1、2014届江苏阜宁中学高三上学期第三次调研测试文科数学试卷与答案（带解析） 填空题 若集合 ，则满足条件 有 个 . 答案： 试题分析：集合 A显然一定含有元素 1,2，而元素 3,4可以都没有，也可以有一个，但不能两个都含有，故这样的 A有 3个，实质是这里集合 A的个数是集合 的真子集的个数 考点：子集 若对于给定的负实数 ，函数 的图象上总存在点 C，使得以 C为圆心， 1为半径的圆上有两上不同的点到原点的距离为 2，则 的取值范围为 . 答案： 试题分析：关键是已知条件告诉我们什么？ “以 C为圆心， 1为半径的圆上有两上不同的点到原点的距离为 2”这句话说明 “以 C为圆心， 1为半
2、径的圆与以原点为圆心， 2为半径的圆相交 ”，即 ，这样的 C点只要存在，只需要函数 图象的点到原点距离的最小值小于 3即可这个问题转化为函数 的图象与圆有两个公共点，两式联立消去 得关于 方程，由此方程有实数解，可求得 的范围 考点：两曲线相交问题 设命题 ;命题 ，若是 的充分不必要条件 .则 的取值范围是 . 答案： 试题分析：命题 表示的范围是图中 内部（含边界），命题 表示的范围是以点 为圆心， 为半径的圆及圆内部分， 是 的充分不必要条件，说明在圆内，实际上只须 三点都在圆内（或圆上）即可 . 考点：充分必要条件，点与圆的位置关系 . 双曲线 的左、右焦点分别为 ，渐近线分别为 ，
3、点 P在第一象限内且在 上，若 ， ，则双曲线的离心率为 . 答案： 试题分析：由题设条件显然得出 ，故 ，而 P点在渐近线上，可求得 P点坐标为 ，下面由 可得 考点：双曲线的离心率 已知在棱长为 3的正方体 中， P， M分别为线段 ， 上的点，若 ，则三棱锥 的体积为 . 答案： 试题分析：此题中， P点是固定的，而点 M是 上的动点，要求三棱锥 的体积，其值也应该是定值，那么在点 M动的过程中，三棱锥也应该有什么东西是不变的，仔细研究图形，发现不论点 M如何动， 的面积不变，总是为 ，而点P到平面 的距离是点 到平面 的距离的 ，为 1，故三棱锥 的体积是 考点：棱锥的体积 设 为递减
4、的等比数列，其中 为公比，前 项 和 ，且，则 = . 答案： 试题分析： 为递减的等比数列，则公比 且 ，而，则只能有 ，故 ， 考点：单调的等比数列的性质与前 项和公式 已知 ，若 ，则 的最小值为 . 答案： 试题分析： ，从而可找到 的关系， ，即 ，而 ，当且仅当 ，即时等号成立，故最小值为 6 考点：向量垂直与基本不等式 已知 是定义在 上的奇函数，则 的值域为 . 答案： 试题分析：由奇函数性质知其定义域关于原点对称，值域也关于原点对称首先求出参数 ，可利用特殊值法，奇函数 ，得 时， ， ， 则 ，因此 值域为 考点：奇函数的性质与函数的值域 某高中共有学生 2000名，各年级
5、男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取 1人，抽到高二年级女生的概率是 0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取 64名学生，则在高三年级应抽取 名学生 . 高一 高二 高三 女生 373 m n 男生 377 370 p 答案： 试题分析：抽到高二年级女生的概率是 0.19，属于古典概型 ， ， ，这样高一学生总数为 750，高二学生总数为 750，那么高三学生总数为 500，应用分层抽样，样本容量比与总体容量比相等，可得高三应抽取 16人 考点：分层抽样 中小学校车安全引起全社会的关注，为了消除安全隐患，某市组织校车安全大检查，某校有甲、乙、丙、丁四辆车，分两天对其进行检测，每天检测两
6、辆车，则甲、乙两辆车在同一天被检测的概率为 . 答案： 试题分析：这属于古典 概型，求概率时把所有可能的情形列举出来即可两天检测，每天检测两辆，方法为（甲乙，丙丁），（甲丙，乙丁），（甲丁，乙丙）共三种情况，其中甲、乙在同一天检测的只有一种情形，故概率为 考点：古典概型 根据如图所示的伪代码，可知输出 S的值为 . 答案： 试题分析：这是循环结构，计算时要弄明白循环条件，什么时候跳出循环，循环结构里是先计算 ，第一次计算时 ，循环结束前 ，此时 ，循环结束，故输出值为 21 考点：程序框图，循环结构 已知函数 ，则 = . 答案： 试题分析：这是分段函数的函数值计算问题，计算时一定要分清楚自变
