1、2014届江苏省灌云高级中学高三第一学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 填空题 在 中，已知 ，则 = . 答案： 试题分析：在 中 ,由余弦定理得 :,则 . 考点：解三解形 已知函数 若函数 与 的图象有三个不同交点，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：根据题意 ,可作函数 的图象如下图所示 ,又作 图象如下图中的虚线所示 ,由图显然知 ,要有三个不同的交点 ,就要满足 : ,得 考点： 1.函数的图象 ;2.指数不等式 已知函数 ，若对任意的实数 ，不等式恒成立，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：化简函数得 :,因为,当,又由题意,得 : 故 ;同理得当时 , ;当
2、时 , 恒成立 ,综上所述 考点： 1.函数的最值 ;2.基本不等式 设数列 的首项 ，前 n项和为 Sn ,且满足 ( n N*) 则满足 的所有 n的和为 答案： 试题分析：由题意 ,可得 : ,与原式相减得 :,故 ,又,得 ,所以 是等比数列 ,可得有,则,解得 ,所以和为 考点： 1.等比数列的运算 ;2.指数不等式 设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题： （ 1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ； （ 2）若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则 和 平行； （ 3）设 和 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和 垂直； （ 4）直线 与 垂直
3、的充分必要条件是 与 内的两条直线垂直 . 上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号） . 答案：（ 1）（ 2） 试题分析：（ 1）是个常用结论 ;（ 2）是直线与平面平行的判定定理 ; （ 3） 垂直 内一条直线 ,并不能得到 ,故而得不到 ,即错 ; （ 4） 垂直内的两条直线 ,又 垂直 内的两条直线不能推出 ,即错 . 考点： 1.线面与面面平行 ;2.线面与面面垂直 曲线 在点（ 1， 2）处的切线方程是 答案： 试题分析：对 求导得 : ,由导数的几何意义得 :,所以切线方程为 ,化简得 . 考点：曲线的切线方程 若已知 满足 求 的最大值与最小值的差是 答案： 试题分析
4、：要据 的条件 ,作图如下 ,求得其中 ,可见当过 时 ,过 时 ,则最大值与最小值的差为 . 考点：简单线性规划 如果一个正三棱锥的底面边长为 6，且侧棱长为 ，那么这个三棱锥的体积是 . 答案： 试题分析：根据题意可作图如下 ,其中 ,则在 中 , , ,在 中 ,由 根据勾股定理得 :,所以 考点：三棱锥的体积 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：由 ,又因为,则由数轴得 ,即 . 考点： 1.对数不等式 ;2.集合运算 已知等差数列 = . 答案： 试题分析：根据题意 ,可设公差为 d,则 ,解得 ,则. 考点：等差数列的基本运算 已知函数 ， ，若实数
5、满足 ，则 的大小关系为 . 答案： 试题分析： 在 R上单调递减 ,又 ,所以 . 考点：指数函数的单调性 函数 的单调减区间为 . 答案： 试题分析：对函数 求导得 :,令 ,可解得. 考点：导数在函数单调性中的运用 已知向量 和向量 的夹角为 ， ，则向量 和向量 的数量积 = . 答案： 试题分析：由数量积的定义可得 : . 考点：向量的数量积 若复数 ，其中 是虚数单位，则复数 的实部为 . 答案： -20 试题分析：由 , 则 ,故实部等于 -20. 考点：复数的运算 解答题 设等比数列 的首项为 ，公比为 （ 为正整数），且满足 是与 的等差中项；数列 满足 （ ） . （ ）求
