1、2014届江苏省苏州市高三暑假自主学习测试理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 ， ，则 . 答案： 试题分析：根据交集的定义有 . 考点：交集的概念 . 已知各项均为正数的等比数列 ，若 ，则 的最小值为 _. 答案： 试题分析：设 的公比为 ，由 ，得，所以 ，显然 ，令 ，则 ，设函数， ，易知当 时 为减函数，当时， 为增函数，所以 的最小值为 ，故 的最小值为 54. 考点：等比数列、函数的最值 . 已知函数 和 的图象的对称轴完全相同，则 的值是 答案： -2 试题分析：由两函数的图象的对称轴完全相同知 ， 图象的一条对称轴为 ，所以 ，得 ，所以. 考点：三角函数的图象
2、与性质 . 已知 是直线 上一动点， 是圆的两条切线，切点分别为 若四边形 的最小面积为 2，则 = 答案： 试题分析：圆 的圆心为 ，半径为 1，因为四边形的面积 ，而 最小值为 2，所以 的最小值为 ，即圆心 到直线 距离 ，解得 . 考点：圆的切线的性质、点到直线的距离公式，函数的应用 . 如图，在直四棱柱 中，点 分别在 上，且， ，点 到 的距离之比为 ，则三棱锥和 的体积比 . 答案： 试题分析：点 到 的距离之比为 ，所以 ，又直四棱柱中， ， ，所以 ，于是. 考点：直棱柱的定义、棱锥体积公式 . 已知函数 ，则满足 的 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：解不等式组 得 ，解
3、不等式组 得，综上得 的取值范围是 . 考点：分段函数的意义、解不等式 . 已知实数 满足不等式组 ，则 的最大值是 答案： 试题分析：不等式表示的平面区域如图所示为四边形 及其内部， 的几何意义为直线 在 轴上的截距，由图可知，当直线 经过点时，截距最大，解方程 得 ，所以 . 考点：简单的线性规划 . 已知函数 ,其中 是取自集合 的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为 _ 答案： 试题分析： 所取的值有 6种等可能的结果： ， ， ， ， ，使函数为偶函数的 所取的值有 ， ，所以所求的概率为 . 考点：幂函数、函数的奇偶性 . 根据如图所示的伪代码，最后输出的 的值为 _. 答案： 试
4、题分析：第一次循环时， ， ；第二次循环时， ，第三次循环时， ， ，结束循环，输出 的值为 9. 考点：循环结构、伪代码 . 设 ，向量 且 ，则 = 答案： 试题分析：由 ,得 ，所以 . 考点：向量垂直的坐标表示 . 设复数 满足 ( 为虚数单位），则 = . 答案： 试题分析：由 ，得 ，所以 . 考点：复数的四则运算，复数模的概念 . 若 ，则 的最小值为 答案： 试题分析： ， ，当 即 时等号成立，所以 的最小值为 4. 考点：基本不等式的应用 . 样本数据 18， 16， 15， 16， 20的方差 . 答案： .2 试题分析：由平均数和方差计算公式有 ，. 考点：样本方差的计
5、算 . 已知双曲线 的离心率为 2，则 的值为 _ 答案： 试题分析：由题意得， ， ，根据双曲线离心率，得 考点：双曲线的离心率 . 解答题 在平面直角坐标系 中，已知曲线 上任意一点到点 的距离与到直线 的距离相等 （ ）求曲线 的方程； （ ）设 ， 是 轴上的两点 ，过点 分别作 轴的垂线，与曲线 分别交于点 ，直线 与 x轴交于点，这样就称 确定了 同样，可由 确定了 现已知，求 的值 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）根据抛物线的定义及标准方程求解；（ ）先由 求 ，再由 求 . 试题：（ ）因为曲线 上任意一点到点 的距离与到直线 的距离相等， 根据抛物线定义知，曲线
