处的切线方程为 答案： 试题分析：函数 的导数是 ，当 时 ，即切点为 ，当时 ，即切线的斜率为 ，所以所求切线的方程为 即. 考点：导数的几何意义、切线的方程 . 如果 ，则 的最小值是 答案： 试题分析：由 得 ，所以 且 ，当且仅当 即 时， 取得最小值 4. 考点：基本不等式，对数的运算 . 已知扇形的半径为 ，圆心角为 120，则扇形的面积为 答案： 试题分析：因为扇形的圆心角为 120，显然它的面积是其所在圆面
5、积的 ，而这个圆的面积为 ，所以这个扇形的面积为 . 考点：扇形的面积 . “ ”是 “ ”的 条件（填 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “充分必要 ”、 “既不充分也不必要 ”之一） 答案：充分不必要 试题分析：如果 时，那么 ，所以 “ ”是 “ ”的充分条件，如果，那么 ，或 ，所以 “ ”是 “ ”的不必要条件，综上所以“ ”是 “ ”的充分不必要条件 . 考点：充分条件和必要条件 . 复数 的虚部是 答案： 试题分析： 由 ，所以 的虚部为 . 考点：复数的概念和运算 . 解答题 已知等比数列 满足 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）在 与 之间插入 个数连同 与 按原顺
6、序组成一个公差为（ ）的等差数列 设 ，求数列 的前 和 ； 在数列 中是否存在三项 （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） 不存在 . 试题分析：（ 1）要看清问题的实质就是 ，那么这就是我们熟悉的问题，利用 ，转化为 和公比 的式子，可解出 ，再由题目条件得出关于首项的关系式，求出等比数列的首项即可求出通项公式；（ 2） 由新数列的的首首项和末项及项数可求出公差 ，根据其表达式的结构特征，再考虑求 ，本题可用错位相减法； 此类问题，一般先假设存在符合条件的数列，解出来则存在，如果得到矛盾的结果，则假设错误，这样的数列则不存在
7、. 试题：（ 1）设数列 的公比为 ，由已知可得 ， 1分 由已知， ，所以 ， 两式相减得， ，解得 ， 3分 又 ，解得 ， 5分 故 6分 （ 2）由（ 1），知 7分 ， 8分 ， 10分 故 11分 假设在数列 中存在三项 （其中 成等差数列）成等比数列， 则 ，即 13分 因为 成等差数列，所以 ，（ *）代入上式得： ，（ *） 由（ *），（ *），得 ，这与题设矛盾 15分 所以，在数列 中不存在三项 （其中 成等差数列）成等比数列 16分 考点：等差数列与等比数列、错位相减法 . 如图，某生态园欲把一块四边形地 辟为水果园，其中 ， ， 若经过 上一点 和 上一点 铺设一条
8、道路 ，且 将四边形 分成面积相等的两部分，设 （ 1）求 的关系式； （ 2）如果 是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，求 的长的最小值； （ 3）如果 是参观路线，希望它最长，那么 的位置在哪里？ 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） P点在 B处， Q点在 E处 . 试题分析：（ 1）由题目条件可求出 ，延长 BD、 CE交于点 A，则由得出结论 ，于是可知 的面积，而它的面积又可用 表示出来，于是问题得到解决；（ 2） 中利用余弦定理，可将 的长度用表示，再利用（ 1）的结果消去 ，则得到 关于 的函数关系式，然后利用基本不等式或求函数最值的一般方法求出函数的最小值或最大值，要注
9、意函数的定义域；（ 3）思路同（ 2） . 试题：（ 1）易知 ，延长 BD、 CE交于点 A，则 ，则 4分 （ 2） 6分 当 ，即 时， 8分 （ 3）令 ， 10分 则 ， ，令 得， ， 12分 在 上是减函数，在 上是增函数， ， PQmax = 2， 14分 此时 ， P点在 B处， Q 点在 E处 . 16分 考点：函数的应用、基本不等式、函数的最值 . 已知 ，函数 （ 1）当 时，写出函数 的单调递增区间； （ 2）当 时，求函数 在区间 1， 2上的最小值； （ 3）设 ，函数 在（ m， n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m， n的取值范围（用 a表示） 答案：（
