1、2014届江苏省扬州中学高三上学期期中考试模拟数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知全集 ，集合 ，则 答案： 试题分析： ， . 考点：集合的运算 . 对于在区间 a， b上有意义的两个函数 ，如果对于区间 a， b中的任意 x 均有 ，则称 在 a， b上是 “密切函数 ”， a，b称为 “密切区间 ”，若函数 与 在区间 a， b上是“密切函数 ”，则 的最大值为 . 答案： 试题分析：由 得， ，这个不等式的解集为 ，由题意得 ，所以 的最大值为 . 考点：函数的综合运用 . 若函数 的零点有且只有一个，则实数 . 答案： 试题分析：函数 是偶函数，所以要使其零点只有一个，这个零点只能
2、是 0，由 得 ，当 时， ，它只有一个零点 0，符合题意，当 时， ，它有 3个零点 ，不符合题意，综上 . 考点：函数的零点、偶函数的性质 . 若函数 在 上有意义，则实数 的取值范围是 _ _ 答案： 试题分析：由题意知 即 在 恒成立，而 在 时取得最小值 1，所以实数 的取值范围是 . 考点：不等式恒成立、指数函数的性质 . 设向量 ， ，其中 ，若，则 . 答案： 已知实数 、 满足 ，则 的最小值为 . 答案： 试题分析：已知不等式表示的平面区域是以 ， ， 为顶点的三角形区域，当动直线 经过点 时， 取得最大值为 4， 因为，所以此时 取得最小值 . 考点：简单的线性规划、指数
3、函数的性质 . 等差数列 中，若 , ，则 . 答案： 试题分析：根据等差数列的性质，把两条件式相加得， . 考点：等差数列 . 已知函数 则 的值是 . 答案： 试题分析： ， . 考点：分段函数求值 . 执行程序框图 ,若 ，则输出的 . 答案： 若样本 的方差是 2，则样本 的方差是 答案： 试题分析：设 的平均数为 ，方差为 ，则的平均数为 ，方差为. 考点：样本平均数和方差 . 如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前 个小组的频率之比为 ，第 小组的频数为 ，则抽取的学生人数是 . 答案： 试题分析：由从左到右的前 个小组的频率之比为 ，第 小组的频数为得前 个小
4、组的频数分别为 5,10,15，其和为 30，而后两个小组的频率之和为，所以前 3个小组频率之和为 ，得所抽取学生人数为 （人） . 考点：频率分布直方图 . 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 作为点 的横、纵坐标，则 点在直线 上的概率为 . 答案： 试题分析：以连续掷两次骰子分别得到的点数 作为点 的横、纵坐标，这样的结果共有 36个，其中使 的有 共 4个，根据古典概型的计算方法知，所求的概率为 . 考点：古典概型 . “ ”是 “ ”的 条件（填 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “充分必要 ”、 “既不充分也不必要 ”之一） 答案：充分不必要 试题分析：如果 ，那么 ，所以 “
5、 ”是 “ ”的充分条件，如果 ，那么不一定有 ，例如还有 等，所以 “ ”是“ ”的不必要条件，综上所以 “ ”是 “ ”的充分不必要条件 . 考点：充分条件和必要条件 . 复数 的实部是 答案： 试题分析： 由 ，得 的实部为 2. 考点：复数的概念和运算 . 解答题 已知函数 在点 处的切线方程为 求函数 的式； 若对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，求实数 的最小值； 若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 4；（ 3） . 试题分析：（ 1）利用切点处的切线的斜率就是切点处的导数可列关于 一个的等式，再根据切点既在曲线上又在切线上又可列出关于
6、 一个的等式，联立即可解出关于 ，从而求出函数 （ 2）对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，可转化为 ，再转化为，而 利用导数判断单调性后易求；（ 3）可设切点为 ，求出切线方程后，将 点坐标代入可得关于 的三次方程，过点 可作曲线 的三条切线，则表示这个方程有三个不同的解，再转化为三次函数的零点的判断，可求极值用数形结合的方法解决，这是我们所熟悉的问题 . 试题： 2分 根据题意，得 即 解得 3分 所以 4分 令 ，即 得 1 2 + + 相关试题 2014届江苏省扬州中学高三上学期期中考试模拟数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路3号启航商务大厦5楼 邮
7、编：518000 2004-2016 21世纪教育网 粤ICP备09188801号 粤教信息 (2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于 米记防洪堤横断面的腰长为 （米），外周长（梯形的上底线段 与两腰长的和）为 （米） . 求 关于 的函数关系式，并指出其定义域； 要使防洪堤横断面的外周长不超过 米，则其腰长 应在什么范围内？ 当防洪堤的腰长 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断
