1、2014届江西省南昌大学附属中学高三第三次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 一扇形的中心角为 2，中心角所对的弦长为 2，则此扇形的面积为（ ） A 2 B 1 CD 答案： C 试题分析：设扇形的半径为 ，弧长为 ，则 ，根据弧度的定义有 ，因此扇形的面积 ，选 C. 考点：弧度定义、扇形面积公式 . 设函数 ，若 的图象与图象有且仅有两个不同的公共点 ,则下列判断正确的是 ( ) A当 时， B当 时， C当 时， D当 时， 答案： B 试题分析 :令 ，则 ，设 ，令 ，则 ，要使 的图像与 图像有且仅有两个不同的公共点只需 ，整理得，于是可取 来研究，当 时， ，解得 ，此时
2、 ，此时 ；当时， ，解得 ，此时 ，此时 .答案：应选 B. 考点：函数与导数、函数图象 . 已知函数 的图象过点 ，若有 4个不同的正数 满足 ，且 ，则 等于（ ） A 12 B 20 C 12或 20 D无法确定 答案： C 试题分析：将点 代入函数得 ，由 得， ，故，最小正周期 ，因为 ， ，设，由正弦函数图象的特征知当 时， 故；当 时， ，故选 C. 考点：正弦函数周期、正弦函数图象特征 . 已知点 P在曲线 上， 为曲线在点 P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ） A B C D 0, ) 答案： A 试题分析：因为 ，所以，选 A. 考点：导数的几何意义、正切函数的值域
3、 . 已知函数 ，给出下列四个命题： 是函数 图像的一个对称中心 ; 的最小正周期是 ; 在区间 上是增函数； 的图象关于直线 对称； 时， 的值域为 其中正确的命题为 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：将原函数化简得，其对称中心为，故 错；最小正周期 ， 错；原函数在，即 单调增，当 时，在上增， 正确；函数对称轴为 ，当 时 是其对称轴， 正确；因为 原函数减， 上增，故其最小值为，最大值为 ，故在 ， 的值域为 错；故选 D. 考点：三角函数的对称性质、三角函数的单调性、三角函数最值 . 设 ，其中 ，则 是偶函数的充要条件是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：若
4、 是偶函数，即 ，求导可得，可见 是奇函数，故 ，选 D. 考点：奇偶函数的性质、函数求导 . 函数 的图象大致是 ( ) 答案： C 试题分析：函数的定义域为 ，排除 A；当 时， 排除 B；当时， ，故选 C. 考点：函数图象、极限 . 设 0,函数 的图像向右平移 个单位后与原图像重合，则 的最小值是（ ） A B C D 3 答案： C 试题分析：由题意知， 是原函数周期的整数倍，即 ，所以，可见 的最小值为 ，选 C. 考点：三角函数的周期、三角函数图象平移 . 已知角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则可以是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由三角函数的定义得
5、，在选项中只有 B选项的的正弦值为 ，故选 B. 考点：三角函数定义、三角函数求值 . 下列命题中的假命题是（ ） A ， B ， C ， D ， 答案： B 试题分析：因为对于 ， 恒成立，而 是将 向右平移1 个单位，函数值域不变，故 恒成立， A 正确；当 时， ，故 错；当 时， ，故 ， ， C正确；因为 的值域为 ，自然存在 使得 成立， D正确 .故选 B. 考点：命题及其关系、对数函数的单调性、指数函数的值域、正切函数的值域 . 填空题 已知定义域为 的函数 满足：（ 1）对任意 ，恒有成立；（ 2）当 时， .给出如下结论： 对任意 ，有 ； 函数 的值域为 ； 存在 ，使得
6、； “函数 在区间 上单调递减 ”的充要条件是 “存在 ，使得 ”.其中所有正确结论的序号是 . 答案： 试题分析：由 时， 得， ，由任意 ，恒有 成立，取 得 ； 任意 ，当 时，当 时 ，当 时， ，故 正确； 取 ，则 ，从而，其中， 从而， 正确； 由 得 ，令 ，则有，假设存在 使 ，即存在 ， ，又 变化如下： ，显然不存在，所以 错； 根据前面的， 时，故 是递减的，容易知道 正确，综合可知答案：为 考点：抽象函数及应用 . _. 答案： 试题分析：. 考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想 . 已知 ， ，若同时满足条件 : ， 或 ； , 则 m的取值范围是 _. 答案： (
7、-4,-2) 试题分析：当 时， ，因为 ， 或 ，故当 时， 恒成立，因为 时， 而, 故 ， ；由以上分析得（无解）或 ，所以 m的取值范围是 (-4,-2). 考点：指数函数单调性、一元二次不等式的解法 . 如图，为测得河对岸塔 AB的高，先在河岸上选一点 C，使 C在塔底 B的正东方向上，测得点 A的仰角为 60，再由点 C沿北偏东 15方向走 10米到位置 D，测得 BDC 45，则塔 AB的高是 _ _米 答案： 试题分析：由题意知， ，又 BDC 45， ，故,由正弦定理得 ,又因为,所以 . 考点：正弦定理、解三角形 . =_. 答案： 试题分析： . 考点：定积分的计算 .
