1、2014届江苏苏州市高三调研测试理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知集合 A=x|x0， b0，求证： 在区间 1， 2上是增函数； 若 ， ，且 在区间 1， 2上是增函数，求由所有点 形成的平面区域的面积 答案：（ 1） ，（ 2） 详见， 试题分析：（ 1）求具体函数极值问题分三步，一是求导，二是求根，三是列表，关键在于正确求出导数，即 ；求根时需结合定义区间进行取舍，如根据定义区间 舍去负根；列表时需注意导数在对应区间的符号变化规律，这样才可得出正确结论，因为导数为零的点不一定为极值点，极值点附近导数值必须要变号，（ 2） 利用导数证明函数 单调性，首先要正确转化，如本题只需证到
2、在区间 1， 2上 成立即可，由 得只需证到在区间 1， 2上 ，因为对称轴 在区间 1， 2上单调增，因此只需证 ，而这显然成立， 中条件 “ 在区间 1， 2上是增函数 ”与 不同，它是要求 在区间 1， 2上恒成立，结合二次函数图像可得关于 不等关系，再考虑 ， ，可得可行域 . 试题：（ 1）解 : 2分 当 时 , , 令 得 或 (舍去 ) 4分 当时 , 是减函数 , 当 时 , 是增函数 所以当 时 , 取得极小值为 6分 （ 2）令 证明 : 二次函数 的图象开口向上 , 对称轴 且 8分 对一切 恒成立 . 又 对一切 恒成立 . 函数图象是不间断的 , 在区间 上是增函数
3、 . 10分 解 : 即 在区间 上是增函数 对 恒成立 . 则 对 恒成立 . 12分 在 (*)(*)的条件下 , 且 且 恒成立 . 综上 ,点 满足的线性约束条件是 14分 由所有点 形成的平面区域为 (如图所示 ), 其中 则 即 的面积为 . 16分 考点：求函数极值， 二次函数恒成立，线性规划求面积 . 设数列 an满足 an+1=2an+n2-4n+1 （ 1）若 a1=3，求证：存在 （ a， b， c为常数），使数列 an+f(n)是等比数列，并求出数列 an的通项公式； （ 2）若 an是一个等差数列 bn的前 n项和，求首项 a1的值与数列 bn的通项公式 答案：（ 1
4、） ，（ 2） 试题分析：（ 1）解一般数列问题，主要从项的关系进行分析 .本题项的关系是：型，解决方法为：构造等比数列 ，再利用等式对应关系得出 的式，（ 2）解等差数列问题，主要从待定系数对应关系出发 .令 ，则利用等式对应关系得出，再利用等差数列前 n项和公式得试题：解（ 1） 设 2分 也即 4分 6分 所以存在 使数列 是公比为 2的等比数列 8分 则 10分 （ 2） 即 即 12分 14分 是等差数列 , 16分 考点：构造法求数列通项，等差数列前 n项和公式，由和项求等差数列通项 . 如图，已知椭圆 的右顶点为 A（ 2， 0），点 P（ 2e， ）在椭圆上（ e为椭圆的离心率
5、） （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若点 B， C（ C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数 的值 答案：（ 1） ，（ 2） . 试题分析：（ 1）求椭圆方程，基本方法是待定系数法 .关键是找全所需条件 . 椭圆中三个未知数的确定只需两个独立条件，本题椭圆经过两点，就是两个独立条件，（ 2）直线与椭圆位置关系问题就要从其位置关系出发，本题中和条件一是平行关系，二是垂直关系 .设直线 的斜率就可表示点 及点 再利用就可列出关于斜率及 的方程组 .得到 ，可利用类比得到 由两式相 除可解得 代入可得 试题：（ 1）由条件， 代入椭圆方程， 得 2分网 椭 所以椭圆的方程为 5分 （ 2）设直
6、线 OC的斜率为 ， 则 直线 OC方程为 ， 代入椭圆方程 即 ， 得 则 7分 又直线 AB方程为 代入椭圆方程 得 则 9分 在第一象限， 12分 由 得 15分 16分 考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 . 甲、乙两地相距 1000，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 80 ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的 倍，固定成本为 a元 （ 1）将全程运输成本 y（元）表示为速度 v（ ）的函数，并指出这个函数的定义域； （ 2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？ 答案： (1) , (2) 当 （元）时，；当 （元）时，
