1、2014届江苏省涟水中学高三 10月质量检测理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知： A= ， B= ，则 AB=_. 答案： 试题分析：由 ，即 . 考点：集合的基本运算 . 设函数 ，记 ，若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：令 设，令 ， ，发现函数 在 上都单调递增，在 上都单调递减，于是函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时 ，所以函数 有零点需满足 ，即. 考点：导数、函数的零点、函数的单调性 对于三次函数 ，定义 是函数 的导函数。若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的 “拐点 ”。有同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且
2、拐点就是对称中心。根据这一发现，对于函数 ，则 的值为 _. 答案： 试题分析：令 ， 由令 且 ，所以得函数的对称中心 ，于是点 与点 关于点对称，即 ，同理可得；而于是，所以 同理可得，故. 考点：导数、函数新定义、中心对称 . 已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是 答案： 试题分析：函数 ，令 ，解得 显然当 时 ；当 时 ，所以 . 考点：二次函数的值域 . 已知函数 ，满足对任意 ，都有成立，则的取值范围是 . 答案： 试题分析：已知函数 满足对任意 ，都有 成立，所以当 时都有 ，也就是函数 是递减函数，所以且 ，即 . 考点：函数的单调性 . 设函数 ，则 . 答案： 试题分析
3、：，又 ，所以 . 考点：分段函数 命题 ，命题 ，或 ， 是 （ “充分不必要条件 ”、 “必要不充分 ”、 “充要条件 ”、 “既不充分也不必要条件 ”） . 答案：充分不必要条件 试题分析： ，即 ，设集合， ，显然 的真子集，于是 是充分不必要条件 . 考点：不等式解法、充分必要条件 . 若函数 的图象对称轴是直线 ，则非零实数 的值为 . 答案： 试题分析：若函数 的图象对称轴是直线 ，则 是方程的根，即 . 考点：对数函数的图像 . 已知函数 ，则 = . 答案： 试题分析：，所以. 考点：导数、特殊角三角函数值 . 曲线 在点（ 1,-1）处的切线方程是 答案： x-y-2=0
4、试题分析：由 ，则 ，所以切线方程为. 考点：导数的几何意义 . 命题 “ ”的否定是 （用数学符号表示） . 答案： 试题分析：全称命题的否定变为特称命题，于是命题 “ ”的否定是 . 考点：含有一个量词的命题的否定 . 计算 。 答案： 试题分析： . 考点：诱导公式 . 函数 y ln(x-1)的定义域为 . 答案： 试题分析：根据对数的真数大于零，所以 . 考点：函数的定义域 . 若函数 是周期为 5的奇函数，且满足 ，则= . 答案： -1 试题分析：根据函数 是周期为 5的奇函数，且满足 ，所以，所以 . 考点：周期函数 . 解答题 如图，三棱锥 P ABC中，已知 PA 平面 A
5、BC， ABC是边长为 2的正三角形， D， E分别为 PB， PC中点 （ 1）若 PA 2，求直线 AE与 PB所成角的余弦值； （ 2）若 PA ，求证：平面 ADE 平面 PBC 答案：（ 1） ， ；（ 2） 试题分析： (1)首先建立空间直角坐标系，给出相关点的坐标，利用空间向量求解； (2) 利用空间向量求解平面的法向量，然后根据法向量互相垂直可证明 试题：（ 1）如图，取 AC的中点 F，连接 BF，则 BF AC 以 A为坐标原点，过 A且与 FB平行的直线为 x轴， AC为 y轴， AP为 z轴，建立空间直角坐标系 则 A(0， 0， 0)， B(， 1， 0)， C(0，