8、解答题 （ 1）已知 ，且 ， 求 的值； （ 2）已知 为第二象限角，且 ，求 的值 . 答案： 试题分析：（ 1）构造角 ，利用两角差的余弦公式得，求解；（ 2）先求出,然后将式子化简求值 . 试题：因为 ，所以 ，故， ， 所以. (2) 为第二象限角，且 ，所以 故 . 考点：两角差的余弦公式、二倍角公式、三角函数平方关系 . 已知集合 （ 1） 能否相等？若能，求出实数 的值，若不能，试说明理由？ （ 2）若命题 命题 且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ;(2) 的取值范围是 或 . 试题分析：（ 1）对 讨论，得到相应的集合，要使 ，只有当 时才可能
9、；（ 2）由命题 命题 且 是 的充分不必要条件，得 ，和（ 1）类似对 讨论，得出相应的集合，再由 的子集确定 的范围 . 试题：（ 1）当 时 ，当 时显然 ，故 时， . （ 2） 当 时， 则 解得 当 时， 则 综上 是 的充分不必要条件，实数 的取值范围是 或 . 考点：集合间的关系、一元一次不等式解法、命题及其关系、分类讨论思想 . 设 是锐角三角形， 分别是内角 所对边长，并且. (1)求角 的值； (2)若 ，求 （其中 ） . 答案： (1) ； (2) . 试题分析： (1) 利用两角和与差的正弦公式展开化简得 ，又 为锐角，所以 ； (2)由 可得 ，即 ，然后利用余弦
10、定理 得 的另一个关系，从而解出 . 试题： (1)因为 ， 所以 ，又 为锐角，所以 . (2)由 可得 由（ 1）知 ，所以 由余弦定理知 ，将 及 代入，得 + 2 ，得 ，所以 因此， 是一元二次方程 的两个根 . 解此方程并由 知 . 考点：两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理 . 已知函数 ： (1)若函数在区间 上存在零点，求实数 的取值范围； (2)问：是否存在常数 ，当 时， 的值域为区间 ，且 的长度为 . 答案： (1) ;(2)存在，见 . 试题分析： (1) 先由函数对称轴为 得函数在 上单调减，要使函数在存在零点，则需满足 ，解得 ； (2)当时， 的值
11、域为 ，由 ，得合题意；当 时， 的值域为 ，由，得不合题意；当 时， 的值域为 ，用上面的方法得 或 合题意 . 试题： 二次函数 的对称轴是 函数 在区间 上单调递减 要函数 在区间 上存在零点须满足 即 解得 ，所以 . 当 时，即 时， 的值域为： ，即 经检验 不合题意，舍去。 当 时，即 时， 的值域为： ，即 , 经检验 不合题意，舍去。 当 时， 的值域为： ，即 或 经检验 或 或 满足题意。 所以存在常数 ，当 时， 的值域为区间 ，且 的长度为. 考点：零点存在性定理、二次函数的单调性、二次函数值域、分类讨论思想 . 已知函数 ，将其图象向左移 个单位，并向上移 个单位，
12、得到函数 的图象 . (1)求实数 的值； (2)设函数 ，求函数 的单调递增区间和最值 . 答案： (1) ； (2) 的单调增区间为 ，最小值为，最大值为 . 试题分析： (1) 利用倍角公式将 化简，然后平移化成 的形式，待定系数可得 的值； (2)先求出 ，当 时，由，得 (x)的单调增区间为 ，最小值为 ，最大值为 . 试题： (1)依题意化简得 ,平移 g(x)得 (2) (x) g(x)- f(x) sin(2x )- cos(2x )- sin(2x )- 由 得 ，因为，所以当 时，在 上单调增， (x)的单调增区间为， 值域为 .， 故 的最小值为 ，最大值为 . 考点：二
13、倍角公式、三角函数诱导公式、三角函数单调性、三角函数最值 . 已知函数 ，其中 . (1)若对一切 x R， 1恒成立，求 a的取值集合； (2)在函数 的图像上取定两点 ， ，记直线AB的斜率 为 k，问：是否存在 x0 （ x1， x2），使 成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由 . 答案： (1) 的取值集合为 ； (2)存在 使 成立 .且 的取值范围为 试题分析： (1)利用导数求出 的最小值，令其大于等于 即 ，解得 的取值集合； (2)由题意知 ，令然后说明在 内 有唯一零点 且，故当且仅当 时， . 试题：（ 1）若 ，则对一切 ， ， 这与题设矛盾，又 ，故 .
14、而 令 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，故当 时， 取最小值 于是对一切 恒成立，当且仅当 . 令 则 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减 . 故当 时， 取最大值 .因此，当且仅当 即 时， 式成立 . 综上所述， 的取值集合为 . （ 2）由题意知， 令 则 令 ，则 . 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增 . 故当 ， 即 从而 ， 又所以 因为函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使 单调递增，故这样的 是唯一的，且 .故当且仅当 时， . 综上所述，存在 使 成立 .且 的取值范围为. 考点：直线斜率定义、利用导数求函数最值、利用导数求函数单调性、零点存在定理 .