10、1） ；（ 2） ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）对于含绝对值的函数一般可通过讨论去掉绝对值化为分段函数再解答，本题当 时，函数去掉绝对值后可发现它的图象是由两段抛物线的各自一部分组成，画出其图象，容易判断函数 的单调递增区间；（ 2）时，所以 ，这是二次函数，求其在闭区间上 的最小值，一般要分类讨论，考虑对称轴和区间的相对位置关系，从而判断其单调性，从而求出最小值；（ 3）函数在开区间上有最大值和最小值，必然要使开区间上有极大值和极小值，且使极值为最值，由于函数是与二次函数相关，可考虑用数形结合的方法解答 . 试题：（ 1）当 时， , 2分 由图象可知， 的单调递增区间为 4分 （
11、2）因为 ，所以 6分 当 ，即 时， ； 7分 当 ，即 时， 8分 9分 （ 3） ， 10分 当 时，图象如图 1所示 图 1 由 得 12分 当 时，图象如图 2所示 图 2 由 得 14分 考点：含绝对值的函数、二次函数 . 设向量 ， ， 为锐角 （ 1）若 ，求 的值； （ 2）若 ，求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）利用向量数量积的坐标表示， 可转化为三角等式，然后利用三角函数的相关公式对其变形，求解则可得到 的值，求解过程中要注意由角的取值范围对结果进行适当取舍；（ 2）利用向量平行的坐标表示，可将 可转化为三角等式，通过对条件和问题的差异分析，利用
12、三角函数的相关公式对其变形，可求出 的值 . 试题：（ 1）因为 ， 所以 ， 2分 所以 又因为 为锐角，所以 6分 （ 2）因为 ，所以 ， 8分 所以 ， 10分 12分 所以 14分 考点：两角和与差的三角函数、倍角公式、同角三角函数关系式 . 已知等差数列 满足： ， 的前 n项和为 （ 1）求 及 ； （ 2）令 ，求数列 的前 n项和 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）等差数列问题常可转化为其基本量首项和公差的问题，这是最基本的思路，但有时如果充分利用等差数列的性质，可能达到简化计算的目的，本题可用首项和公差表示 ，解之即得首项和公差，然后再用等差数列的通项公式和
13、前 项的和公式求出结果；（ 2）把（ 1）中的结果 代入，再根据其特征选择合适的方法求前 n项和 ，本题是利用裂项相消法求和 . 试题：（ 1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ， 1分 由 ，解得 5分 由于 ，所以 7分 （ 2）因为 ，所以 ，因此 9分 故 ， 13分 所以数列 的前 n项和 14分 考点：等差数列的通项公式、前 n项和的公式、裂项相消法 . 已知函数 （ 1）当 时，求函数 在 上的最大值； （ 2）令 ，若 在区间 上不单调，求 的取值范围； （ 3）当 时，函数 的图象与 轴交于两点 ，且，又 是 的导函数若正常数 满足条件，证明： 答案：（ 1） ；（ 2） ；（
14、 3）详见 试题分析：（ 1）当 时， ，求其在 上的最大值，先要求出其导函数，然后利用导数的符号，判断函数的单调区间，最后就可求出函数的最大值；（ 2）函数在区间 上不单调，而函数在在区 间 又是不间断的，则 区间 上有根且无重根，问题就转化为方程有解的问题，分离参数后又转化为函数的值域问题，这是我们所熟悉的问题；（ 3）根据有两个实根 ，可得关于 的两个等式，从而消去 ，再将 适当放缩后构造函数，通过判断函数的单调性去求函数的最值从而证明不等式 . 试题：（ 1） 2分 函数 在 ,1是增函数，在 1,2是减函数， 所以 4分 （ 2）因为 ，所以 ， 5分 因为 在区间 上不单调，所以 在（ 0， 3）上有实数解，且无重根， 由 ，有 = ，（ ） 6分 又当 时， 有重根 ， 7分 综上 8分 （ 3） ，又 有两个实根 ， ，两式相减，得 ， , 10分 于是 11分 要证： ，只需证： 只需证： (*) 12分 令 ， (*)化为 ，只证 相关试题 2014届江苏省徐州市高三第一学期期中数学试卷（带）