6、 2， 0)， P(0， 0， 2)， E(0， 1， 1)， 从而 (， 1， 2)， (0， 1， 1) 设直线 AE与 PB所成角为 ， 则 cos | 即直线 AE与 PB所成角的余弦值为 5分 （ 2）如上图，则 A(0， 0， 0)， B(， 1， 0)， C(0， 2， 0)， P(0， 0， )， E(0， 1， )，设平面 PBC的法向量为 ，则 令 ，则 ，所以 同理可求平面 ADE的法向量 所以 ，即 于是平面 ADE 平面 PBC 考点：空间直角坐标系、空间向量、线线角以及面面垂直的证明 已知椭圆 ： 与 正半轴、 正半轴的交点分别为 ，动点是椭圆上任一点，求 面积的最
7、大值。 答案： 试题分析：先求顶点坐标，再求直线方程，根据椭圆的参数方程表示出点 的坐标，然后再求点到直线的距离，表示出面积，然后求最值 试题：依题意 ， ， ，直线 ： ，即设点 的坐标为 ，则点 到直线 的距离是 ， 4分 当 时， ， 6分 所以 面积的最大值是 10分 考点：椭圆的参数方程、点到直线的距离、三角函数求最值 已知矩阵 ，向量 ，求向量 ，使得 答案： 试题分析：设向量 ，然后代入，利用矩阵计算即可 试题：设 ，由 得： ， 4分 10分 考点：矩阵 已知函数 ( 为实常数 ) （ 1）当 时，求函数 在 上的最大值及相应的 值； （ 2）当 时，讨论方程 根的个数 （ 3
8、）若 ，且对任意的 ，都有 ，求实数a的取值范围 答案：（ 1）当 时 ；（ 2）当 时，方程有 2个相异的根；当 或 时，方程 有 1个根；当时，方程 有 0个根；（ 3） 试题分析： (1) 利用导数求解极值点，然后确定单调性，分析最值； (2)把方程的根转化为函数图像的交点，利用导数研究单调性，进而求最值，然后分析交点的情形即根的情形；（ 3）通过对函数单调性的分析，可得导数在区间上大于零恒成立问题，然后转化为最值求解 试题： （ 1） ， 当 时， 当 时， ， 又 ， 故 ，当 时，取等号 4分 （ 2）易知 ，故 ， 方程 根的个数等价于 时，方程 根的个数。 设 = ， 当 时，
9、 ，函数 递减， 当 时， ，函数 递增。 又 ， ，作出 与直线 的图像，由图像知： 当 时，即 时，方程 有 2个相异的根； 当 或 时，方程 有 1个根； 当 时，方程 有 0个根； 10分 （ 3）当 时， 在 时是增函数，又函数 是减函数，不妨设，则 等价于 即 ，故原题等价于函数 在 时是减函数， 恒成立，即 在 时恒成立。 在 时是减函数 16分 （其他解法酌情给分） 考点：导数，函数的单调性，函数的最值 已知函数 ， （ 1）判断函数 的奇偶性； （ 2）求函数 的单调区间； （ 3）若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围 答案：（ 1）偶函数；（ 2） , ；（ 3）
10、试题分析： (1)判断奇偶性，需先分析函数的定义域要关于原点对称，然后分析式 与 的关系可得； (2)根据偶函数在对称区间上的单调性相反，所以可以考虑先分析 时的单调性，于是在 时利用导数分析函数的单调性，然后再分析对称区间上的单调性；（ 3）把方程的根转化为函数的零 点，然后利用导数分析函数的最值，保证函数图形与 的交点的存在 试题：（ 1）函数 的定义域为 且 关于坐标原点对称 1分 为偶函数 4分 （ 2）当 时， 5分 令 令 6分 所以可知：当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增， 7分 又因为 是偶函数，所以在对称区间上单调性相反，所以可得： 当 时， 单调递增， 当 时， 单调
11、递减， 8分 综上可得： 的递增区间是 : , ； 的递减区间是 : , 10分 （ 3）由 ，即 ,显然 , 可得： 令 ，当 时 , 12分 显然 ，当 时， , 单调递减， 当 时， , 单调递增， 时 , 14分 又 ，所以可得 为奇函数，所以 图像关于坐标原点对称 所以可得 :当 时， 16分 的值域为 的取值范围是 相关试题 2014届江苏省涟水中学高三 10月质量检测理科数学试卷（带） 已知某公司生产品牌服装的年固定成本是 10万元，每生产千件，须另投入2 7万元，设该公司年内共生产该品牌服装 x千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R（ x）万元，且 （ 1）写出年利润 W（万