7、量的范围 考点：分段函数 函数 的最小正周期为 . 答案： 试题分析：要把函数变形为只含有一个三角函数的函数，才能求周期，故 考点：三角函数的周期 若复数 ，则 的模等于 . 答案： 试题分析：先把 化简，注意 ，所以 ，于是 ， 考点：复数的运算 解答题 已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，且. 证明：数列 是等比数列，并写出通项公式； 若 对 恒成立，求 的最小值； 若 成等差数列，求正整数的值 . 答案：（ 1）证明见， ；（ 2） 3；（ 3） 试题分析：（ 1）要证数列 是等比数列，可根据题设求出 ，当然也可再求，虽然得出的 成等比数列，但前面有限项成等比不
8、能说明所有项都成等比，必须严格证明一般方法是把已知式 中的 用 代换得到 ，两式相减得 ，这个式子中把 用 代换又得 ，两式再相减，正好得出数列的前后项关系的递推关系，正是等比数列的表现（ 2）由题间 ，对不等式 用分离参数法得 ，求 的最小值就与求 的最大值（也只要能是取值范围）联系起来了（ 3）只能由 成等差数列列出唯一的等式，这个等式是关于的二元方程，它属于不定方程，有无数解，只是由于都是正整数，利用正整数的性质可得出具体的解 试题：（ 1）当 n=1时， ；当 n=2时， 当 n 3时，有 得： 化简得： 3分 又 是 1为首项， 为公比的等比数列 6分 （ 2） 11分 （ 3）若三
9、项成等差，则有 ，右边为大于 2的奇数，左边为偶数或 1，不成立 16分 考点：（ 1）等比数列的通项公式；（ 2）不等式恒成立与函数的最值；（ 3）不定方程的正整数解问题 在直角坐标系 中，已知中心在原点，离心率为 的椭圆 E的一个焦点为圆的圆心 . 求椭圆 E的方程； 设 P是椭圆 E上一点，过 P作两条斜率之积为 的直线 ，当直线 都与圆 相切时，求 P点坐标 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）圆心坐标是已知的，故椭圆的焦点是已知的，从而半焦距 已知了，又有离心率，故半长轴长 也能求出，从而求出 ，而根据题意，椭圆方程是标准方程，可其方程易得；（ 2）设 P点坐标为 ，再
10、设一条切线的斜率为 ，则另一条切线的斜率为 ，三个未知数 需要三个方程，点 P在椭圆上，一个等式，两条直线都圆的切线，利用圆心到切线的距离等于圆的半径又得到两个等式，三个等量关系，三个未知数理论上可解了，当然具体解题时，可设切线斜率为 ，则点斜率式写出直线方程，利用圆心到切线距离等于圆半径得出关于 的方程，而是这个方程的两解，由韦达定理得 ，这个结果又是 ，就列出了关于 P点坐标的一个方程，再由 P点在椭圆上，可解出 P点坐标 试题：（ 1）圆的标准方程为 ，圆心为 ，所以 ，又 ， ，而据题意椭圆的方程是标准方程，故其方程为 4分 （ 2）设 ，得 ，依题意 到 的距离为 整理得 同理 是方
11、程 的两实根 10分 12分 14分 16分 考点：（ 1）椭圆的标准方程；（ 2）圆的切线 某个公园有个池塘，其形状为直角 ABC， C=90， AB=2百米， BC=1百米 (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在 AB、 BC、 CA上取点 D， E， F，如图 (1)，使得 EFAB， EF ED，在 DEF喂食，求 DEF 面积 SDEF的最大值； (2)现在准备新建造一个荷塘，分别在 AB， BC， CA上取点 D， E， F，如图 (2)，建造DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使 DEF为正三角形，求 DEF边长的最小值 答案：（ 1） ；（ 2） 百米 试题分析：（ 1）
