1、2014届江苏省泰兴市第三高级中学高三上学期期中调研测试数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知复数 ，且 ，则 答案： 试题分析： ，所以 ，. 考点：复数的四则运算 . 已知函数 （ 为常数， 为自然对数的底数）的图象在点 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：函数在点 处的切线的方程为 ，因此原条件转化为直线与曲线 有两个公共点，即方程 有两个小于 1的根，设 ，则有，解得实数 的取值范围是实数 的取值范围是 考点：导数的几何意义、函数与方程、一元二次方程根的分布 . 设等差数列 的首项及公差均是正整数，前 项和为 ，且 ， ，则 = 答案： 试题
2、分析：由 得， ，等差数列 的首项及公差均是正整数及 ，得到以下可能， 或 或，再结合 ，所以只有 ，于是数列 的首项及公差为2，所以 . 考点：等差数列的概念和通项公式 . 将函数 （ ）的图象向左平移 个单位，得到函数的图象，若 在 上为增函数，则 的最大值为 答案： 试题分析： ，根据函数的图象可知，当函数 在 上为增函数的最大 满足 ，所函数在 上为增函数的最大 . 考点： 的图象与性质 . 如图 , 在等腰三角形 中 , 底边 , , , 若, 则 = 答案： 试题分析：以 为 轴， 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，则， ，设 ，则 ， ， ， ，得 ， ， ，. 考点：平面
3、向量的数量积 . 已知 是定义在 上的函数，且对任意实数 ，恒有，且 的最大值为 1，则满足 的解集为 答案： 试题分析：由函数 恒成立知 是增函数，由条件知可变形为， ，所以 ，所以 . 考点：增函数的定义、对数函数的性质 . 已知 ，其中 ，若 ，则 = 答案： 试题分析： ， ，又由得， ，化简得，即 ，所以 ，得 ，所以 ， . 考点：向量的数量积、三角函数公式 . 方程 有 个不同的实数根 答案： 试题分析：原问题可转化为求函数 的图象与函数 图象交点个数，画出它们的图象（如图），可知有两个交点 . 考点：函数与方程 . 若命题 “ ，使 ”的否定是假命题，则实数 的取值范围是 答案
4、： 试题分析：原问题等价于 “ ，使 ”的否定是真命题，则函数有两个零点，所以 ，得 或 . 考点：存在命题和全称命题、二次函数 . 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值是 . 答案： 试题分析：设数列的公比为 ，由 得 ，解得 ，再由 得 ，即 ，得 . 考点：等比数列的通项公式、求和公式 . 设函数 是定义在 R上的偶函数，当 时， ，若 ，则实数 的值为 答案： 试题分析：当 时，由 有 ，得 ，又由函数 是定义在 R上的偶函数，根据对称性知，当 时，由 ，应有 ，所以实数 的值为 . 考点：函数的奇偶性 . 给出下列几个命题： 是 的必要不充分条件； 若 是不共线的四点，则 是
5、四边形 为平行四边形的充要条件； 若则 的充要条件是 ； 若 为互相垂直的单位向量， ， ，则 的夹角为锐角的充要条件是 ，其中，正确命题的序号是 答案： 试题分析：若 则 ，但若 ，则不一定有 ，所以 正确；当 是不共线的四点旱，显然 四边形 为平行四边形，所以 正确；当 时，有 ， 不一定成立，所以 不正确有； 时，有 ，但 时，可能 互为相反向量，所以 不正确； 中，当 时， ， 的夹角为 0，不是锐角，所以 不正确 . 考点：向量的有磁概念和向量的数量积 . 已知数列 是等差数列，且 ，则 答案： 试题分析：由等差数列的性质及 知 ，故 ，得.考点：等差数列的性质、特殊角的三角函数 .