8、面的外周长最小）？求此时外周长的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）外周长的最小值为 米，此时腰长为 米 . 试题分析：（ 1）将梯形高、上底和下底用 或 表示，根据梯形面积的计算得到 和 的等式，从而解出 ，使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；（ 2）由（ 1）可得 ，解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；（ 3）即求（ 1）中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值 . 试题： ，其中 ， ， ，得 ， 由 ，得 ； 6分 得 腰长 的范围是 10分 ，当并且仅当 ，即 时等号成立 外周长的最小值为 米，此时
9、腰长为 米。 16分 考点：函数的应用、基本不等式、函数的最值 . 已知集合 ， （ 1）当 时，求 ； （ 2）若 ，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）集合 分别是两不等式的解集，解两不等式就能将两集合具体化，简单化，然后利用数轴可以求出两集合的交集；（ 2）由（ 1）， ，而集合 是一个含有参数的一元二次不等式的解集，可对其分类讨论求解，或转化为对任意的 ，都有 成立，从而转化为不等式恒成立问题，分离参数后可求，比分类讨论更为简单 . 试题：（ 1） , 当 时， , . （ 2） , 当 时， 不成立； 当 即 时， ，解得 当 即 时， 解得 综
10、上，当 ，实数 的取值范围是 . 考点：子集、一元二次不等式和分式不等式 . 如图，在 中，已知 为线段 上的一点， （ 1）若 ，求 ， 的值； （ 2）若 ， ， ，且 与 的夹角为 60时，求的值。 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）本题的背景是三点共线向量定理，我们都熟悉当 为 的中点时， ，本题重在考查证明过程，切不可直接应用结论，证明思路就是把向量 拆成向量 表示，结论自然得证；（ 2）由于已知向量 的模和夹角，很自然得联想到平面向量基本定理，将其它向量用基底 表示，将所有向量的运算转化为基底 的运算，问题不难解决 . 试题：（ 1） ， ，即 ， 3分 ，即
11、， 5分 （ 2） ， ，即 7分 8分 ， 9分 10分 12分 14分 考点：向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的数量积 . 已知函数 求 的最小正周期及对称中心； 若 ，求 的最大值和最小值 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） ， . 试题分析：（ 1）此类三角函数问题的解决思路比较明显，就是将三角函数化为后求解，其中最小正周期为 ，函数与 轴的交点就是其对称中心；（ 2）根据函数 的图象判断它在所给区间的单调性，就可求出其最大值和最小值 . 试题： 的最小正周期为 ， 6分 令 ，则 ， 的对称中心为 ； 8分 当 时， 的最小值为 ；当 时， 的最大值为 。 14分 考点：三角函
12、数的恒等变换、函数 的图象与性质 . 设函数 ，数列 满足 求数列 的通项公式； 设 ，若 对 恒成立，求实数 的取值范围； 是否存在以 为首项，公比为 的数列 ， ，使得数列 中每一项都是数列 中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列 的通项公式；若不存在，说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）存在，理由详见 试题分析：（ 1）将 利用 进行化简，得到关于与 的递推关系式，根据其特点，求其通项公式；（ 2）本题关键是求出 ，根据其表达式的特点，可每两项组合后提取公因式 后，转化为等差数列求和，但要注意对 ，分奇偶性讨论，求出 后， 对 恒成立再分离参数后转化为求最值问题，容易求出
13、实数 的取值范围；（ 3）此类问题，一般先假设存在符合条件的数列，解出来则存在，如果得到矛盾的结果，则假设错误，这样的数列则不存在 . 试题： 因为 ， 所以 2分 因为 ，所以数列 是以 1为首项，公差为 的等差数列 所以 4分 当 时， 6分 当 时， 8分 所以 要使 对 恒成立， 只要使 为偶数恒成立 只要使 ， 为偶数恒成立，故实数 的取值范围为 10分 由 ，知数列 中每一项都不可能是偶数 如存在以 为首项，公比 为 2或 4的数列 ， ， 此时 中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以 为首项，公比为偶数的数列 12分 当 时，显然不存在这样的数列 当 时，若存在以 为首项，公比为 3的数列 ， 则 ， ， ， 所以满足条件的数列 的通项公式为 16分 考点：等差数列、等比数列与函数、不等式的综合运用 .