12、元）关于年产量 x（千件）的函数式； （ 2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？（注：年利润 =年销售收入 年总成本） 答案：（ 1） ；（ 2）当 x=9千件时， W取最大值 38 6万元 试题分析：（ 1）本小题主要利用利润等于销售收入减去成本，再求解的时候注意分段函数的使用；（ 2）本小题主要利用分段函数分开求最值，针对三次函数用导数分析单调性，然后求最值；对于分式结构可以考虑用基 本不等式求最值 试题：（ 1）当 当 7分 （ 2） 当 当 12分 当 x10时 当且仅当 由 知，当 x=9千件时， W取最大值 38 6万元 16分 考点：分段函数、导数分析
13、单调性，基本不等式 已知函数 f(x) x2 mlnx (1)若函数 f(x)在 (， )上是递增的，求实数 m的取值范围； (2)当 m 2时，求函数 f(x)在 1， e上的最大值和最小值 答案：（ 1） ；（ 2） ； 试题分析：（ 1）主要利用函数在区间上的单调递增转化为导数在该区间上恒大于零，然后再把恒成立问题转化为最值来求；（ 2）利用导数分析函数在区间上的单调性，然后求对应的最值 试题：（ 1）若函数 f(x)在 (， )上是增函数， 则 f(x)0在 (， )上恒成立 2分 而 f(x) x ，即 mx2在 (， )上恒成立，即 m 8分 (2)当 m 2时， f(x) x ，
14、 令 f(x) 0得 x ， 10分 当 x 1， )时， f(x)0， 故 x是函数 f(x)在 1， e上唯一的极小值点， 故 f(x)min f() 1 ln2， 又 f(1)， f(e) e2 2 ，故 f(x)max 14分 考点：导数、函数单调性，函数的最值 已知函数 的值域为集合 ，关于 的不等式的解集为 ，集合 ,集合（ 1）若 ,求实数 的取值范围； （ 2）若 ,求实数 的取值范围。 答案：（ 1） ；（ 2） ， 试题分析：（ 1）本小题主要考查不等式的解法、以及集合的基本关系，根据函数 单调性可求集合 ；利用 可求集合 ；然后利用 可分析实数 的取值范围；（ 2）先解集
15、合 ，然后根据 可分析实数 的取值范围 试题：（ 1）因为 ，所以 在 上，单调递增， 所以 ， 2分 又由 可得： 即： ，所以 ， 所以 ， 4分 又 所以可得： ， 5分 所以 ，所以 即实数 的取值范围为 6分 （ 2）因为 ,所以有 ,所以 , 8分 对于集合 有 : 当 时 ,即 时 ,满足 10分 当 时 ,即 时 ,所以有 : ,又因为 ,所以 13分 综上：由 可得：实数 的取值范围为 14分 考点：不等式的解法，集合的基本关系 设函数 的最大值为 ，最小值为 ，其中 （ 1）求 、 的值（用 表示）； （ 2）已知角 的顶点与平面直角坐标系 中的原点 重合，始边与 轴的正半
16、轴重合，终边经过点 求 的值 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析： (1)本小题主要考查二次函数图像与性质，通过判断对称轴与区间的位置关系确定最值的位置，然后代入化简来求； (2) 本小题主要考查三角函数的定义、同角三角函数基本关系式，由（ 1）可分析得 ，三角函数定义求，然后根据商的关系化为正切来求 . 试题：（） 由题可得 而 分 所以， 分 （）角 终边经过点 ，则 分 所以， = 分 考点：二次函数图像与性质、三角函数的定义、同角三角函数基本关系式 如图，已知抛物线 的焦点为 F 过点 的直线交抛物线于 A， B 两点，直线 AF， BF分别与抛物线交于点 M， N （ 1）求 的值； （ 2）记直线 MN的斜率为 ，直线 AB的斜率为 证明： 为定值 答案：（ 1） ， ；（ 2） 试题分析： (1)把直线方程代入到抛物线方程中整理化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系可求； (2) 利用设点表示出斜率，根据根与系数关系代入化简可求得定值 试题：（ 1）解：依题意，设直线 AB的方程为 将其代入 ，消去 ，整理得 从而 5分 （ 2）证明： 设 M 则 设直线 AM的方程为 ，将其代入 ，消去 ， 整理得 所以 同理可得 故 由（ 1）得 为定值 10分 考点：直线方程、抛物线方程、直线与抛物线的位置关系