6、数列 的通项公式； （ ）试确定 的值，使得数列 为等差数列； （ ）当 为等差数列时，对每个正整数 ，在 与 之间插入 个 2，得到一个新数列 . 设 是数列 的前 项和，试求满足 的所有正整数 . 答案：（ ） ;（ ） 时，数列 为等差数列 ;（ ） 试题分析：（ ）根据题意 是 与 的等差中项 ,由等差中项不难得出三者的关系 ,又由 为等比数列 ,回归基本量即可求出公比 的值 ,就可求出的通项公式 ; （ ）由数列 满足 ,可化简求得的表达式 ,即 ,由（ ）中所给条件 为等差数列 ,可想到它的前三项一定符合等差数列的要求 ,即满足 ,可求出 的值 ,这样得到 的表达式 ,通过等差数列
7、的定义对所求 表达式进行验证 ,得出是一个等差数列 ;（ ）由题目在 与 之间插入 个 2,即 和 之间插入 2k个 2,这样不难发现这个数列的前三项均为 2,这 显然成立 ,推到一般情形去证明当 时 ,等式左边 ,右边 ,化简得,可根据特点可令函数 ,可对其求导进行分析函数的单调性情况 ,发现最小值 成立 ,从而就可得出符合题意的 值 . 试题：解：（ ）因为 ,所以 ， 解得 （舍），则 3分 又 ，所以 5分 （ ）由 ，得 ， 所以 , 则由 ，得 8分 而当 时， ，由 （常数）知此时数列 为等差数列 10分 （ ）因为 ，易知 不合题意， 适合题意 11分 当 时，若后添入的数 2
8、 ，则一定不适合题意，从而 必是数列中的 某一项 ，则 ， 所以 ，即 13分 记 ，则 ， 因为 ， 所以当 时， ，又 ， 从而 ，故 在 3， 递增 . 则由 知 =0在 3， 无解， 即 都不合题意 15分 综上知，满足题意的正整数仅有 m=2 16分 考点： 1.等比数列的通项 ;2.等差数列的定义 ;3.函数的性质 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为 米的圆在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为 元 /根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元假设
9、座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为 元 （ ）试写出 关于 的函数关系式，并写出定义域； （ ）当 米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？ 答案：（ ） , （ ）当座位个数为 个 试题分析：（ ）根据题意 ,相邻的两座位之间的弧长为 米 ,则可推出摩天轮的总座位数 ,摩天轮的造价分成座位与支点相连的钢管的费用和两座位之间的钢管和其中一个座位的费用两部分之和 ,即 : ,化简整理得到 关于 的函数关系式，又由题中所给至少有两个座位可得;（ ）由 米时，可对（ ）中的函数进一步化简成 关于 的函数关系式 ，根据其特点可对函数进行求导 ,之后
10、令,求得对应的 值 ,从而求出函数 最小值 . 试题：解：（ ）设摩天轮上总共有 个座位，则 ，即 ， ，（ 3分） 定义域 ； （ 6分） （ ）当 时，令 ， 则 ， ，（ 11分） 当 时， ，即 在 上单调减， 当 时， ，即 在 上单调增， 在 时取到，此时座位个数为 个 （ 16分） 考点： 1.函数应用题 ;2.导数求函数的最值 已知函数 的最小正周期是 （ ）求 的值；（ ）若不等式 在 上恒成立，求实数的取值范围 答案：（ ） ;（ ） 试题分析：（ ）根据三角公式中的二倍角公式和降次公式 ,对已知函数式进行化简 ,得到 ,再运用 ,将函数化成 的形式 ,由 求出 ;（ ）由