6、 已知集合 ，则 的所有非空真子集的个数是 答案： 试题分析： 由 ，得 ，所以 的值可能是，得 的值可能是 ，所以 中共有 9个元素，所以 的所有非空真子集的个数是 （个） . 考点：集合、子集 . 解答题 已知函数 (a， b均为正常数 ). （ 1）求证：函数 在 内至少有一个零点； （ 2）设函数在 处有极值， 对于一切 ，不等式 恒成立，求 的取值范围； 若函数 f(x)在区间 上是单调增函数，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1）详见；（ ） . 试题分析：（ ）证明函数 在 内至少有一个零点，可由零点的存在性定理考察 和 的符号，若 且 ，则结论成立，若 ，可将区间 进行适当分割
7、，再依上面方法进行，直到找到函数的零点的存在区间；（ ）易知 ，从而求出 的值 . 不等式 恒成立可化分离参数转化为求函数在区间 上的最值问题，这是一个普通的三角函数问题，通过判断三角函数的单调性容易解决； 函数在一个已知区间上为增函数，求参数的取值范围问题，通常有两种方法，一是用在这个区间上 导函数的符号确定，一般三角函数不用此方法，二是求出函数的单调递增区间，它必包含已知区间，然后考察参数的取值范围 . 试题：（ 1）证明： ，所以，函数 在 内至少有一个零点 4分 （ 2） 由已知得： 所以 a=2， 所以 5分 不等式 恒成立可化为： 记函数 ，所以 在 恒成立 8分 函数 在 上是增
8、函数，最小值为 所以 ， 所以 的取值范围是 10分 由 得： ，所以 11分 令 ，可得 13分 函数 在区间（ ）上是单调增函数， 14分 ， ， ， 16分 考点：函数的零点、三角函数的性质 . 如图 ,在半径为 、圆心角为 60的扇形的 弧上任取一点 ,作扇形的内接矩形 ,使点 在 上 ,点 在 上 ,设矩形 的面积为 . ( ) 按下列要求写出函数关系式： 设 ,将 表示成 的函数关系式； 设 ,将 表示成 的函数关系式 . ( ) 请你选用 ( )中的一个函数关系式 ,求 的最大值 . 答案：（ ）详见；（ ） . 试题分析：（ ） 要用 表示矩形 的面积，关键是把 用 表示，在
9、中可表示出 ，在 中可表示出 ， 即得 ； 在 中，可用 表示 和 ，在在 中可用 即 表示出 ，即得 ；（ ）对（ ）中函数，是常见的函数或三角函数问题，较为容易解答，求出其最大值 . 试题： ( ) 因为 ,所以 , 又 ,所以 2分 故 ( ) 4分 当 时 , ,则 ,又 ,所以 6分 故 ( ) 8分 ( )由 得 = 12分 故当 时 , 取得最大值为 15分 考点：函数的应用、三角函数 . 在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， （ 1）求角 C的大小； （ 2）若 ABC的外接圆直径为 1，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） ； 试题分析：（ 1
10、） 中有正切和正弦、余弦，这样的问题一般是“切化弦 ”，统一为同名三角函数后再利用三角函数的相关公式进行变形解答；（ 2）利用正弦定理， 可化为角 的三角函数，再利用 ，可消去一元，问题于是就转化为三角函数的值域问题 . 试题： (1)因为 ，即 ， 所以 ， 即 ， 得 4分 所以 ，或 (不成立 ) 即 , 得 7分 (2)由 ，设 ， 因 ， 8分 故 = 12分 ，故 15分 考点：两角和与差的三角函数、正弦定理 . 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且. （ ）若 ，求角 ； （ ）设 ， ，试求 的最大值 . 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）由则可联想 余弦
11、定理求出角 ，而由，则易联想两角差的正切公式，求得 ，结合三角形内角和定理可求出角 ；（ ）很显然 是角 的三角函数，由角的大小则可确定角 的取值范围，于是问题就转化为三角函数的值域问题，一般可化为 的类型后解决，也可能化为一个三角函数的二次型问题解决 . 试题： ； ， （ 1） ，又 或 （舍去） 7分 （ 2） 令 时， 的最大值为 14分 考点：余弦定理、两角差的正切公式、正弦函数的性质 . 已知 是同一平面内的三个向量，其中 （ 1）若 ，且 ，求： 的坐标 （ 2）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角 答案：（ 1） 或 ；（ 2） . 试题分析：（ 1）设 ，利用两个已知条件 ，
12、列出关于的方程组，解出 即可；（ 2）由 与 垂直得 ，对此式进行化简，可求出 ，又 的模易知，利用向量数量积的定义则可求出 与 的夹角 . 试题：设 由 得 所以， 7分 （ 2） 与 垂直， 即 ； ， 14分 考点：向量的数量积、向量的模、向量的平行与垂直 . 已知数列 的奇数项是首项为 1的等差数列，偶数项是首项为 2的等比数列 .数列 前 项和为 ，且满足 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）求数列 前 项和 ； （ 3）在数列 中，是否存在连续的三项 ，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数 的值；若不存在，说明理由 答案：（ 1） ；（ 2 ；（ 3）存在，详
13、见 试题分析：（ 1）此类问题一般用等差数列和等比数列的基本量根据题目条件布列方程，解之即可，体现的方程的基本思想，解出等差数列和等比数列后，便可写出数列的通项公式，要注意本题数列的特点，可将其写成分段的形式；（ 2）在求出等差数列和等比数列的公差和公比后，求得难度已经不大，但要注意分组求和；（ 3）此类探究性问题，一般先假设存在符合条件的连续三项，然后通过推理，求出则存在，若得到矛盾，则不存在，存在时还要注意求出所有符合条件的解，注意分类讨论思想的应用 . 试题：（ 1）设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 ， 则 又 ， ，解得 对于 ，有 故 5分 （ 2）由（ 1）知，在数列 中，前 项中所有奇数项的和为 ，所有偶数项的和为 ，所以有 8分 （ 3）在数列 中，仅存在连续的三项 ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数 的值为 1，下面说明理由 10分 若 ，则由 ，得 化简得 ，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立 12分 若 ，则由 ，得 化简得 14分 令 ，则 因此， ，故只有 ，此时 综上，在数列 中，仅存在连续的三项 ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数 的值为 1 16分 考点：等差数列、等比数列，数列的求和 .