12、求 DEF 面积 SDEF的最大值，先把 DEF 面积用一个参数表示出来，由于它是直角三角形，故只要求出两直角边 DE和 EF，直角 ABC中，可得，由于 EFAB， EF ED，那么有 ，因此我们可用CE来表示 FE， DE从而把 SDEF表示为 CE的函数，然后利用函数的知识（或不 等式知识）求出最大值；（ 2）等边 DEF可由两边 EF ED及 确定，我们设 ，想办法也把 与一个参数建立关系式，关键是选取什么为参数，由于等边 DEF位置不确定，我们可选取 为参数，建立起 与 的关系 ，则 ， 中应用正弦定理可建立所需要的等量关系 试题：（ 1） 中， ， 百米， 百米 ，可得 ， ， ，
13、 设 ，则 米， 中， 米， C到 EF的距离 米， C到 AB的距离为 米， 点 D到 EF的距离为 米， 可得 ， ，当且仅当 时等号成立， 当 时，即 E为 AB中点时， 的最大值为 7分 （ 2）设正 的边长为 ， ， 则 ， 设 ，可得 ， ， 在 中， ， 即 ，化简得 ， 12分 （其中 是满足 的锐角）， 边长最小值为 百米 14分 考点：（ 1）面积与基本不等式；（ 2）边长与三角函数的最值 如图长方体 中，底面 是正方形， 是 的中点， 是棱上任意一点 . 求证： ； 如果 ，求 的长 . 答案：（ 1）证明见；（ 2） 试题分析：（ 1）要证线线垂直，一般可先证线面垂直，
14、这个平面要包含其中一条直线，本题中有许多垂直关系，如 ，而 平面 ，因此有 平面 ， 正好是平面 内的直线，问题得证；（ 2）我们采取空间问题平面化，所有条件都可在矩形 内，利用平面几何知识解题，由于，则有 ，这两个三角形中，有 ，又 ，这时可求出 ，从而求出 的长 试题：（ 1） 是正方形， ，又长方体的侧棱 平面 ， , ，故有 平面 ，又 ， 7分 （ 2）在长方体 中， 是矩形，由 ，得， ，从而 ， ，又底面正方形 的边长为 2，故 ， ，又 ， ，从而 14分 说明：用空间向量知识求解相应给分 考点：（ 1）空间两直线垂直；（ 2）求线段长 设向量 . 若 ，求 的值； 设函数 ，
15、求 的最大值 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）题中唯 一已知条件是两个向量的模相等，那么我们把这个条件化简得 ，这样正好解出 ，由三角函数值求角，还要确定角的范围，本题中 ， ，从而有 （ 2）同（ 1）把 化简，变为我们熟悉的函数， ，这是三角函数，一般要化为 形式，然后利用正弦函数的性质解决问题， 因此 最大值为 试题：（ 1） ， ， ， ， ， 7分 （ 2） 最大值为 14分 考点：（ 1）已知三角函数值，求角；（ 2）三角函数的最大值 已知函数 ，其中 是实数，设 为该函数的图象上的两点，且 . 指出函数 的单调区间； 若函数 的图象在点 处的切线互 相垂直，且
16、，求 的最小值； 若函数 的图象在点 处的切线重合，求 的取值范围 . 答案： (1)单调减区间为 ，单调增区间为 ;（ 2） 1；（ 3） 试题分析：（ 1）根据基本初等函数的性质知，分段函数 在 时是二次函数的一部分，有两个单调区间：增区间 ，减区间 ， 时是对数函数，只有一个单调增区间 ；（ 2）对函数图象来讲，它在某点处的切线斜率等于该函数在此点处的导数，故有 ，由于 ， 两点在 轴的左边， ，因此有 ，显然有， 可以表示为关于 的函数，从而求出最小值（ ， 应用基本不等式即可得解）也可以直接凑配出基本不等式的形式， 利用基本不等式）；（ 3）这里我们首先分析 所处范围，结合图象易知 不可能在同一单调区间，只能是 ，那么我们可得出 两点处的切线方程分别为， ，两条切线相同，则有，于是可把 表示为 （或者 ）的函数，把求 匠范围转化为求函数的值域 试题：（ 1）单调减区间为 ，单调增区间为 4分 （ 2） ， 当 时，因为 ，所以 .8分 当且仅当 时等号成立， 的最小值为 1.10分 （ 3）当 或 时， ，故 当 时，函数 的图象在点 的切线方程为 即 当 时，函数 在 切线方程为 两切线重合的充要条件是 13分 由 及 知 由 得 又 ，与 在 都为减函数 . 16分 考点：（ 1）单调区间；（ 2）函数图象的切线及基本不等式；（ 3）切线与函数的值域