6、是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线， 故其方程为 4分 （ ）由题意知， ， ，则， 故 6分 令 ，得 ，即 8分 同理， ， 9分 于是 10分 考点：抛物线的概念、曲线的交点 . 设实数 满足 ，求证： 答案：详见 . 试题分析：作差，分解因式，配方，判断符号 . 试题：作差得 1分 4分 6分 因为 ，所以 不同时为 0，故 ， ， 所以 ，即有 10分 考点：不等式的证明 . 已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为试求曲线 和 的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系 答案：内含 试题分析：先化为直角坐标方程，再由圆心距和两圆半径关系判定 . 试题：由 得曲线 的直角坐标方
7、程为 2分 由 得曲线 的直角坐标方程为 5分 曲线 表示以 为圆心， 5为半径的圆；曲线 表示以 为圆心， 2为半径的圆 因为两圆心间距离 2小于两半径的差 5-2=3， 8分 所以圆 和圆 的位置关系是内含 10分 考点：极坐标方程化为直角坐标方程、圆与圆的位置关系 . 已知矩阵 ， ，求矩阵 答案： 试题分析：先用待定系数法求出 ，再求出 . 试题：设矩阵 的逆矩阵为 ，则 ， 1分 即 ， 4分 故 ，从而 的逆矩阵为 7分 所以 10分 考点：矩阵的乘法、逆矩阵 . 已知：如图，点 在 上， ， 平分 ，交 于点 求证： 为等腰直角三角形 答案：详见 . 试题分析：先证 为直径，再通
8、过角的关系证明 即可 . 试题：由 ，得 为直径，所以 2分 由同弧所对圆周角相等，得 ，同理 4分 又因为 平分 ，所以 6分 所以 ，故 8分 从而， 为等腰直角三角形 10分 考点：平面几何的证明 . 对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，则称为 “局部奇函数 ” （ ）已知二次函数 ，试判断 是否为 “局部奇函数 ”？并说明理由； （ ）若 是定义在区间 上的 “局部奇函数 ”，求实数 的取值范围； （ ）若 为定义域 上的 “局部奇函数 ”，求实数 的取值范围 答案：（ ）是，理由详见；（ ） ；（ ） 试题分析：（ ）判断方程 是否有解；（ ）在方程有解时，通过分离参数求取值
9、范围；（ ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布 . 试题： 为 “局部奇函数 ”等价于关于 的方程 有解 （ ）当 时， 方程 即 有解 ， 所以 为 “局部奇函数 ” 3分 （ ）当 时， 可化为 ， 因为 的定义域为 ，所以方程 在 上有解 5分 令 ，则 设 ，则 ， 当 时， ，故 在 上为减函数， 当 时， ，故 在 上为增函数， 7分 所以 时， 所以 ，即 9分 （ ）当 时， 可化为 设 ，则 ， 从而 在 有解即可保证 为 “局部奇函数 ” 11分 令 ， 1 当 ， 在 有解， 由 ，即 ，解得 ； 13分 2 当 时， 在 有解等价于 解得 15
10、分 （说明：也可转化为大根大于等于 2求解） 综上，所求实数 m的取值范围为 16分 考点：函数的值域、方程解的存在性的判定 . 已知椭圆 的长轴两端点分别为 ，是椭圆上的动点，以 为一边在 轴下方作矩形 ，使 ，交 于点 ， 交 于点 （ ）如图（ 1），若 ，且 为椭圆上顶点时， 的面积为 12，点到直线 的距离为 ，求椭圆的方程； （ ）如图（ 2），若 ，试证明： 成等比数列 答案：（ ） ；（ ）详见 . 试题分析：（ ）由 的面积为 12，点 到直线 的距离为 ，列出关于 的方程求解；（ ）用坐标表示各点，然后求出 的长，计算比较即可 . 试题：（ ）如图 1，当 时， 过点 ，