11、所给,去掉绝对值后 ,可求出 m的不等式 ,再结合（ ）中所函数和已知 的范围运用三角函数的图象和性质不难求出 的最大值和最小值 ,最后由恒成立 ,可求得 . 试题：（ ） 由题设可得， ，所以 6分 （ ） 又 ， ， 即 ， ， ， ， ， 即 的取值范围是 14分 考点： 1.三角化简 ;2.绝对值不等式 ;3.三角函数的图象和性质 如图，棱柱 的侧面 是菱形， （ ）证明：平面 平面 ； （ ）设 是 上的点，且 平面 ，求 的值 . 答案：（ ）详见 ;（ ） 试题分析：（ ）由题中侧面 是菱形 ,可见它的对角线相互垂直 ,即,再加上所给的条件 ,这样就出现了一条直线同时与两条直线垂
12、直 ,而这两条直线确定了要证的两个平面中一个平面 ,即平面 ,根据直线与平面垂直的判定定理可证得 平面 ,最后由平面与平面垂直的判定定理 ,可以得证 ; （ ）由（ ）中的条件 平面 ,由直线与平面平行的性质定理 ,可构造出一个过 的平面 ,即为图中的平面 ,然后在 中 ,由菱形 知 为一边中点 ,再结合三角形中位线不难得出 为 的中点 ,这样得到 试题：解：（ ）因为侧面 是菱形，所以 又已知 所又 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 . （ ）设 交 于点 ，连结 ， 则 是平面 与平面 的交线， 因为 平面 ，所以 . 又 是 的中点，所以 为 的中点 . 即 . 考点： 1.线线 ,
13、线面与面面垂直 ;2.线线与线面平行 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且. （ ）若 ，求角 ； （ ）设 ， ，试求 的最大值 . 答案：（ ） ;（ ） 试题分析：（ ）由题中所给 ,不难想到余弦定理 ,可求得 ,又由 ,变形成 ,从而求出,结合 和 ,不难求出 B; （ ）由已知可求出 ,又由向量的数量积公式可求出 的形式 ,这样得到关于 A的一个三角函数式 ,运用二倍角公式化简得一个关于 为整体的二次函数 ,即 ,又由 的值推出 的范围 ,进而得出 的范围 ,从而求出 的范围 ,即可求得最大值 . 试题：解：由 ，得 ， 又 ， 3分 （ ）由 ， ， ， 6分， 又 ，
14、 8分 （ ） = 11分 又 中， ，得 ， ， 的最大值为 14分 考点： 1.解三角形 ;2.三角函数的性质 ;3.向量的数量积 设函数 ， （ ）若 ，求 的极小值； （ ）在（ ）的结论下，是否存在实常数 和 ，使得 和？若存在，求出 和 的值若不存在，说明理由 （ ）设 有两个零点 ，且 成等差数列，试探究 值的符号 答案：（ ） ;（ ）存在这样的 k和 m，且 ;（ ）的符号为正 . 试题分析：（ ）首先由 ,得到关于 的两个方程 ,从而求出 ,这样就可得到 的表达式 ,根据它的特点可想到用导数的方法求出的极小值 ; （ ）由（ ）中所求的 和 ,易得到它们有一个公共的点 ,且
15、 和 在这个点处有相同的切线 ,这样就可将问题转化为证明 和 分别在这条切线 的上方和下方 ,两线的上下方可转化为函数与 0的大小 ,即证 和 成立 ,从而得到 和的值 ; （ ）由已知易得 ,由零点的意义 ,可得到关于两个方程 ,根据结构特征将两式相减 ,得到关于 的关系式,又对 求导 ,进而得到 ,结合上面关系可化简得 : ,针对特征将 当作一个整体 ,可转化为关于 的函数 ,对其求导分析得 , 恒成立 . 试题：解：（ ）由 ，得 ，解得 2分 则 = ， 利用导数方法可得 的极小值为 5分 （ ）因 与 有一个公共点 ，而函数 在点 的切线方程为 ， 下面验证 都成立即可 7分 由 ，得 ，知 恒成立 8分 设 ，即 ，易知其在 上递增，在上递减， 所以 的最大值为 ，所以 恒成立 . 故存在这样的 k和 m，且 10分 （ ） 的符号为正 . 理由为：因为 有两个零点，则有 ，两式相减得 12分 即 ，于是 14分 当 时，令 ，则 ，且 . 设 ，则 ，则在 相关试题 2014届江苏省灌云高级中学高三第一学期期中考试文科数学试卷（带）