7、 . 试题分析：（ 1）解决应用题问题首先要解决阅读问题，具体说就是要会用数学式子正确表示数量关系，本题中全程运输成本等于每小时运输成本与全程所化时间的乘积，有学生错误将每小时运输成本理解为全程运输成本，其次要注意定义域的确定，不仅要从保证数学式子的有意义考虑，而且更要结合实际意义考虑，如本题速度为正数，（ 2）研究对应式的最值问题，一般从不等式或函数 考虑，从不等式考虑时，要会将式转为 “和 ”与 “积 ”的关系，注意等于号是否取到，而从函数考虑时，经常结合导数进行研究 .本题不管从不等式考虑还是从函数考虑，都需进行讨论，讨论的原因都是因为定义域 . 试题：（ 1）可变成本为 ，固定成本为
8、元，所用时间为 . ，即 4分 定义域为 5分 （ 2） 令得 7分 因为 所以当 即 时 ，为 的减函数， 在时，最小 . 9分 所以当 ，即 时， 极小值 在时，最小 . 13分 (答 )以上说明，当 （元）时，货车以的速度行驶，全程运输成本最小；当 （元）时，货车以 的速度行驶，全程运输成本最小 . 14分 考点：函数式，利用导数求函数最值 . 如图，在四棱锥 P-ABCD中，四边形 ABCD是矩形，平面 PCD 平面 ABCD， M为 PC中点求证： （ 1） PA 平面 MDB； （ 2） PD BC 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）线面平行的判定关键在证相应
9、线线平行，线线平行的证明或寻求需要结合平面几何的知识，如中位线平行于底面，因为本题中 M为 PC中点，所以应取BD的中点作为解题突破口；（ 2）线线垂直的证明一般需要经过多次线线垂直与 线面垂直的转化，而对于面面垂直，基本是单向转化，即作为条件，就将其转化为线面垂直；作为结论，只需寻求线面垂直 . 如本题中面 PCD与面 ABCD垂直，就转化为BC 平面 PCD，到此所求问题转化为 :已知线面垂直，要求证线线垂直 .在线线垂直与线面垂直的转化过程中，要注意充分应用平面几何中的垂直条件 ,如矩形邻边相互垂直 . 试题：证明：（ 1）连结 AC交 BD于点 O,连结 OM. 2分 因为 M为 PC
10、中点 ,O为 AC中点， 所以 MO/PA. 4分 因为 MO 平面 MDB， PA 平面 MDB, 所以 PA/平面 MDB. 7分 （ 2）因为平面 PCD 平面 ABCD, 平面 PCD平面 ABCD=CD, BC 平面 ABCD,BC CD, 所以 BC 平面 PCD. 12分 因为 PD 平面 PCD, 所以 BC PD 14分 考点：直线与平面平行判定定理，面面垂直性质定理 . 在 ABC中，设角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 （ 1）求角 A的大小； （ 2）若 ， ，求边 c的大小 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）解三角形问题，一般利用正弦定理或
11、余弦定理将边统一为角或将角统一为边，如用正弦定理将 化为角 也可用余弦定理将 化为边，在统一为角后，再利用诱导公式将三个角化为两个角，结合两角和与差公式将两个角化为所求角；在统一为边后，再利用余弦定理或勾股定理求对应角，（ 2）结合 (1)知，所求问题为已知一角两边，求第三边，显然用余弦定理比较直接 . 试题：（ 1）用正弦定理，由 得 2分 4分 6分 8分 （ 2）用余弦定理，得 即 12分 则 14分 考点：解三角形，正弦定理，余弦定理 . 设 为随机变量，从棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时， =0，当四点不共面时， 的值为四点组成的四面
12、体的体积 （ 1）求概率 P（ =0）； （ 2）求 的分布列，并求其数学期望 E ( ) 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）求概率 P（ = 0），就是求四点共面时概率 .古典概型概率 的求法，关键要找出 所包含的基本事件个数，然后套用公式 （ 2）求 的数学期望的基本步骤：首先理解 的意义，写出 可能取的全部值，本题考虑四个顶点不同位置，求体积；其次求 取各个值的概率，写出概率分布；最后根据概率分布，由数学期望的定义求出 试题：（ 1）从正方体的八个顶点中任取四个点 ,共有 种不同取法 . 其中共面的情况共有 12种 (6个侧面 ,6个对角面 ). 则 3分 （ 2）任取四个点 ,当四点不共面时 ,四面体的体积只有以下两种情况 : 四点在相对面且异面的对角线上 ,体积为 这样的取法共有 2种 . 5分 四点中有三个点在一个侧面上 ,另一个点在相对侧面上 ,体积为 这样的取法共有 种 7分 的 分布列为 8分 数学期望 10分 考点：概率，数学期望，随机变量的概率分布列 .