11、， 的面积为 12， ，即 2分 此时 ， 直线 方程为 点 到 的距离 4分 由 解得 6分 所求椭圆方程为 7分 （ ）如图 2，当 时， ，设 ， 由 三点共线，及 ， （说明：也可通过求直线方程做） 得 ， ，即 9分 由 三点共线，及 ， 得 ， ，即 11分 又 ， . 13分 而 15分 ，即有 成等比数列 16分 考点：椭圆的标准方程、点到直线的距离、等比数列 . 如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线 排，在路南侧沿直线 排，现要在矩形区域 内沿直线将 与 接通已知 ， ，公路两侧排管费用为每米 1万元，穿过公路的 部分的排管费用为每米 2万元，
12、设 与 所成的小于 的角为 （ ）求矩形区域 内的排管费用 关于 的函数关系式； （ ）求排管的最小费用及相应的角 答案：（ ） ；（ ）最小费用为 万元，相应的角 为 . 试题分析：（ ）把 ， ， 的长度分别用 表示，分别求出费用相加即可；（ ）对（ ）中函数，用导数为工具，判断其单调区间，求出最小值 . 试题：（ ）如图，过 作 ，垂足为 ，由题意得， 故有 ， ， 4分 所以 5分 8分 （ ）设 (其中 )， 则 10分 令 得 ，即 ，得 11分 列表 + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 所以当 时有 ，此时有 15分 答：排管的最小费用为 万元，相应的角 16分 考点：函数的
13、应用、导数的应用 . 设数列 的前 项和为 ，对任意 满足 ，且 （ ）求数列 的通项公式； （ ）设 ，求数列 的前 项和 答案：（ ） ；（ ） ； 如图，四棱锥 的底面为矩形， ， ， 分别是的中点， （ ）求证： 平面 ； （ ）求证：平面 平面 答案：（ ）详见；（ ）详见 . 试题分析：（ ）要证线面平行，先找线线平行；（ ）要证线面垂直，先证线面垂直，于是需找出图形中的线线垂直关系，以方便于证明面面垂直 . 试题：（ ）取 中点 ，连 ， 因为 分别为 的中点，所以 ，且 2分 又因为 为 中点，所以 ，且 3分 所以 ， 故四边形 为平行四边形 5分 所以 ，又 平面 ， 平面
14、 ， 故 平面 ， 7分 （ ）设 ，由 及 为 中点得 ， 又因为 ， ，所以 ， 所以 ，又 为公共角，所以 所以 ，即 10分 又 ， ， 所以 平面 12分 又 平面 ，所以平面 平面 14分 考点：直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理 . 已知向量 ， ， ，其中为 的内角 （ ）求角 的大小； （ ）若 ，且 ，求 的长 答案：（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）对 进行化简，可求 的值，进而求出角 ；（ ）先求 ，再用余弦定理求出 的长 . 试题：解：（ ） ， 2分 所以 ，即 ， 4分 故 或 （舍）， 又 ，所以 7分 （ ）因为
15、，所以 9分 由余弦定理 ， 及 得， 12分 由 解得 14分 考点：向量的数量积、三角函数的恒等变形、余弦定理 . 设 为实数，我们称 为有序实数对类似地，设 为集合，我们称 为有序三元组如果集合 满足 ，且 ，则我们称有序三元组 为最小相交（ 表示集合 中的元素的个数） （ ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由； （ ）由集合 的子集构成的所有有序三元组中，令 为最小相交的有序三元组的个数，求 的值 答案：（ ）详见；（ ） 7680. 试题分析：（ ）按条件写出即可；（ ）先排 ， ， 中的元素，再排其它位置的元素，根据乘法原理计算 . 试题：（ ）设 ， ， ，则 ， ， ，且 所以 是一个最小相交的有序三元组 4分 （ ）令 ，如果 是由 的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的 ，使得 ， ，（如图），要确定 共有 种方法；对 中剩下的 3个元素，每个元素有 4 种分配方式，即它属于集合 中的某一个或不属于任何一个，则有 种确定方法 所以最小相交的有序三元组 的个数 10分 考点：计数原理，交集 .
